Правило лопиталя калькулятор онлайн – Калькулятор решения пределов – 14 Июля 2013 – Примеры решений задач

Выберите переменную: x y z n k m и предел Ввести самому + Бесконечность – Бесконечность 0

Вычисление пределов функций онлайн

Предел функции

Решение пределов функции онлайн. Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису – вычислить предел функции онлайн. Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для

Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности

Похожие сервисы:

matematikam.ru

Решение предела функции · Калькулятор Онлайн

Введите функцию и точку, для которых надо вычислить предел

Займемся вычислением (решением) пределов функций в точке. Дана функция f(x). Вычислим ее предел в точке x0

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция – арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция – арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

e

e число, которое примерно равно 2.7

exp(x)

Функция – экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

pi

Число – “Пи”, которое примерно равно 3.14

sin(x)

Функция – Синус от x

cos(x)

Функция – Косинус от x

sinh(x)

Функция – Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция – Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция – квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция – Квадрат x

tg(x)

Функция – Тангенс от x

tgh(x)

Функция – Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция – кубический корень из x

floor(x)

Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

sign(x)

Функция – Знак x

erf(x)

Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

2*x

– умножение

3/x

– деление

x^3

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Предел функции по правилу Лопиталя

Калькулятор вам найдет предел функции по правилу Лопиталя ( напомним что это некий способ нахождения предела функции, раскрывающий такие неопределенности как 0/0 и бесконечность ∞/∞ ). Кому интересно больше узнать о методике данного способа, то вы это можете сделать на данной странице:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Правило Лопиталя: теория и примеры решений

Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).

Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности

(),

то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных

().

Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Замечания.

1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.

2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).

3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).

К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.

Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем

В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе – производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.

Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:

Пример 4. Вычислить

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:

Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

Пример 6. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.

Пример 7. Вычислить

.

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида – ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 8. Вычислить

Решение. Находим

Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 11. Вычислить

.

Решение. Получаем

(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как

а затем применили правила Лопиталя).

Пример 12. Вычислить

.

Решение. Получаем

В этом примере использовано тригонометрическое тождество .

Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:

Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

.

Итак,

.

Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

.

Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Получаем

Вычисляем предел выражения в показателе степени

Итак,

.

Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости “бесконечность минус бесконечность”: .

Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:

В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем

Весь блок “Производная”

function-x.ru

Вычислить пределы используя правило Лопиталя

Чтобы вычислить пределы, используя правило Лопиталя, вспомним его сущность:
Если при непосредственной подстановке вместо х значения, к которому он стремится, получают неопределенность вида бесконечность на бесконечность или ноль на ноль, то их можно раскрыть с помощью вычисления вместо функций числителя и знаменателя их производных.
 
Пример 1.
Найдем .
 
Решение.
Подставим вместо х значение, к которому он стремится (то есть ):

В этом случае мы можем воспользоваться правилом Лопиталя и избавиться от этой неопределенности:

 
Ответ. .
 
Применив правило Лопиталя, можно опять получить неопределенность этих двух видов (, ). Тогда это правило можно применять еще сколько угодно раз.
 
Пример 2.
Найдем .
 
Решение.
Подставим значение х:

Избавимся от полученной неопределенности, вычислив предел от частного производных числителя и знаменателя:

Получили снова неопределенность . Можем применить правило Лопиталя еще раз:

Обратим внимание, что когда применяете правило Лопиталя не один раз, то нужно каждый раз проверять раскрылась ли неопределенность. В противном случае получится неправильный результат.
 

ru.solverbook.com