Как решать пределы для чайников, примеры решений
Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что “скучная теория” должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить а) ; б) |
| Решение |
а) б) Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. |
| Ответ |
| Пример 2 |
| Решение |
Внимание “чайникам” 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать: Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними – это не так страшно как кажется 🙂 |
| Ответ |
Что делать с неопределенностью вида:
| Пример 3 |
| Решить |
| Решение |
Как всегда начинаем с подстановки значения в выражение, стоящее под знаком предела. Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи . Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂 Получаем, что числитель Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: |
| Ответ |
| Пример 4 |
| Решение |
Бесконечность получилась в результате – это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность. |
| Ответ |
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность:
| Пример 5 |
| Вычислить |
| Решение |
Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное – возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем… Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: |
| Ответ |
| Пример 6 |
| Решение |
Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем… |
| Ответ |
Алгоритм вычисления лимитов
Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: “ноль делить на ноль” или “бесконечность делить на бесконечность” и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность “ноль делить на ноль” нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”, тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.
Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!
Определение и нахождение пределов. Методы решения лимитов
Тестирование онлайн
Определение предела последовательности
Число a называется пределом числовой последовательности, если для любого существует число такое, что для всех n>N выполняется неравенство
Когда число a является пределом числовой последовательности (xn), то пишут:
Пример 1. Рассмотрим числовую последовательность . Найдем несколько первых элементов этой последовательности:
Элементы числовой последовательности будем отображать точками на координатной прямой:
Легко заметить, что пункты, которые отображают элементы данной числовой последовательности с нарастанием номера n все ближе и ближе приближаются к пункту a=1. Расстояние от xn до пункта а=1 может быть меньше или вообще любого положительного числа.
Когда последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Когда пределом последовательности является число a, то говорят, что последовательность (xn) сходится к a.
(В нашем примере последовательность сходится к 1).
Когда последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся.
Из определения предела последовательности следует, что
Арифметические действия над сходящимися последовательностями
Определение предела функции
Число A называется пределом функции y=f(x) в пункте x0, когда для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех x, которые удовлетворяют неравенству выполняется неравенство:
Когда число A является пределом функции f(x), то пишут:
Обратите внимание! Здесь x стремится к некоторому числу, а не к бесконечности. Арифметические действия для пределов фунции аналогичные.
Методы решения пределов
При отыскании пределов отношения двух многочленов относительно
Решение пределов вида , где P(x) и Q(x) – целые многочлены. Если P(x0)=Q(x0)=0, то дробь рекомендуется сократить.
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.
Еще один способ решения пределов с иррациональными выражениями – это перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.
При вычислении пределов во многих случаях используется формула
Нахождение пределов вида
При решении подобных пределов часто используют формулу числа e:
Некоторые важные пределы:
Предел функции в точке – онлайн калькулятор
Следующий калькулятор может вычислить предел функции в заданной вами точке численным методом. Недостатком данного метода вычисления есть тот факт, что калькулятор не сможет вам посчитать предел функции, когда заявленный аргумент стремиться к бесконечности.
Число A называется пределом функции y=f(x), при х->x0, если для всех значений x, достаточно мало отличающихся от числа x0, соответствующие значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа A.
На данной формуле основана работа текущего калькулятора.
Чтобы вычислить предел мы берем и вычисляем значение функции в точке незначительно отличающейся от заданной. Незначительно – это на величину, которая не очень то и отличается от заданной точки, которая возможна для вычисления. За счет уменьшения некоторой малой величины методом деления (пока значение функции в точке, отличающейся от заданной на эту малую величину, определено), мы получаем ту саму незначительную величину.
В результате предпоследнего вычисления мы получаем предел нашей функции.
The field is not filled.
‘%1’ is not a valid e-mail address.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
June
July
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
minutes
minutes
minute
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
hour
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
days
day
day
day
day
days
days
days
days
days
days
days
month
month
month
month
months
months
months
months
months
months
months
year
of the year
of the year
of the year
years
years
years
years
years
years
years
ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutesу ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 hour ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 days ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
Предел функции в точке – численный метод.Предел функции в точке:
hostciti.net
Найти предел функции онлайн с подробным решением
Service Mall Краткое руководство
Service Mall Краткое руководство В данном руководстве вы можете найти следующую информацию о Service Mall: Общая информация (стр. 2) Просмотр доступных услуг и запасных частей (стр. 3) Управление корзиной
ПодробнееМатематикос онлайн обучение.
Математикос онлайн обучение. Дистанционные занятия в online-сервисе Mathematicos. Серия «Пять занятий на отлично!» Глава 4. Степени. Показательные Уравнения. Формулы Степеней. Степени. Корни. Дробные степени.
ПодробнееУчебный центр «Резольвента»
Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ Учебно-методическое пособие для школьников К. Л. Самаров, 2010 ООО «Резольвента», 2010 числа? Определение
ПодробнееРогаткина Инна Алексеевна ПРОЕКТ
Департамент образования города Москвы Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы «Школа 1186 имени Мусы Джалиля» Рогаткина Инна Алексеевна ПРОЕКТ на тему: «Расчёт маршрута ознакомительной
ПодробнееИнструкция Оператора
Инструкция Оператора I Создание новой Электронной Заявки и печать Уведомления 1 Отсканируйте предоставленные Заявителем документы и сохраните их в файл Запомните, где вы его сохранили 2 Запустите интернет-браузер
ПодробнееПодготовка к ЕГЭ по математике
2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В15 Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru
ПодробнееMATHCAD ЭКСПРЕСС-КУРС
MATHCAD ЭКСПРЕСС-КУРС Mathcad программный пакет для выполнения разнообразных математических и технических расчетов 1 Начало работы в пакете Mathcad Окно программы выглядит так: Рисунок 1 Оно программы
ПодробнееТема 1 Построение графиков функций
Тема Построение графиков функций Теоретический материал по построению графика функции в MathCAD Прочитать теорию Раздел Построение графика функции. Построение графика функции в MathCAD График функции –
ПодробнееРуководство по работе с Личным Кабинетом
Руководство по работе с Личным Кабинетом 1. Регистрация и Вход в ЛК При первом входе в Рабочую Зону сайта Умной компании Вы попадаете на страницу Приветствия. При последующем заходе Вы будете перенаправляться
ПодробнееФинансово-экономические расчеты в EXCEL 4
Финансово-экономические расчеты в EXCEL 4 Внимание: При работе с финансовыми функциями необходимо учитывать специфику задания значения аргументов: можно вводить как сами значения аргументов, так и ссылки
ПодробнееИнструкция по работе с порталом
Инструкция по работе с порталом поддержки 01/12/2017 Служба технической поддержки 8 800 505-72-01 [email protected] www.fsight.ru СОДЕРЖАНИЕ Общие положения… 4 Термины и определения… 3 Порядок регистрации
ПодробнееТема 1. Элементы теории погрешностей
– 1 – Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено
ПодробнееЛабораторная работа 3.3
Лабораторная работа. ЛОГИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ФУНКЦИИ Задание 1. Напишите формулу, которая определяет, принадлежит ли заданное число Х отрезку [a, b]. В ячейки A и В введем числовые значения для отрезка
ПодробнееББК Б94 ISBN
ББК 74.262.21 Б94 Б94 Буцко Е.В. Алгебра : 7 класс : методическое пособие / Е.В. Буцко, А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский и др. М. : Вентана-Граф, 2017. 104 с. : ил. ISBN 978-5-360-08673-4 Пособие содержит
ПодробнееГид по Порталу Сообщества ФитКервс.
Гид по Порталу Сообщества ФитКервс http://portal.fitcurves.org/ Вход на портал «Вход» для входа введите логин и пароль. Все пользователи, которые имели доступ на старом портале, получили обновлённые данные
ПодробнееЛабораторная работа 3 Подбор параметров
1. Введение Лабораторная работа 3 Подбор параметров При решении различных задач часто приходится заниматься проблемой подбора одного значения путем изменения другого. Для этой цели весьма эффективно используется
Подробнее8 класс Алгебра. Тема “Рациональные дроби”
8 класс Алгебра Тема “Рациональные дроби” 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей.
ПодробнееРаздел 3 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Раздел 3 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Дронова Е.Н., кандидат педагогических наук, доцент Гутова В.Ю., студентка 5 курса Института физико-математического образования Алтайский государственный педагогический
ПодробнееГенерация нового ключа подписи Клиента
Генерация нового ключа подписи Клиента Предварительная генерация Перейдите на официальном сайте Банка в сети интернет на страницу входа клиентов в систему ДБО «ibank 2» по адресу https://ibank2.rublev.ru/ibank2.
Подробнееω n =, а коэффициенты a n и
Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке
Подробнееacron tehnology ACRON.TECH
ПРЕЗЕНТАЦИЯ ACRON.TECH ДОБРО ПОЖАЛОВАТЬ в промышленный майнинг будущего Передовые технологии Собственная экосистема Уникальный алгоритм «DYNAMIC POOL» Эталонная безопасность с «Acron Blockchain Logging»
Подробнееdocplayer.ru