Правила производных – Таблица производных, правила дифференцирования | Подготовка к ЕГЭ по математике

1.3. Основные правила дифференцирования

Теорема 1.
Если функции
идифференцируемы в данной точке, то в
той же точке дифференцируема и их сумма,
причем производная суммы равна сумме
производных слагаемых:

.

Формула обобщается
на случай любого конечного числа
слагаемых.

Теорема 2.
Если функции
идифференцируемы в данной точкех,
то в этой же точке дифференцируемо и их
произведение, при этом:

.

Следствие.
Постоянный множитель можно выносить
за знак производной:

,
где
.

Теорема 3.
Если в данной точке х
функции
идифференцируемы и,
то в той же точке дифференцируемо и их
частное, причем

.

1.4. Обратная функция и ее производная

Рассмотрим функцию
y
= f
(x)
с областью определения (a,
b)
и множеством значений (c,
d).
Пусть эта функция такова, что всякая
прямая, проходящая через точку интервала
(c,
d)
параллельно оси Ох,
пересекает ее график только в одной
точке, т.е. уравнение y
= f
(x)
для каждого y(c,
d)
определяет единственное значение x(a,
b).
В этом случае каждому значению y(c,
d)
соответствует единственное значение
x(a,
b),
т.е. на интервале (c,
d)
задана функция, множество значений
которой есть интервал (a,
b).
Эта функция называется обратной по
отношению к функции y
= f
(x)
и обозначается
.
Очевидно, что для функцииобратной является функция.
Поэтому обе эти функции называютсявзаимно
обратными
.

Теорема.
Если функция y
= f
(x)
монотонна и дифференцируема в некотором
интервале и имеет в точке x
этого интервала производную
,
не равную нулю, то обратная функцияв соответствующей точкеy
имеет производную, причем
или иначе.

1.5. Производная сложной функции

Если
и,
тоестьсложная
функция

независимого аргумента x
с промежуточным аргументом u.

Теорема.
Если
имеет производнуюв точкеx,
а функция
имеет производнуюв соответствующей точкеu,
то сложная функция
в данной точкеx
имеет производную
,
которая находится по следующей формуле.

Часто пользуются
следующей формулировкой этой теоремы:
производная сложной функции равна
произведению производной внешней
функции по промежуточному аргументу
на производную внутренней функции по
независимому аргументу.

Сложная функция
может быть составлена не из двух функций,
а из большого их числа. В таких случаях
теорема применяется последовательно
несколько раз.

В частности, если
функция
такова, что,,,
то производнаянаходится по формуле.

1.6. Производные основных элементарных функций.

Таблица
производных

Используя определение
производной, можно найти производные
основных элементарных функций
.

1. Производная
степенной
функции

.

2. Производная
показательной
функции

.

В
частности,
.

3. Производная
логарифмической
функции

,

,.
В частности,.

4. Производные
тригонометрических
функций

,,,.

Найдем, например,
производную функции
.
По определению производной имеем:

.

Производную функции
можно найти по правилу дифференцирования
частного двух функций:

.

5. Производные
обратных
тригонометрических
функций

,.

Найдем, например,
производную функции
.
Функция,обратная к функции,.
По правилу дифференцирования обратной
функции.
На интервалеимеем

.

Запишем таблицу
производных

для
где.

1.

8.

2.

9.

3.

10.

4.

11.

5.

12.

6.

13.

7.

14.

Применяя формулы
и правила дифференцирования, найдем
производные следующих функций:

1)
.

Применим правило
дифференцирования произведения двух
функций:

.

2)
.

Применим правило
дифференцирования частного двух функций:

.

3)
.

Применим правило
дифференцирования сложной функции:

.

studfiles.net

18 Основные правила нахождения производной

19 Применение производной к нахождению нибольших и наименьших значений функций на отрезке.

Достаточное
условие возрастания функции

Если
в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то
функция  f(x) возрастает на этом
интервале.

Достаточное
условие убывания функции.

Если
в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то
функция  f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x0
называется критической точкой функции
 f(x), если

1)
x0
– внутренняя точка области определения
 f(x) ;

2)
f'(x0)=0
или f'(x0)
не существует.

Необходимое
условие экстремума:

Если
x0– точка
экстремума функции  f(x), то эта точка
является критической точкой данной
функции.

Достаточное
условие экстремума:

Если
при переходе через точку x0
производная функции меняет знак, то x0
– точка экстремума функции  f(x).

Примеры
экстремумов:

Схема
исследования функции.

  1. Найти
    область определения функции.

  2. Проверить,
    не является ли функция четной или
    нечетной; проверить также, не является
    ли она периодической.

  3. Найти,
    если это возможно, точки пересечения
    графика функции с осями координат и
    промежутки знакопостоянства функции.
    Иногда для уточнения построения графика
    следует найти две три дополнительные
    точки.

  4. Найти
    производную функции и ее критические
    точки.

  5. Найти
    промежутки монотонности и экстремумы
    функции.

  6. Построить
    график функции, используя полученные
    результаты исследования.

Схема
нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции f(x), непрерывной на
отрезке [a; b].

  1. Найти
    значения функции в концах отрезка,
    т.е. f(a) и f(b) ;

  2. Найти
    значения функции в тех критических
    точках, которые принадлежат интервалу
    (a,b) ;

  3. Из
    найденных значений выбрать наибольшее
    и наименьшее.

20 Функции 2 переменных. Частные производные. Перестановочность частных производных.Линии уровня.Градиент.

В
естествознании встречаются ситуации,
когда одна величина является функцией
нескольких других:

,


работа тока на участке цепи и др.

Далее
остановимся на случае функции 2 переменных.

 

Определение
25.1.

Если
каждой паре (x,y) значений двух, независимых
друг от друга, переменных величин x и y
, из некоторой области их изменений D, 
соответствует одно определенное значение
величины z, то говорят, что z – есть
функция двух независимых переменных 
x и y , определенная  в области D (область
определения функции).

Обозначение:
z = f(x,y)=g(x,y)…

 

Способы задания функции

Табличный

S=S(x,y)

yx

1

1.5

2

1

1

1.5

2

5

5

7.5

10

 

 

 

Аналитическое
задание функции

.

 

Определение
25.2.

Областью
определения функции z = f(x,y) называется
множество {x,y}, для которых формула имеет
смысл.

 

Пример
25.1.

Функция
определена
при.

 

Графическое
задание функции.

 

Определение
25.3.

Пусть
задана функция
Графиком
называется множество точек в пространстве
,
где-абсцисса,-
ордината, а-
аппликата, т.е. графиком является
поверхность.

 

Ранее
изучали, что

верхняя часть сферы,


параболоид,

плоскость.

 

Замечание
1.

Любая поверхность в пространстве
является
графиком функции, если прямая, параллельная,
пересекает ее в одной точке.

 

Предел
функции двух переменных

 

Определение
25.4.

Множество
точек
,
удовлетворяющих неравенству

называется
-окрестностью
точки.

Геометрический
смысл

-окрестность
точки

круг с центром в точкерадиуса.

 

Определение
25.5.

Функция
имеет
предел в точкеравный,
т.е.

,

если
она определена в некоторой окрестности
точки
,
и для любого сколь угодно малогонайдется
такое,
что для всех точек,
удовлетворяющих неравенствувыполняется
неравенство

.

 

Замечание
2
.
Все
правила нахождения пределов,
сформулированные для функции одной
переменной остаются в силе и для функции
двух переменных.

 

Пример
25.2.

1)
,

2)
.

 

Пусть

Определение
25.6.

Функция
называется
бесконечно
малой в точке

(или
при
),
если.

Если
,
то,
где,

т.е.
функция
в
окрестности точкиотличается
от числана
бесконечно малую функцию.

 

Замечание
3
.

Сравнение
бесконечно малых функций двух переменных
производится также, как и бесконечно
малых функций одной переменной, причем
под символом
будем
понимать любую бесконечно малую в точкефункцию
более высокого порядка малости, чем
бесконечно малая в точкефункция,
т.е..

 

studfiles.net

Формулы и основные правила дифференцирования функций

В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций:
 

  1. Константу можно вынести за знак производной:
  2. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:
  3. Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле:
  4. Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле:
     
Пример 1
С помощью основных правил дифференцирования найти производную:
Решение

Берем производную:

Так как присутствует константа, то по первому правилу дифференцирования можно вынести её за знак производной, а затем по таблице :

Ответ
Пример 2
Найти производную суммы функций
Решение

По второму правилу дифференцирования производная суммы функций равна сумме производных:

Первое слагаемое дифференцируем по правилу степенной функции :

Производная косинуса равна:

Объединяем в сумму:

Ответ
Пример 3
Найти производную произведения функций:
Решение

По третьему правилу дифференцирования произведения двух функций расписываем:

Ответ
Пример 4
Найти производную дроби
Решение

Используя четвертое правило дифференцирования частного двух функций получаем:

Ответ

Используя основные правила дифференцирования можно находить большинство производных функций.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о