Правила производных – Таблица производных, правила дифференцирования | Подготовка к ЕГЭ по математике

1.3. Основные правила дифференцирования

Теорема 1. Если функции идифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

.

Формула обобщается на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Если функции идифференцируемы в данной точкех, то в этой же точке дифференцируемо и их произведение, при этом:

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

, где .

Теорема 3. Если в данной точке х функции и

дифференцируемы и, то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем

.

1.4. Обратная функция и ее производная

Рассмотрим функцию y = f (x) с областью определения (a, b) и множеством значений (c, d). Пусть эта функция такова, что всякая прямая, проходящая через точку интервала (c, d) параллельно оси Ох, пересекает ее график только в одной точке, т.е. уравнение y = f (x) для каждого y(c, d) определяет единственное значение x(a, b). В этом случае каждому значению y

(c, d) соответствует единственное значение x(a, b), т.е. на интервале (c, d) задана функция, множество значений которой есть интервал (a, b). Эта функция называется обратной по отношению к функции y = f (x) и обозначается . Очевидно, что для функцииобратной является функция. Поэтому обе эти функции называютсявзаимно обратными.

Теорема. Если функция y = f (x) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке x этого интервала производную

, не равную нулю, то обратная функцияв соответствующей точкеy имеет производную, причем или иначе.

1.5. Производная сложной функции

Если и, тоестьсложная функция независимого аргумента x с промежуточным аргументом u.

Теорема. Если имеет производнуюв точкеx, а функция имеет производную

в соответствующей точкеu, то сложная функция в данной точкеx имеет производную , которая находится по следующей формуле.

Часто пользуются следующей формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимому аргументу.

Сложная функция может быть составлена не из двух функций, а из большого их числа. В таких случаях теорема применяется последовательно несколько раз.

В частности, если функция такова, что,

,, то производнаянаходится по формуле.

1.6. Производные основных элементарных функций.

Таблица производных

Используя определение производной, можно найти производные основных элементарных функций.

1. Производная степенной функции .

2. Производная показательной функции .

В частности, .

3. Производная логарифмической функции , ,. В частности,.

4. Производные тригонометрических функций ,,,.

Найдем, например, производную функции . По определению производной имеем:

.

Производную функции можно найти по правилу дифференцирования частного двух функций:

.

5. Производные обратных тригонометрических функций ,.

Найдем, например, производную функции . Функция,обратная к функции,. По правилу дифференцирования обратной функции

. На интервалеимеем .

Запишем таблицу производных для где.

1.

8.

2.

9.

3.

10.

4.

11.

5.

12.

6.

13.

7.

14.

Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производные следующих функций:

1) .

Применим правило дифференцирования произведения двух функций:

.

2) .

Применим правило дифференцирования частного двух функций:

.

3) .

Применим правило дифференцирования сложной функции:

.

studfiles.net

18 Основные правила нахождения производной

19 Применение производной к нахождению нибольших и наименьших значений функций на отрезке.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция  f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция  f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x0 называется критической точкой функции  f(x), если

1) x0 – внутренняя точка области определения  f(x) ;

2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x0– точка экстремума функции  f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак, то x0 – точка экстремума функции  f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

  1. Найти область определения функции.

  2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.

  3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.

  4. Найти производную функции и ее критические точки.

  5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

  6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

  1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;

  2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;

  3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

20 Функции 2 переменных. Частные производные. Перестановочность частных производных.Линии уровня.Градиент.

В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

,

– работа тока на участке цепи и др.

Далее остановимся на случае функции 2 переменных.

 

Определение 25.1.

Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменений D,  соответствует одно определенное значение величины z, то говорят, что z – есть функция двух независимых переменных  x и y , определенная  в области D (область определения функции).

Обозначение: z = f(x,y)=g(x,y)…

 

Способы задания функции

Табличный

S=S(x,y)

yx

1

1.5

2

1

1

1.5

2

5

5

7.5

10

 

 

 

Аналитическое задание функции

.

 

Определение 25.2.

Областью определения функции z = f(x,y) называется множество {x,y}, для которых формула имеет смысл.

 

Пример 25.1.

Функция определена при.

 

Графическое задание функции.

 

Определение 25.3.

Пусть задана функция Графиком называется множество точек в пространстве , где-абсцисса,- ордината, а- аппликата, т.е. графиком являетсяповерхность.

 

Ранее изучали, что – верхняя часть сферы,

– параболоид, – плоскость.

 

Замечание 1. Любая поверхность в пространстве является графиком функции, если прямая, параллельная, пересекает ее в одной точке.

 

Предел функции двух переменных

 

Определение 25.4.

Множество точек , удовлетворяющих неравенству

называется -окрестностью точки.

Геометрический смысл

-окрестность точки – круг с центром в точкерадиуса.

 

Определение 25.5.

Функция имеет предел в точкеравный, т.е.

,

если она определена в некоторой окрестности точки , и для любого сколь угодно малогонайдется такое, что для всех точек, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство

.

 

Замечание 2. Все правила нахождения пределов, сформулированные для функции одной переменной остаются в силе и для функции двух переменных.

 

Пример 25.2.

1) ,

2) .

 

Пусть

Определение 25.6.

Функция называетсябесконечно малой в точке

(или при ), если.

Если , то, где,

т.е. функция в окрестности точкиотличается от числана бесконечно малую функцию.

 

Замечание 3.

Сравнение бесконечно малых функций двух переменных производится также, как и бесконечно малых функций одной переменной, причем под символом будем понимать любую бесконечно малую в точкефункцию более высокого порядка малости, чем бесконечно малая в точкефункция, т.е..

 

studfiles.net

Формулы и основные правила дифференцирования функций

В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций:
 

  1. Константу можно вынести за знак производной:
  2. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:
  3. Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле:
  4. Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле:
     
Пример 1
С помощью основных правил дифференцирования найти производную:
Решение

Берем производную:

Так как присутствует константа, то по первому правилу дифференцирования можно вынести её за знак производной, а затем по таблице :

Ответ
Пример 2
Найти производную суммы функций
Решение

По второму правилу дифференцирования производная суммы функций равна сумме производных:

Первое слагаемое дифференцируем по правилу степенной функции :

Производная косинуса равна:

Объединяем в сумму:

Ответ
Пример 3
Найти производную произведения функций:
Решение

По третьему правилу дифференцирования произведения двух функций расписываем:

Ответ
Пример 4
Найти производную дроби
Решение

Используя четвертое правило дифференцирования частного двух функций получаем:

Ответ

Используя основные правила дифференцирования можно находить большинство производных функций.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о