§3. Основные правила интегрирования
I. .
II. .
III. Если , то.
Неопределенный
интеграл – это множество функций и
равенства I
и II
надо понимать как совпадение множеств.
Например, равенство I
означает следующее: чтобы получить
элементы множества 
,
надо каждый элемент множества 
умножить на число 
.Правило
III
можно доказать так:
.
Тогда
,
т.е. .
Отметим,
что правило III
“работает” только тогда, когда вместо
переменной интегрирования 
:,
но . Для этого интегралаправильный ответ имеет вид: .
Замечание. Правило III есть весьма частный случай замены переменной (см. следующий параграф).
§4. Основные методы интегрирования
I Непосредственное интегрирование
Так принято называть вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов, правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегральной функции.
Примеры.
1.
.
.
Можно предложить и другой способ:
.
Ответы по форме различны, но формулы тригонометрии позволяют доказать их тождественность.
3. .
4.Частный случай формулы 14 из §2:
.
5.Один полезный прием:
.
II Метод замены переменной
Существуют
две реализации этого метода: 1) в качестве
новой переменной интегрирования 
рассматриваем некоторую функцию 
заменяем специально подобранной функцией
.II.1 Подведение под знак дифференциала
Теорема
1. Пусть известно, что
.
Тогда, если функция
– непрерывно-дифференцируема, то
. (1)
Доказательство.
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
,
что и доказывает (1).
Чтобы воспользоваться этой теоремой на практике, необходимо вычленить в подынтегральной функции производную некоторой функции, объединить эту производную с дифференциалом переменной интегрирования и сделать замену. После вычисления интеграла вернуться к исходной переменной интегрирования.
Примеры.
6.
.
Замечание 1. Замену такого типа можно производить и без подведения под знак дифференциала.
7.
.
8.
.
Сразу отметим здесь, что такой простой заменой не всегда удается избавить-
ся
от иррациональности (попробуйте сами,
заменив в числителе 
на
).
Замечание 2. Приведем две формулы, которые часто встречаются и их
лучше запомнить как табличные:
,
.
II.2 Метод подстановки
Теорема
2. Пусть требуется вычислить интеграл 
и пусть
– непрерывно-дифференцируемая функция,
имеющая обратную
.
Тогда, если
, (2)
то
. (3)
Доказательство. Равенство (2) означает, что . Тогда
.
Сравнение начала и конца этой цепочки равенств и доказывает равенство (3).
Пример.
9.
=
.
Ответ можно упростить, если учесть формулу синуса двойного угла:
.
III Интегрирование по частям
Теорема
3. Если 
и
– непрерывно-дифференци-руемые функции,
то справедлива формула
. (4)
,
,
отсюда и следует формула интегрирования по частям (3).
При
практическом применении этого метода
подынтегральное выражение надо разбить
в произведение 
таким образом, чтобы функция
вычислялась просто, а интеграл в правой
части (4) был бы проще исходного.
Примеры.
10.
.
.
Замечание
3. Если при вычислении интеграла 
взять другую первообразную, например
,
получим тот же результат:
.
Замечание
4. Область применения этого метода в
основном исчерпывается интегралами
вида 
– многочлен, а
– это: 1) показательные, тригонометрическиеи гипербо-лические функции; 2)
логарифмические и обратные тригонометрические
функции. При этом в качестве
в случае 1) берем многочлен, а в случае
2)– логарифмы и аркфункции. Отметим,
что в случае 2) «многочлен» может
содержать степени переменной с
ненатуральными показателями.Примеры.
12.
.
13.
.
Мы пришли к уравнению , из которого
получаем
.
14.Для интеграла путем двукратного интегриро-
вания по частям можно получить уравнение
,
из которого находим
.
Аналогичным образом можно найти интегралы
, 
, 
studfiles.net
Способы вычисления определенного интеграла Интегрирование по частям
Пусть 
и
– дифференцируемая функция от
.
Тогда
(8.21)
Проинтегруем
тождество (8.21) в границах от 
,
получим(8.22)
Поскольку
,
то
и равенство (8.22) приобретает вид
или
окончательно 
(8.23)
Формула (8.23) и выражает способ интегрирования по частям определенного интеграла. Видно, что она подобна формуле (7.12) интегрирования по частям неопределенного интеграла.
Пример.1. Вычислить 
.
Решение
Пример 2. Вычислить 
.
Решение.
Интегрирование подстановкой
Пусть
надо вычислить определенный интеграл 
где 
– непрерывная на
функция, а первообразной для нее нет в
таблице простейших интегралов. Тогда
произведем замену переменной, а именно,
введем новую переменную
таким образом:,
где
– непрерывно дифференцируема на
функция.
Если при этом будут выполняться такие условия:
при изменении
отдопеременнаяизменяется отдо,
то есть
от
до
переменная
изменяется от
до
,
то есть. (8.24)
сложная функция
определена и непрерывна на отрезке,
то справедлива такая формула
определена и непрерывна на отрезке
,
то справедлива такая формула(8.25)
Формула (8.25) и выражает собою суть метода подстановки.
Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной (как это нужно было делать при вычислении неопределенного интеграла) достаточно лишь учесть границы интегрирования соответственно (8.24).
Пример 8.3. Вычислить 
Решение
Введем
новую переменную 
.
Тогда
. Вычислим границы интегрирования и результат представим в виде табл. 1. Таблица 1
из
которой видно, что при
,
а при
.
Итак, после введении новой переменной
получим
Пример 4.Вычислить
.
Решение.
Произведем замену переменной: . Тогда, а границы интегрирования приобретают значения: при
при
Итак, получаем
Таким образом, видим, что различие в применении метода замены переменной в неопределенном и определенном интеграле состоит в том, что в втором случае не надо возвращаться к старой переменной, поскольку при замене переменной изменяются также и границы интегрирования.
Приближенное вычисление определенного интеграла
Пусть
надо вычислить 
,
но первообразная для функции
не выражается через элементарные
функции. Тогда применить формулу
Ньютона-Лейбница невозможно. В таких
случаях применяются методы приближенного
вычисления определенных интегралов.
Рассмотрим их, используя определение
интеграла как границы интегральной
суммы. Разделим отрезок
точкамина
частичных отрезков равной длины.
Обозначим длину каждый из них через
.
Тогда
Обозначим
через
значения функции
в точках,
то есть
.
Составим суммы:
,
.
Каждая
из этих сумм представляет собой
интегральную сумму для 
на отрезке
и поэтому приближенно выражает интеграл
, (8.26)
. (8.27)
Из
рис. 8.7 видно, что формула (8.26) выражает
площадь ступенчатой фигуры, составленной
из прямоугольников, вписанных в
криволинейную трапецию, а формула (8.27)
выражает площадь ступенчатой фигуры,
составленной из прямоугольников,
описанных вокруг криволинейной трапеции.
Поэтому формулы (8.26; 8.27) называются
формулами прямоугольников. Погрешность
при вычислении интегралов за формулами
прямоугольников будет тем меньше, чем
больше число n. Она выражается формулой
где
-максимальное значение
абсолютной величиныпроизводной
на
.
Более точное значение определенного интеграла получим, если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как это делается в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 8.8).
Тогда
площадь криволинейной трапеции 
заменится суммой площадей прямолинейных
трапеций, ограниченных сверху хордами
Поскольку площадь первой из
этих трапеций равна 
,
площадь второй равняется
,
то
или
. (8.28)
Легко
видеть, что она дает среднее арифметическое
из формул (8.26 и 8.27). Формула (8.28) называется
формулой трапеций. В этом случае
погрешность вычисляется по формуле 
где 
– минимальное значение абсолютной
величины второй производной
на
.
Более точные результаты можно получить по формуле Симпсона (или формуле парабол), которая имеет вид:
(8.29)
При
этому надо обратить внимание на то, что
число 
частичных отрезков, на которые разбивается
отрезок
,
должно быть обязательно четным, то есть
.
Тогда каждые две соседних криволинейных
трапеции, на которые разбилась вся
криволинейная трапеция
(рис. 8.8), заменяютсяпараболической
трапецией, площадь
которой исчисляется по формуле
,
гдеи
–
крайние ординаты,
–
ордината кривой в середине отрезка, а
– расстояние между ординатами
и
(рис. 8.9).
Погрешность при этом может быть вычислена по формуле
где 
– максимальное значение абсолютной
величины производной
на отрезке
.
Пример.5. Вычислить приближенно
.
Точное
значение его 
.
З точностью до седьмого знака.
Вычислим теперь его значение, пользуясь
формулами (8.26-8.29). Для этого разделим
отрезок
на 10 равных отрезков. Тогда длина каждого
из них будет
.
Составим табл. 2 значений подынтегральной функции в точках разбиения .
Таблица 2
Тогда по формуле (8.26) получим.
По формуле (8.27) .
По формуле (8.28) .
По формуле Симпсона (8.29)
Таким
образом, по формуле Симпсона при 
получили 5 верных знаков, по формуле
трапеций – лишь три верных знака, за
формулами прямоугольников мы можем
быть уверены только в одном знаке.
studfiles.net
Определенный интеграл
Задание для студентов на практическое №3по теме
«Основы интегрального исчисления.Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме
Вопросы теории ( исходный уровень)
Первообразная функции и неопределённый интеграл.
Интегрирование.
Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.
Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.
Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.
Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах. (самостоятельная подготовка)
Содержание занятия:
1.ответить на вопросы по теме занятия
2.решить примеры
Примеры
Найти интегралы:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) | 11) | 12) |
13) | 14) | 15) |
16) | 17) | 18) |
19) | 20) | 21) |
22) | 23) | 24) |
25) | 26) | 27) |
Вычислить интегралы:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) | 8) | 9) |
10) | 11) | 12) |
13) | 14) | 15) |
16) | 17) | 18) |
19) | 21) | 22) |
23) | 24) | 25) |
26) | 27) | 28) |
29) | 30) | 31) |
32) | 33) | 34) |
35) | 36) | 37) |
38) |
Тема
Неопределенный интеграл
Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x)dx.
Свойства неопределенного интеграла
∫f(x)dx=F(x)+C
∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx
∫ d(F(x))=F(x)+C
(∫f(x)dx)=f(x)
∫f(x)dx= ∫f(t)dt
d∫f(x)dx=f(x)dx
∫af(x)dx+a∫f(x)dx
Основные интегралы
∫dx=x+C
∫xndx=xn+1/ (n+1) +C (n≠-1)
∫dx/x=ln|x|+C
∫axdx=ax/lna +C
∫exdx=ex+C
∫sin x dx=-cos x +C
∫cos xdx=sin x +C
∫dx/cos2x=tgx+C
∫dx/sin2x=-ctgx+C
∫dx/(1-x2)1/2=arcsinx=-arccosx
∫dx/(1+x2)= arctgx=- arcctgx
Интегрирование по частям
∫ udv = uv—∫ vdu.
Пример
Найти у = ∫ ln хdх.
Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C
Пример метод непосредственного интегрирования
Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx
На основании свойства интеграла суммы запишим
у= ∫ (1+ 2x2)dx = ∫ dx+2 ∫ x2dx =x+2x3/3+C
Пример; метод замены переменной( метод подстановки)
∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx обозначим cosx=t
Продифферинцируем праву и левую часть
-sinxdx=dt найдем dx=dt/(-sinx)
Запишим интеграл через новые переменные
∫(sinx/t) dt/(-sinx) =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной суммы
lim∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n и Δx→0)
где ki — произвольная точка соответствующего отрезка.
Формула Ньютона — Лейбница
где F′ — первообразная функцию f(x), т е
F′(x)=f(x)
Некоторые свойства определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x) и у = = f2(x) [ f’2(x)≥f1(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,
Дифференциальные уравнения
Общий вид дифференциального уравнения
F(x ,y,y′,y″,…yn) = О
Общee решение дифференциального уравнения
y=f(x, C1,C2, , Сn)
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
F(x,y,y’) = 0
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
y= f(x,C)
примеры
1 Дифференциальное уравнение типа y’=f(x)
dy/dx=f(х) , dx = f(x)dx
Общее решение
y=∫f(x)dx=F(x)+C
Дифференциальное уравнение типа
у’ = f(y)
dy/dx=f(y), dy/f(y)=dx
Общее решение
∫dy/f(y)=F(y)+C
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
f(x) dx + φ(y)dy = 0
Общее решение
∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0
Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными
(f(x)/ψ(x))dx+(Ф(y)/φ(y))dy=0
Общее решение
∫(f(x)/ψ(x))dx+∫(Ф(y)/φ(y))dy=C, F1(x)+F2(y)=C
Первообразная функции и неопределенный интеграл.
Из школьного курса математики известно, что математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий (например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование).
Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(x) находить ее производную F(x) или дифференциал dF = F (x)dx.
Cуществует действие, обратное дифференцированию, интегрирование нахождение функции F(x) по известной ее производной f(x) = F(x) или дифференциалу f(x)dx.
Функцию F(x) называют первообразной функции f(x), если для всех х из области определения функции F(x) = f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Например, функция F(x) = x5 является первообразной функции f(x) = 5x4 для х , так как при любом х (х5) = 5х4 и dx5=5x4dx.
Для функции f(x) = 5x4 первообразной будет любая функция Ф(х) = х5 + С, где С – произвольное постоянное число, так как производная постоянной равна нулю.
В общем случае, если f(x) имеет первообразную функцию F(x), совокупность F(x) + C также будет первообразной для f(x):
(F(x) + C) = F(x) = f(x).
Cовокупность первообразных F(x) + С для данной функции f(x) или данного дифференциала f(x)dx называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают f(x)dx.
По определению, f(x)dx = F(x) + C (читается «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
Выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением, функцию f(x) – подынтегральной функцией, а С – постоянной интегрирования.
Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.
Пример. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = cos x, если при х = 0 F(0) = 0.
Решение. Функция cos x есть производная от функции sin x, поэтому cos xdx = sin x + C. Обозначим искомую первообразную F(x) = sin x + C. Подставив в последнее выражение начальные данные x = 0 и F(0) = 0, получим 0 = sin 0 + C, откуда C = 0. Искомая первообразная F(x) = sin x.
В геометрии с помощью неопределенного интеграла по закону углового коэффициента касательной в любой точке кривой можно найти уравнение кривой.
Пример. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен её абсциссе, то есть r = x. Составить уравнение кривой.
Решение. Так как угловой коэффициент r = tg = f(x) = x, то y= xdx = = x2/2 + C есть семейство парабол, отличающихся друг от друга на постоянную С.
studfiles.net
Основные правила интегрирования
Теорема:Любая непрерывная на интервале 
функция
имеет на этом интервале первообразную.
Одной из первообразных является функция:
,
где 
– любая фиксированная точка интервала
.
Так
как две первообразные данной функции 
отличаются на постоянную, то согласно
теореме, любая первообразная
непрерывной на сегменте
функции
имеет вид:
где 
– некоторая постоянная.
Полагая
в последней формуле сначала 
,
затем
, и используя первое свойства
определенного интеграла, получим:
, 
.
Из этих равенств вытекает соотношение:
,
которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона – Лейбница.
Пусть выполнены следующие условия:
1)
Функция 
непрерывна на отрезке
;
2)
отрезок 
является множеством значений некоторой
функции
,
определенной на отрезке
и имеющей на этом отрезке непрерывную
производную;
3) ,.
При этих условиях справедлива формула:
Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Пусть
функции 
и
имеют непрерывные производные на
сегменте
.
Тогда имеет место следующая формула
интегрирования по частям для определенных
интегралов:
.
Так как и, то эту формулу можно записать следующим образом:
.
Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
Определение: Плоская
фигура 
– часть плоскости, ограниченная простой
замкнутой кривой
,
при этом кривая
называется границей фигуры
.
Определение: Мы будем говорить, что многоугольник
вписан в фигуру 
,
если каждая точка этого многоугольника
принадлежит фигуре
или ее границе.
Определение: Если все точки плоской фигуры и ее
границы принадлежат некоторому
многоугольнику, то мы будем говорить,
что указанный многоугольник описан
вокруг фигуры 
.
Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру 
многоугольника не больше площади любого
описанного вокруг фигуры
многоугольника.
Пусть 
– числовое множество площадей вписанных
в плоскую фигуру
многоугольников, а
– числовое множество площадей описанных
вокруг плоской фигуры
многоугольников. Очевидно, что множество
ограничено сверху (площадью любого
описанного вокруг фигуры
многоугольника), а множество
ограничено снизу (например, числом
нуль).
Обозначим
через 
точную верхнюю грань множества
,
через
точную нижнюю грань множества
.
Числа 
и
называются соответственнонижнейплощадью иверхнейплощадью фигуры
Замечание: Нижняя площадь 
фигуры
не больше верхней площади
,
т. е.
.
Определение. Плоская фигура 
называетсяквадрируемой,
если верхняя площадь этой фигуры
совпадает с ее нижней площадью. При этом
число 
называетсяплощадью фигуры 
.
Теорема:Для того чтобы плоская фигура 
была квадирируемой, необходимо и
достаточно, чтобы для любого положительного
числа
можно было указать такой описанный
вокруг фигуры
многоугольник и такой вписанный в фигуру
многоугольник, что разность
площадей которых была бы меньше
,.
Определение:Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком
заданной на сегменте 
непрерывной и неотрицательной функции
,
ординатами, проведенными в точках
и
,
и отрезком оси
между точками
и
.
Теорема: Криволинейная трапеция представляет
собой квадрируемую фигуру, площадь 
которой может быть вычислена по формуле:
. Объемы тел вращения
Пусть 
– некоторое конечное тело. Рассмотрим
всевозможные многогранники, вписанные
в тело
,
и всевозможные многогранники, описанные
вокруг тела
.
Пусть 
– числовое множество объемов вписанных
в тело
,
а
– числовое множество объемов описанных
вокруг
многогранников. Множество
ограничено сверху (объемом любого
описанного многогранника), а множество
ограничено снизу (например, числом
нуль).
Обозначим
через 
точную верхнюю грань множества
,
а через
точную нижнюю грань множества
.
Числа 
и
называются соответственнонижним
объемом и верхним объемомтела
.
Замечание:Нижний объем
тела
не больше верхнего объема
этого тела, т. е.
.
Определение:Тело 
называется кубируемым, если верхний
объем
этот тела совпадает с нижним объемом
.
При этом число
называется объемом тела
.
Теорема: Для того чтобы тело 
было кубируемым, необходимо и достаточно,
чтобы для любого положительного числа
можно было указать такой описанный
вокруг тела
многогранник и такой вписанные в тело
многогранник, разность
объемов которых была бы меньше
.
Теорема: Пусть функция 
непрерывна на сегменте
.
Тогда тело
,
образованное вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции
,
ординатами в точках
и
,
и отрезком оси
между точками
и
,
кубируемо и его объем
может быть найден по формуле:
.
studfiles.net
2.2. Методы вычисления определенного интеграла
Вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано в большими трудностями даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются простыми. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов.
Ниже будет сформулирована теорема Ньютона-Лейбница, позволяющая сводить вычисления определенного интеграла к неопределенному. Эта теорема играет фундаментальную роль в математическом анализе (см.подробнее [1] с.397).
2.2.1. Теорема Ньютона-Лейбница
Пусть f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и F(x) одна из ее первообразных, тогда справедлива формула
Пример 34.
Вычислить 
.
Решение. Используя формулу Ньютона-Лейбница, а также табличный интеграл 16, получим
.
2.2.2. Методы замены переменной в определенном интеграле
а) Необходимо
вычислить интеграл 
,
где f(x) непрерывная функция на [a,b].
Перейдем к новой
переменной t,
полагая 
.
Пусть,
кроме того, при измененииt
от
до
значения функции 
не выходят за пределы сегмента [a,b].
Предположим, что функция 
непрерывно дифференцируема на промежутке
[,],
то справедлива следующая формула замены
переменной
.
Пример 35. Вычислить 
Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат
.
Введем новую переменную: тогда,
или
Найдем пределы интегрирования новой переменной t:
если 
,
то
если 
,
то.
Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле, получим
Заметим, что в данном случае при применении формулы замены переменной отпадает необходимость возвращения к старой переменной х по сравнению с неопределенным интегралом. Это вполне объяснимо, ибо определенный интеграл есть некоторое постоянное число, в то время как неопределенный интеграл от той же самой функции есть некоторая функция.
б) Часто вместо
замены переменной 
употребляют обратную замену переменной
.
На конкретном примере покажем, как это
делается.
Покажем это на конкретном примере.
Пример 36. Вычислить 
.
Решение. Пусть 
,
тогда
Если 
тоесли
,
то
Следовательно,
2.2.3. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Пусть 
и
непрерывные функции вместе со своими
первыми производными на [a,b],
тогда справедлива формула интегрирования
по частям:
Пример 37. Вычислить интеграл 
.
Решение. Применим полученную формулу
Подробнее о методах интегрирования в определенном интеграле см.[1] с.399-403.
3. Несобственные интегралы
Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении, что промежуток интегрирования [a,b] конечен и функция f(x) непрерывна на нем.
Иногда приходится отказываться от одного или обоих этих предположений. В этом случае мы приходим к понятию несобственного интеграла.
3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Рассмотрим функцию 
,
непрерывную на бесконечном промежутке
.
Несобственным
интегралом от функции f(x)
по промежутку 
называется
:
.
Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования называется сходящимся, в противном случае расходящимся.
Если 
на
и
,
то данный интеграл представляет собой
площадь бесконечной криволинейной
трапеции, ограниченной кривой
,
прямой
и бесконечным интервалом
.
Аналогично
определяется несобственный интеграл
на промежутке 
:
а на интервале определяется формулой
где с любое действительное число.
Если сравнить две
криволинейные трапеции на рис.3.1, то
конечность или бесконечность их
соответствующих несобственных интегралов
зависит от скорости убывания функции 
и
при.
Так, например, 
сходится при
и расходится при
.
В этом легко
убедится, вычислив 
,
если.
Если 
,
топри,
поэтому
расходится, следовательно, и площадь
соответствующей криволинейной трапеции
бесконечна.
несобственный
интеграл сходящийся, следовательно,
площадь криволинейной трапеции,
ограниченной линиями 
и бесконечным промежутком
,
является конечной и равна 1.
Пример 38. Исследовать на сходимость несобственный
интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом интегрирования и далее формулой интегрирования по частям
.
Несобственный интеграл сходится.
Пример 39.
Вычислить несобственный интеграл или
установить его расходимость 
.
Решение. Воспользуемся определением несобственного
интеграла с бесконечными пределами
интегрирования. Полагаем 
.
Признак
сравнения. Пусть в промежутке 
функцииf(x)
и g(x)
непрерывны и
.
Если
сходится, то сходится и интеграл
.
Если интеграл
расходится, то и
также расходится.
Замечание. Аналогичное утверждение верно для несобственных интегралов и по другим бесконечным пределам интегрирования.
Пример 40.
Исследовать на сходимость несобственный
интеграл 
.
Решение. Проведем сравнительный анализ подынтегральной функции при .
.
Но 
сходится, т.к.
(см. рассуждения выше). Следовательно,
по признаку сравнения сходится и данный
интеграл.
studfiles.net
Определенный интеграл | Высшая математика
Определенный интеграл | Высшая математика- Формула Ньютона-Лейбница:
, где - Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
- Замена переменной в определенном интеграле:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], где a=ϕ(α), b=ϕ(β), то - Интегралы с бесконечными пределами:
- Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами (признаки сравнения):
1. Если a≤x≤+∞, 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости
сходимость
≤
из расходимости расходимость
2. Если при a≤x≤+∞, f(x)>0, g(x)>0 и существует конечный предел ≠0, то интегралы сходятся или расходятся одновременно.
Эталоном сравнения служит интеграл:
он сходится при p>1 и расходится при p≤1. - Интегралы от неограниченных функций:
Если функция f(x) непрерывна при a≤x<b и
, то
. - Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций:
Аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл он сходится при 0<p<1 и расходится при p>1.
- Приложения определенного интеграла
- Площадь плоской фигуры
1.1. Фигура ограничена графиком функции y=f(x)(f(x)≥0), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
.
1.2. Фигура ограничена графиками функций y=f1(x) и y=f2(x), f1(x)≤2f2(x), и прямыми x=a, x=b:
.
1.3. Фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
, где f=x(t1), b=x(t2), y(t)≥0 на отрезке [t1; t2].
1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), лучами ϕ=α, ϕ=β, где ϕ и ρ — полярные координаты:
. - Длина дуги кривой
2.1. Гладкая кривая задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
.
2.2. Кривая задана параметрически, x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2:
(для плоской кривой z(t)≡0).
2.3. Кривая задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
. - Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой
3.1. Дуга задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
.
3.2. Дуга задана параметрически, x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2:
.
3.3. Дуга задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
. - Объем тела
4.1. Тело заключено между плоскостями x=a и x=b, площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox – известная функция S=f(x), непрерывная на отрезке [a; b], f(x)≥0:
.
4.2. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), a≤x≤b вращается вокруг оси Ox:
.
4.3. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой x=g(y), c≤y≤d вращается вокруг оси Oy:
.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач
matematika.electrichelp.ru
Основные правила интегрирования
1. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы (или разности) конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме (или разности) интегралов от этих функций:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
, .
3. (Инвариантность формулы интегрирования)
Если , то и , где – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Таблица основных интегралов
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
В таблице переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).
Непосредственное интегрирование
Непосредственным интегрированием называется метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (выражения) и применения свойств неопределенного интеграла сводится к табличному интегралу.
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала и методом подстановки
При сведении интеграла к табличному часто используют метод интегрирования путем подведения под знак дифференциала. В данном случае используют следующую формулу:
,
где – функция, имеющая непрерывную производную на рассматриваемом промежутке.
Применяют также интегрирование методом подстановки.
Обозначим , тогда получим . Тогда
.
Подведение под знак дифференциала есть одна из реализаций метода замены переменной.
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а иногда свести его даже к табличному.
Примеры.Вычислить следующие интегралы:
1. .
1 способ.
.
2 способ.
.
2. .
1 способ.
.
2 способ.
.
3. .
1 способ.
.
2. способ.
.
4. .
1 способ.
.
2 способ.
.
Метод интегрирования по частям
Пусть функции и имеют непрерывные производные на заданном интервале, тогда справедлива формула интегрирования по частям:
.
Метод интегрирования по частям целесообразно применять в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен, при этом за берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за берется та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Выделяют следующие типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1. , , , где – многочлен степени , – число.
При вычислении данных интегралов формулу применяют n раз, обозначив за .
2. , , , , .
При вычислении интегралов второго типа удобно обозначить за .
3. , , – числа.
В данном случае обозначают .
Примеры.
1.
2.
.
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза.
Пример.
.
Интегрирование простейших рациональных дробей
1. Интегралы вида сводят к табличным заменой .
2. Интегралы вида разбиваются на сумму двух интегралов и . Первый решается заменой . А второй представляет собой табличный интеграл.
3. Интегралы вида решаются с помощью выделения полного квадрата в знаменателе
.
Аналогично решаются интегралы вида .
Определенный интеграл
Пусть функция определена и ограничена на и произвольное разбиение этого отрезка на элементарных отрезков. На каждом отрезке выберем точку . Тогда сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Если предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует и конечен, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается:
.
Определенный интеграл не должен зависеть от способа выбора точек и точек
Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:
,
где любая первообразная функции на отрезке .
Таким образом, при вычислении определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница сначала, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят первообразную для подынтегральной функции , а затем вычисляют приращение первообразной на данном отрезке.
Примеры.
1.
2.
infopedia.su