Главная
Предел 1 0 – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Предел 1 0 – Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

пределы на бесконечность на бесконечность

 

Рассмотрим  пределы на раскрытие неопределенности вида бесконечность на бесконечность.

Сначала учтем следующее:

— если при вычислении предела в числителе дроби  стоит число, то

   

— или

   

Выражение вида 

   

— это предел на неопределенность вида бесконечность, деленная на бесконечность (или просто бесконечность на бесконечность).

Чтобы найти предел,  надо раскрыть неопределенность вида бесконечность на бесконечность. Для этого и в числителе, и в знаменателе выносим за скобки степень с наибольшим показателем. Затем сокращаем на нее.

1)

   

В дальнейшем просто делим почленно числитель и знаменатель (то есть каждое слагаемое) на старшую степень икса.
2)

   

3)

   

4)

   

А теперь сделаем выводы. Пределы на неопределенность бесконечность на бесконечность сводятся к одному из трех вариантов:

   

Примеры для самопроверки: 

   

   

   

Показать решение

 

 

adminПредел функции

www.matematika.uznateshe.ru

Помогите решить / разобраться (М)

Потому что бесконечность — не число


Я сам хотел сказать ровно то же самое.

Поэтому не буду повторять, а немного добавлю.

Есть два разных понятия: число и точка.

Вначале для школьников они существуют по отдельности, как просто слова из разных миров: из арифметики / алгебры и из геометрии. Всё нормально.

Потом школьники изучают числовую прямую и координатную плоскость. И научаются сопоставлять На числовой прямой каждая точка – это какое-то число из множества – множества действительных чисел. И напротив, каждое число из – это какая-то точка на прямой.

А теперь, надо мысленно снова разделить эти понятия. Развести их. К прямой линии можно добавить ещё точки. Это будут “бесконечно удалённые точки”, одна или две. Это сделать можно, чисто геометрически (предел – это геометрическое понятие, например, в школьной геометрии постоянно встречаются пределы: при определении длины кривой линии, площади фигуры, при определении касательной). Но при этом, к множеству нельзя добавить таких чисел. Потому что числа “идут с другим комплектом”: чтобы какой-то новый элемент можно было назвать числом, его надо вписать во все арифметические операции, научиться проводить с ним всевозможные вычисления.

К множеству конечно, можно добавить ещё новые числа, но другие. Например, могут получиться комплексные числа. Или, может получиться так называемое “нестандартное множество действительных чисел”, в котором будут “актуальные бесконечности”. Но я не советую так делать. Главная проблема здесь в том, что вы не можете добавить числа по одному – вам придётся сразу добавлять бесконечно много новых чисел, сразу не меньше чем копию исходного множества а то и кучу таких копий.

—————-

Ещё я хотел бы подчеркнуть такую вещь. Добавление одной точки и добавление двух точек – это действия разные. Получатся разные результаты. И нельзя добавить и то и другое. То есть, вы должны рассматривать три разных конструкции:
– просто числовая прямая ;
– числовая прямая пополненная одной бесконечно удалённой точкой;
– числовая прямая пополненная двумя бесконечно удалёнными точками.
Эти конструкции используются неформально рядом, только чтобы “сообщить дополнительную уточнённую информацию”, когда это можно. Например, если вы считаете то вы можете написать ответ и будете абсолютно правы. Определению бесконечного предела это удовлетворяет. Но вы можете сделать большее, вы можете уточнить ответ, и написать (и именно это будет вам зачтено как решённая задача). И это тоже будет правильным ответом, и выполненным определением.

Но по сути, надо понимать, что мы имеем дело с тремя геометрическими фактами:
1. Если мы рассматриваем просто числовую прямую то в ней предел не существует. (Для вас это произносят как “не существует конечный предел”.)
2. Если мы рассматриваем числовую прямую то в ней предел существует, и равен
3. Если мы рассматриваем числовую прямую то в ней предел существует, и равен
Просто от вас ждут формулировки именно третьего факта, поскольку он “наиболее подробный”.

— 19.01.2016 11:44:05 —

А, ну и это уже arseniiv произнёс, и даже больше и подробней…

— 19.01.2016 11:50:19 —

—————-

Ещё добавлю. Если мы говорим про точки, то почему вообще пишем под знаком предела и другие формулы? На самом деле, конечно, в множестве или вычислять ничего нельзя. Но это было бы нам неудобно: мы хотим брать разные функции, и их исследовать, чтобы посмотреть, какие у них будут пределы. Поэтому, мы просто вычисляем что-то в рамках обычного а потом переносим эти числа уже в пополненные множества, по очевидному (естественному) сопоставлению.

dxdy.ru

Глава 1. Предел функции

1.1. Определение предела

Рис. 1.1

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х =

а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x – a <  верно неравенство f(x) – A< (рис. 1.1).

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а –  < x < a + , xa, то верно неравенство А –

< f(x) < A + .

Запись предела функции в точке: .

Если f(x)  A1 при ха только при x < a, то называетсяпределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A2 при ха только при x > a, то называетсяпределом функции f(x) в точке х = а справа

(рис. 1.2).

П

Рис. 1.2

риведенное выше определение относится к случаю, когда функцияf(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними

пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

1.2. Операции над пределами

  1. Предел постоянной есть сама постоянная: , гдеС = const.

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха;

  1. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:

;

  1. Предел произведения равен произведению пределов:

;

  1. Постоянную можно выносить за знак предела:

;

  1. Предел отношения равен отношению пределов:

, при ;

  1. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , тоА>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0;

  1. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и , то и;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной;

  7. Неопределенность вида можно раскрыть, если числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить.

1.3. Замечательные пределы

Найдем предел отношения двух многочленов, т.е. , где

P(x)

= a0xn + a1xn–1 +…+an, Q(x) = b0xm + b1xm–1 +…+bm. Преобразуем данную дробь следующим образом

Таким образом,

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:, гдее постоянная, которая приблизительно равна 2,718281828…

Часто если непосредственное нахождение предела какой-либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х0:

  1. ~ х

    ;

  2. 1–cos x ~ ;

  3. tg x ~ x;

  4. arcsin x ~ x;

  5. arctg x ~ x;

  6. ln (1+x) ~ x;

  7. ax–1 ~ xln a;

  8. ~ .

1.4. Примеры

№1. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:

Решение.

  1. Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим:

  1. Так как пределы числителя и знаменателя при х2 равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . «Раскроем» эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель

    х – 2:

.

  1. Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавимся от иррациональности в числителе):

  1. Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность. Поделим числитель и знаменатель дроби на высшую степеньх, т.е. на

    х2:

Таким образом,

№2. Найти пределы:

Решение.

  1. Сделаем замену у=αх; тогда у0 при х0 и . В последнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом. Таким образом,

  1. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

  1. Сводя предел к первому замечательному пределу, сделаем замену у=х–. Тогдау0 при х, ах=у+, откуда:

Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем – первый замечательный предел.

  1. Так как х0, то воспользуемся эквивалентностью №4:

.

studfiles.net

Предел функции с корнями

Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида

Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.

Пример 1. Вычислить предел функции

При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции

превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими



Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом

Пример 2. Найти предел функции

Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.


Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов

Вот так просто нашли предел функции с корнями.

Пример 3. Определить предел функции

Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе

Предел функции равна 8.

 

Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.

Пример 4. Вычислить предел функции
Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов

Границ функции равна -2,5.

Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной

Пример 5. Найти предел функции

Предел эквивалентен – бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение

Пример 6. Чему равен предел функции?

Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность

Выполняем преобразования с корневыми функциями


предел функции равен -2.

Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.

yukhym.com

Оставить комментарий