что такое? Определение термина, примеры
В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин “уравнение”. Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.
Математика. Уравнения
Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение – это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.
Что такое переменная? Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:
- температура воздуха;
- рост ребенка;
- вес и так далее.
В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с… Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.
Разновидности
Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:
- линейные;
- квадратные;
- кубические;
- алгебраические;
- трансцендентные.
Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.
Линейное уравнение
Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.
Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.
Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.
Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример линейного уравнения, по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.
Квадратные уравнения
Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax2+bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.
Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b2-4ac. Есть три варианта исхода решения:
- дискриминант больше нуля;
- меньше нуля;
- равен нулю.
В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.
Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.
Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.
Особые случаи в квадратных уравнениях
Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.
Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х2=0. В итоге получаем х=0.
Другой случай 16х2-9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х2=9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х2= девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.
Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х2+80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х2=-80, теперь каждую часть делим на пять: х2= минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.
Разложение трехчлена
Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х1)(х-х2). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.
Рассмотрим следующий пример: 3х2-14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).
Уравнения сводящиеся к квадратному
В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:
(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x2 – 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а2-2а-3=0. Наш следующий шаг – это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x2 – 2x=-1; x2 – 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.
Кубические уравнения
Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.
Рассмотрим пример: 3х3+4х2+2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х2+4х+2)=0. Все что нам остается сделать – это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.
Алгебра. Уравнения
Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: методом группировки разложить на множетели 3х4+2х3+8х2+2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х4+3х2)+(2х3+2х)+(5х2+5). Заметим, что 8х2 из первого выражения мы представили в виде суммы 3х2 и 5х2. Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х2(х2+1)+2х(х2+1)+5(х2+1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х2+1)(3х2+2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.
Трансцендентные уравнения
Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin2x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.
Функция
Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.
fb.ru
Что такое уравнение
Equation
Уравнение – это равенство, содержащую неизвестные числа, обозначенные буква-ми. Неизвестные числа в уравнении называют переменными (переменная – variable). Переменные чаще обозначают буквами x, y, z, хотя можно обозначить их и другими буквами.
Например
5x = 30 3a = 18.
Число, удовлетворяющее уравнению, называется его корнем (корень – root), или решением (решение – solution).
Например
Уравнение 3x-17 = 7 имеет решение x = 8,
Уравнение x (x-2) (x-3) = 0 имеет три корня: x = 0, x = 2, x = 3.
Уравнение x-7 = x не имеет никакого корня
Решить (solve) уравнение – это значит найти все его решения или показать, что их не существует.
Два уравнения называют равносильными (равносильны уравнения – equivalent equations), если они имеют одинаковые решения. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют решения.
Чтобы решать сложные уравнения, нужно уметь заменять их простыми и равносильными данным.
Всегда правильные следующие основные свойства уравнений.
1. В любой части уравнения можно свести подобные слагаемые или раскрыть скобки.
2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнение вида ax + b называется линейным уравнением (линейное уравнение – linear equation) с переменной х. Числа a, b – коэффициенты (коэффициент – coefficient) данного уравнения; a – коэффициент при переменной x, b – свободный член уравнения.
Если a ≠ 0, то уравнение ax + b называют уравнением первой степени с одной переменной (уравнение первой степени – simple equation).
Его корень. Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет один корень.
Линейное уравнение может не иметь корней, иметь один корень или множество.
Например
Уравнение 0x = 5 не имеет никакого решения, потому что не существует числа, которое бы при умножении на 0 в произведении дало 5;
уравнения 0x = 0 имеет множество корней, его удовлетворяет произвольное значение переменной х.
Пример 1
Решить уравнение | x-2 | = 5.
Согласно определению модуля необходимо рассмотреть два случая:
x-2 ≥ 0, тогда | x-2 | = x-2,
x-2 <0, тогда | x-2 | = – (x-2) = 2-x.
worldofscience.ru
УРАВНЕНИЯ – это… Что такое УРАВНЕНИЯ?
где lg – логарифм по основанию 10.
Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.
Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.
Линейные уравнения.
Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.
Другие алгебраические уравнения. Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители. Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2 – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю: Таким образом, корни равны x = -1,
Системы линейных уравнений. Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде
Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей
и
отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система
(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений. Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:
где Aji – алгебраическое дополнение элемента aij в матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r – ранг матрицы (aij), s – ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда: (1) если r = s, то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r См. также АЛГЕБРА.
Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
- ЧИСЛО e
- КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
Смотреть что такое “УРАВНЕНИЯ” в других словарях:
Уравнения — Уравнение равенство вида или , где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… … Википедия
уравнения — решать дифференциальные уравнения • решение … Глагольной сочетаемости непредметных имён
Уравнения Эйлера — Лагранжа — Уравнения Эйлера Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… … Википедия
Уравнения Навье — Стокса — Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая меха … Википедия
Уравнения Рейнольдса — (англ. RANS (Reynolds averaged Navier Stokes)) уравнения Навье Стокса (уравнения движения вязкой жидкости) осредненные по Рейнольдсу. Используются для описания турбулентных течений. Метод осреднения Рейнольдса заключается в замене случайно… … Википедия
Уравнения Эйлера-Лагранжа — Уравнения Эйлера Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия,… … Википедия
Уравнения Прока — Уравнения Прока обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде , где антисимметричный тензор электромагнитного поля … Википедия
Уравнения Петерсона ― Кодацци — Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным… … Википедия
Уравнения Рауса — Уравнения Рауса дифференциальные уравнения движения механической системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом (англ.)русск. в 1867 г. Для системы с s степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, уравнения… … Википедия
Уравнения Фаддеева — Уравнения Фаддеева это уравнения, которые описывают все возможные взаимодействия в системе трёх частиц в полной квантовомеханической формулировке. Установлены Л. Д. Фаддеевым. Уравнения могут быть решены итерационным способом. В… … Википедия
Книги
- Уравнения, Шахмейстер А.Х.. Данное пособие предназначено для углубленного изучения школьного курса математики, содержит большое количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для… Подробнее Купить за 354 руб
- Уравнения, Шахмейстер А.. Данное пособие предназначено для углубленного изучения школьного курса математики, содержит большое количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для… Подробнее Купить за 274 руб
- Уравнения, Шахмейстер Александр Хаймович. Данное пособие предназначено для углубленного изучения школьного курса математики, содержит большое количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для… Подробнее Купить за 258 руб
dic.academic.ru
Уравнение – это… Что такое Уравнение?
Уравне́ние — это равенство вида
или, в приведённой форме
где и — функции (в общем случае — векторные) одного или нескольких аргументов.
Решение уравнения
Иллюстрация графического метода нахождения корней уравненияРешение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Равносильные уравнения
Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.
Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.
Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.
Третье важное свойство задается теоремой: уравнение
эквивалентно совокупности уравнений:
Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений и позволяет находить корни частями.
Основные свойства
С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:
- В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
- В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
- Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
- К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
- Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
- Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающим значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.
Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
Следствие уравнения и посторонние корни
Уравнение
называется следствием уравнения
- ,
если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.
Пример
Уравнение
при возведении обеих частей в квадрат дает уравнение
- или
Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить. Оно имеет два корня
- и .
При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество
При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:
- .
Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.
Виды уравнений
Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.
Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.
К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.
Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.
В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.
Примеры уравнений
См. также
Литература
- Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. — М., 1968.
- Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
- Каплан Я. В. Рівняння. — Киев: Радянська школа, 1968.
- Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии
- Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
- Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
- Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
Ссылки
dic.academic.ru
Уравнение в математике – введение в математику. основы
Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение )
Уравне́ние — это равенство вида
Чаще всего в качестве выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и др.
Содержание
- 1 Решение уравнения
- 1.1 Равносильные уравнения
- 1.2 Основные свойства
- 2 Следствие уравнения и посторонние корни
- 3 Виды уравнений
- 3.1 Алгебраические уравнения
- 3.1.1 Линейные уравнения
- 3.1.2 Квадратные уравнения
- 3.1.3 Кубические уравнения
- 3.1.4 Уравнение четвёртой степени
- 3.1.5 Системы линейных алгебраических уравнений
- 3.2 Уравнения с параметрами
- 3.3 Трансцендентные уравнения
- 3.4 Функциональные уравнения
- 3.5 Дифференциальные уравнения
- 3.1 Алгебраические уравнения
- 4 Примеры уравнений
- 5 См. также
- 6 Примечания
- 7 Литература
- 8 Ссылки
Решение уравнения
Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения
Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).
Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Равносильные уравнения
Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.
Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.
Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.
Третье важное свойство задается теоремой: если функции заданы над областью целостности, то уравнение
эквивалентно совокупности уравнений:
Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений и позволяет находить корни частями.
Основные свойства
С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:
- В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
- В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
- Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
- К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
- Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
- Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.
Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
Следствие уравнения и посторонние корни
Уравнение
называется следствием уравнения
- ,
если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.
Пример
Уравнение
при возведении обеих частей в квадрат даёт уравнение
- или
Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить. Оно имеет два корня
- и .
При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество
При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:
- .
Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.
Виды уравнений
Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.
Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.
К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.
Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.
В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.
Алгебраические уравнения
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
где — многочлен от переменных , которые называются неизвестными.
Коэффициенты многочлена обычно берутся из некоторого поля , и тогда уравнение называется алгебраическим уравнением над полем . Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена .
Например, уравнение
является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.
Линейные уравнения
- в общей форме:
- в канонической форме:
Квадратные уравнения
где — свободная переменная, , , — коэффициенты, причём
Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называютпервым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членомэтого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент : Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю. Графиком квадратичной функции является парабола.
Для нахождения корней квадратного уравнения в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:
Кубические уравнения
График кубической функции
Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.
Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду:
поделив его на и подставив в него замену При этом коэффициенты будут равны:
Уравнение четвёртой степени
График многочлена4-ой степени с четырьмя корнями и тремякритическими точками.
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).
Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.
Системы линейных алгебраических уравнений
Система уравнений вида:
| (1) |
Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].
Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной. Система называется квадратной, если числоm уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
| c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). |
Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Уравнения с параметрами
Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:
- Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
- Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.
Пример линейного уравнения с параметром:
Пример нелинейного уравнения с параметром:
где — независимая переменная — параметр.
Трансцендентные уравнения
Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:
Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида , где функции и являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.
Функциональные уравнения
Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:
- функциональному уравнению
- где — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.
- Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
- (формула дополнения Эйлера)
- Функциональное уравнение
- где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству ad − bc = 1, то есть , определяет f как модулярную форму порядка k.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производныхразличных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называетсяфункция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на
- обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента:
- или ,
где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по .
- и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных:
- ,
где — независимые переменные, а — функция этих переменных.
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.
Примеры уравнений
См. также
- Линейное уравнение
- Квадратное уравнение
- Решение какого-либо уравнения построением
- Система уравнений
- Переменная
Примечания
intellect.ml
Уравнение
Цели урока:
1) Обучающая: формировать представления об уравнении, корне уравнения, решении уравнений; организовать деятельность, направленную на выполнение учебных заданий, связанных с решением уравнений вида: х + а = b, x — a = b, a — x = b и приводимых к ним; создать условия для расширения знаний математических понятий и формирования новых знаний.
2) Развивающая: содействовать развитию и обогащению словарного запаса.
3) Воспитывающая: содействовать расширению кругозора.
Тип урока: изучение нового материала с первичным закреплением.
План урока:
1. Организационный этап.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Этап получения новых знаний.
4. Этап обобщения и закрепления нового материала.
5. Рефлексия.
6. Заключительный этап.
Форма урока: Видеоматериал с элементами практикума.
Ход урока:
1. Организационный этап.
Здравствуйте. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы узнать, ваше настроение и как вы настроены к работе на уроке.
2. Актуализация опорных знаний:
На предыдущих уроках мы с вами решали задачи способом моделирования условия задачи отрезками, и в ходе решения составляли выражения для нахождения неизвестного числа.
3. Этап получения знаний:
Скачать видеоурок «Уравнение»
Тема нашего урока «Уравнение». На этом уроке мы узнаем такие понятия как уравнение, корень уравнения. А также научимся составлять и решать уравнения.
В математике принято и очень удобно обозначать неизвестное число буквой, затем составлять равенство и решать это равенство. Рассмотрим задачу: Лере задали прочитать рассказ. Она прочитала этот рассказ за два дня. В первый день Лера прочитала 40 страниц. Сколько страниц прочитала Лера за второй день, если известно, что весь рассказ состоял из 65 страниц?
Решение: Для наглядности внесем известные нам данные в таблицу. Мы знаем, что за первый день Лера прочитала 40 страниц, и знаем, что всего 65 страниц в рассказе. Обозначим буквой х неизвестное количество страниц, которые Лера прочитала за второй день. Составим равенство по известным нам данным. Мы к страницам, прочитанным за первый день (40), прибавим количество прочитанных страниц за второй день (х), и это будет равно количеству всех страниц в рассказе (65). Получили равенство: 40 + х = 65. Нам надо найти такое значение х, при котором будет выполняться это равенство. По смыслу вычитания, чтобы найти неизвестное слагаемое мы должны от известной суммы отнять известное слагаемое. Т. е. получаем х = 65 — 40. Вычислим правую часть получившегося равенства, получим х = 25. Значит, Лера прочитала 25 страниц рассказа за второй день. Ответом задачи будет: Лера прочитала 25 страниц за второй день.
Равенство 40 + х = 65 называют уравнением.
Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.
Например, корнем уравнения 40 + х = 65 является число 25.
Если в равенство входит буква, то оно может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях. Например, уравнение 40 + х = 65 при х = 25 — верно, подставим вместо х значение 25, видим, что равенство выполняется верно. А при х = 15 — это равенство будет уже неверным, т.к. при замене х на число 15 равенство 40 + 15 никак не может быть равно 65.
Иногда надо узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет. Тогда его не надо решать, нужно просто подставить предлагающиеся числа вместо неизвестного числа. Если получится верное равенство, то это данное число и есть корень уравнения, если равенство неверно — число не является корнем. Например, выполним задание: какое из чисел 3, 5 или 7, является корнем уравнения х + 7 = 12? Подставим по очереди каждое данное нам число. При х = 3 получаем равенство 3+7 равно оно 10, что в свою очередь не равно 12. При х = 5, получаем 5+7=12. При х = 7, получаем 7+7=14 и ≠12. При подстановке чисел мы убедились, что только число 5 дает в сумме с числом 7 верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни, или убедиться, что уравнение не имеет корней.
Запишите полезные правила для решения некоторых уравнений:
1. Нахождение неизвестного слагаемого:
a + x = b, где a и b — любые натуральные числа. Если нам неизвестно второе слагаемое, то мы должны из суммы вычесть первое слагаемое, т. е. x = b — a.
x + a = b. Если нам неизвестно первое слагаемое, то мы должны от суммы отнять второе слагаемое, т. е. x = b — a.
2. Нахождение неизвестного уменьшаемого:
x — a = b. Если нам неизвестно уменьшаемое, то мы должны к разности прибавить вычитаемое, т. е. x = b + a.
3. Нахождение неизвестного вычитаемого:
a — x = b. Если нам неизвестно вычитаемое, то мы должны от уменьшаемого отнять разность, т. е. x = а — b.
4. Этап обобщения и закрепления нового материала.
Итак, сделаем основные выводы: на этом уроке мы узнали, что такое уравнение, корень уравнения. Научились составлять уравнения и решать их.
Для закрепления материала ответьте на вопросы:
– Какое равенство называют уравнением?
– Какое число называют корнем уравнения?
– Что означает требование Решить уравнение?
– Как проверить, является ли определенное число корнем данного уравнения?
– Как найти неизвестное слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое)?
5. Рефлексия.
Были ли трудности при работе на уроке? Если да, то какие?
videouroki.net
Виды уравнений, формулы и примеры
Определение и основные виды уравнений
Например.
Некоторые классы уравнений решаются аналитически (среди алгебраических это линейные, квадратные, кубические уравнения и уравнения четвертой степени), то есть решение записывается в виде формулы. Алгебраические уравнения высших степеней (более, чем четвертая) в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые сводятся к уравнениям низших степеней.
В общем случае, если аналитическое решение не существует, применяют численные методы.
Алгебраические уравнения
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
где — многочлен переменных , которые называются переменными или неизвестными.
Например.
Степенью алгебраического уравнения называется степень многочлена .
Линейным уравнением от неизвестных называется уравнение вида
Например. — линейное уравнение с одной переменной.
Квадратным уравнением (уравнением второй степени) называется уравнение
Здесь — переменная, — старший или первый коэффициент, — второй коэффициент, — свободный коэффициент.
Например.
Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен единице.
Например.
Уравнением с параметрами называется математическое равенство, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Например.
Уравнение, содержащее трансцендентные функции, называется трансцендентным.
Например.
Трансцендентная функция — это аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Алгебраической называется элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.
Функциональным называется уравнение, которое определяет связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках.
Например.
Уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком производной, называется дифференциальным.
Например.
Интегральным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком интеграл.
Например.
ru.solverbook.com