Односторонние пределы как решать – –

Односторонние пределы

Пусть Х – область определения функции, которая, быть может, не содержит точку , но для любогоправая полуокрестность точки(интервал) содержит точки множества Х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 (правый предел функции в точке по Гейне). Числоназывается правым пределом функциив точке, если для любой последовательности значений ее аргумента, сходящейся ки состоящей их чисел, больших

соответствующая последовательность значений функцийсходится к. Обозначение:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 (правый предел функции в точке по Коши). Числоназывается правым пределом функциив точке, если,

Для определения левого предела будем считать, что любая левая полуокрестность точки , интервал, содержит точки Х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 (левый предел функции в точке по Гейне). Числоназывается левым пределом функциив точке, если для любой последовательности значений ее аргумента, сходящейся ки состоящей их чисел, меньшихсоответствующая последовательность значений функцийсходится к

. Обозначение:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10 (левый предел функции в точке по Коши). Числоназывается левым пределом функциив точке, если,

ПРИМЕР. Найти односторонние пределы (правый и левый) функции

в точках и.

Так как справа от 0 и близко к нему

тоОчевидно,

что хорошо видно на графике функции (рис. 5):

y

1

-1 О 2 4 x

Рис. 5

Существуют ли и? Не существуют, так как левый предел не равен правому пределу в этих точках. Имеет место утверждение:

для того, чтобы функция имела в точке предел , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные односторонние пределы.

ПРИМЕР. Найти односторонние пределы функции в точке

ПРИМЕР. Найти односторонние пределы функции в точке

y

1

О 1 2 x

Рис. 6

Предел функции в этой точке существует, так как односторонние пределы равны (рис.6).

Сравнение бесконечно малых

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называетсябесконечно малой (б.м.) в точке если

ПРИМЕРЫ. – б.м. в точках– б.м. в точках– б.м. в точке

Пусть и– б.м. в точкето естьПредел отношения б.м. функцийназываетсянеопределенностью вида

ПРИМЕР. – б.м. в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Б.м. в точке функция

имеетболее высокий порядок малости, чем , если

2) Б.м. в точке функциииодного порядка малости, если

3) Б.м. в точке функции эквивалентны, если

.

Эквивалентные б.м. обозначаются так:

ПРИМЕР.

имеет более высокий порядок малости в точке, чеми

и одного порядка малости.

ПРИМЕР. Сравнить функции и, б.м. в точке

Вычислим предел отношения:

в точке

ТЕОРЕМА (принцип замены эквивалентных бесконечно малых). Пусть б.м. функции в точкеиТогда

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как то

Что и требовалось доказать.

studfiles.net

Односторонние пределы функций

Предел функции.

Определение 1(Гейне). Пусть функция определена на некотором интервале , кроме, быть может, точки . Число A называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу :

.

Тот факт, что есть предел функции при (в точке ), будем записывать следующим образом:

.

Из определения следует, что значения функции в точках , лежащих вне некоторой окрестности точки , и значение функции в точке не влияют ни на существование, ни на величину предела функции в точке .

Пример 1. Покажем, что функция имеет предельное значение в каждой точке бесконечной прямой. В самом деле, для любой сходящейся к последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т.е. сходится к . Значит, предельное значение функции в любой точке равно .▲

Пример 2. Функция в каждой точке бесконечной прямой имеет предельное значение . Действительно, пусть – любая сходящаяся к последовательность значений аргумента. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т.е. сходится к . Значит, предельное значение функции в любой точке равно .▲

Пример 3. Найти предел функции (рис.1) в точке .

Решение. Будем рассматривать данную функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале . Функция определена всюду на указанном интервале, в том числе и в точке . Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента , и рассмотрим соответствующую последовательность значений функции . На основании теорем о пределе последовательности имеем

.

Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке .▲

Пример 4. Найти предел функции (рис.2) в точке .

Решение. В точке функция не определена. Будем рассматривать функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале . Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента сходящуюся к точке : и рассмотрим соответствующую последовательность значений функции :

.

На основании теорем о пределах последовательностей имеем

.

Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке получаем .

Заметим, что функции и тождественны всюду, кроме точки , где функция не определена.▲

Для того чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке , достаточно указать какую-нибудь сходящуюся к последовательность значений аргумента чтобы соответствующая последовательность значений функции не имела предела (или указать такие две сходящиеся к последовательности и , что и имеют разные пределы).

Пример 5. Пусть (рис.3). Выяснить, существует ли .

 

 

Решение. Возьмем две последовательности значений аргумента и : и . Очевидно, , . В точках последовательности заданная функция принимает значение , а в точках последовательности – значение . Поэтому , , то есть . Значит, не существует. ▲

Определение 2(Коши). Пусть функция определена на некотором интервале , кроме, быть может, точки . Число A называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Это определение коротко можно записать с помощью кванторов:

.

Пример 6. Показать, что .

Решение. Зададим произвольное . Мы должны найти такое , чтобы из неравенства вытекало неравенство . Преобразуем последнее неравенство:

Решая это неравенство относительно , находим . Значит, в качестве можно взять (или любое меньшее число). В самом деле,

,

а это согласно определению и означает, что .▲

Пример 7. Самостоятельно показать, что .▲

 

Односторонние пределы функций.

Определение.Пусть функция определена на интервале . Число называется пределом слева функции в точке (при ), если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Предел слева обозначают .

Аналогично, в случае, когда функция определена на интервале , вводится понятие предела справа. Предел справа обозначают так:

.

Теорема. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа и они равны, то есть

= .

Пример 1. Покажем, что функция

имеет в точке и правое, и левое

предельные значения.

Решение. Действительно, пусть – любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента, элементы которой . Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т. е. сходится к 1. Если элементы сходящейся к нулю последовательности отрицательны, то им соответствует последовательность значений функции , сходящаяся к -1. А это в силу определения и означает, что

Таким образом, функция имеет в точке и правое, и левое предельные значения, но они не совпадают: . Поэтому в точке не имеет предельного значения. ▲

 

Для функций, область определения которых – интервал или , вводится понятие предела при или при .

Определение.Число называют пределом функции при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Этот предел обозначают .

Определение.Число называют пределом функции при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Этот предел обозначают .

Для односторонних пределов справедливы теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного.

Пример 2.Записать на языке кванторов, дать геометрическую интерпретацию

1. при , 2. при ,

3. при , 4. при .

Решение. 1. а) Сначала запишем на языке « » утверждение: «предел функции равен 3 при стремлении аргумента к 1»:

.

Раскроем модули: ; .

б) По условию, аргумент стремится к точке 1 справа, оставаясь больше 1; при этом функция стремится к своему предельному значению 3, оставаясь меньше этого значения. Другими словами, попадание аргумента в правую -окрестность точки 1 гарантирует попадание значений функции в левую (нижнюю) -окрестность точки 3:

Эскиз графика функции расположен в прямоугольнике .

2. а) Запишем на языке « » утверждение: «функция стремится

к бесконечности при стремлении аргумента к 2»:

и раскроем модули в неравенствах:

;

.

б) По условию, аргумент стремится к точке 2, оставаясь меньше 2; при этом функция , оставаясь положительной, неограниченно возрастает. Это значит, что попадание аргумента в левую -окрестность точки 2 гарантирует выполнение неравенства

.

Эскиз графика функции расположен в полуполосе .

Прямая – вертикальная асимптота графика функции.

3. а) .

Раскроем модули в неравенствах:

.

б) По условию, аргумент стремится к отрицательной бесконечности, при этом функция стремится к своему предельному значению 3, оставаясь больше 3. Иначе, если для аргумента выполняется неравенство , это гарантирует попадание значений функции в правую (верхнюю) -окрестность точки 3:

 

 

.

Эскиз графика функции расположен в полуполосе ,

прямая – горизонтальная асимптота графика функции.

4. ,

поэтому

.

 

Эскиз графика функции расположен внутри угла .

 

studopedya.ru

3. Односторонние пределы.

бозначение предела

Предел функции обозначается как или через символ предела:.  Всюду ниже предполагается, что пределы функцийсуществуют.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p – действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0. 

Предел логарифмической функции

где основание a > 0. 

Теорема “о двух милиционерах”

Предположим, что для всехx близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается “зажатой” между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L

studfiles.net

5.07.2 Односторонние пределы и их связь с пределом

Когда мы формулировали определение предела функции в точке , то не делали никакого ограничения на способ стремления значений к , т. е. точка могла стремиться к точке и справа, и слева. Если в определении предела функции потребовать, чтобы стремилось к не любым способом, а только слева (оставаясь все время меньше ) или только справа (оставаясь больше ), то получим определение предела слева и справа в точке .

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к слева, если для любого , найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определение предела функции при , стремящемся к справа, формулируется аналогично, с той лишь разницей, что выполнение неравенства требуется для из правой полуокрестности : .

Пределы слева и справа иначе называются односторонними пределами и соответственно обозначаются так:

, .

Из определения предела следует, что если функция имеет в какой–либо внутренней точке промежутка предел, то она имеет в этой точке и односторонние пределы, причем

.

Но функция может иметь односторонние пределы и при отсутствии предела в точке, например, пусть

Таким образом , , следовательно в точке эта функция не имеет предела.

Если же функция в некоторой точке имеет односторонние пределы, причем , то их общее значение будет пределом функции в этой точке.

Все сформулированные выше теоремы о пределах и все изложенное в пункте 5.6 относительно неопределенностей легко переносятся на случай функций, если воспользоваться определением предела функции на языке последовательностей.

Понятия бесконечно малой и бесконечно большой переменной можно перенести на функцию.

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если . Функция называется бесконечно большой при , если .

Например, функция является бесконечно малой при (так как ) и бесконечно большой при (так как ).

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

3.Понятие предела функции при , . Примеры. Односторонние пределы.

1)Предел при по Гейне:

Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к A.

2)Предел при по Коши:

Число A называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

2)Предел при :

Число A называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Односторонние пределы:

1)Предел слева

Число A называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при , выполняется неравенство .

Записывается так:

2)Предел справа

Число A называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного числа существует такое число , что при , выполняется неравенство .

Записывается так:

Пример:

Вычислить.

Решение:


itm-x18.narod.ru

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *