Предел равен 1 – Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Первый замечательный предел, формула и следствия

Формула первого замечательного предела

Доказательство первого замечательного предела

Рассмотрим односторонние пределы

   

Докажем, что каждый из этих пределов равен единице. Тогда и предел также будет равняться единице.

Пусть и отложим этот угол на тригонометрической окружности (рис. 1).

Рис. 1

Этот луч будет пересекать единичную окружность в точке , а вертикальную касательную, проведенную в точке , – в точке . Через точку обозначим проекцию точки на горизонтальную ось косинусов.

Рассмотрим треугольники и круговой сектор . Очевидно следующее двойное неравенство:

   

Абсцисса точки равна , а ее ордината – (равна высоте ). А тогда

   

Здесь как радиус тригонометрической окружности.

Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна

   

Площадь

   

Итак, неравенство (1)перепишется в виде:

   

Так как для все части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать следующим образом:

   

После умножения на получаем:

   

или

   

Переходя во всех частях последнего неравенства к пределу при , будем иметь:

   

   

По теореме о двухстороннем ограничении (теорема «про двух милиционеров») делаем вывод, что и

   

Вычислим теперь :

   

   

То есть .

А, таким образом, и .

Теорема доказана.

Следствия из первого замечательного предела

   

   

   

   

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Как показывает
приведённый выше пример
2.36, пределы отношения бесконечно
малых можно упрощать, откидывая бесконечно
малые слагаемые большего порядка и
заменяя множители в числителе и
знаменателе на эквивалентные бесконечно
малые. Для того, чтобы этот способ
вычисления пределов (точнее, раскрытия
неопределённостей вида)
можно было применять к возможно большему
числу примеров, мы должны иметь достаточно
большой запас известных пар эквивалентных
бесконечно малых величин. Для наиболее
употребительной базысоздадим
такой запас в виде таблицы «стандартных»
эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку
в этой таблице мы всегда будем рассматривать
базу
,
для простоты записи обозначение этой
базы будем пропускать и писать знаквместо.

1)
.
Эту формулу мы уже доказали и использовали
в примерах. Эквивалентностьиприозначает
в точности, что первый замечательный
предел равен 1.

2)
.
Эта эквивалентность тоже была доказана
выше в одном из примеров.

3)
.
Докажем эту эквивалентность:

4)
.
Докажите это в качестве упражнения,
сделав заменуи
применив предыдущую табличную формулу.

5)
.
Для доказательства воспользуемся
формулой.
Далее, имеем:

Это означает,
что доказываемая эквивалентность имеет
место.

6)
().
Для доказательства этой эквивалентности
сделаем такое преобразование:

Для вычисления
предела правой части воспользуемся
непрерывностью логарифма и вторым
замечательным пределом:

и мы доказали
формулу 6.

В
частном случае, при
,
получаем эквивалентность

)
.

7)
().
Для доказательства сделаем заменуи
выразимчерез:.
Согласно формуле 6,при,
откуда.
Из непрерывности логарифма следует,
чтои,
значит,при.
В этой формуле осталось лишь сменить
обозначение переменногона,
чтобы получить формулу 7.

В
частном случае, при
,
получаем эквивалентность

)
.

Сведём
теперь полученные формулы в итоговую
таблицу. Всюду в ней
.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6)

().

)

.

7)

().

)

.

Приведём
примеры применения табличных формул
для раскрытия неопределённостей вида
.

Замеча́тельные
преде́лы
— термин, использующийся
в советских и российских учебниках поматематическому
анализудля обозначения некоторых
широко известныхматематических
тождествсо взятиемпредела.
Особенно известны:

Содержание

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим
односторонние
пределыии
докажем, что они равны 1.

Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
().

Точка
K— точка пересечения луча с
окружностью, а точкаL— с
касательной к единичной окружности в
точке.
ТочкаH— проекция точкиKна
осьOX.

Очевидно,
что:

(1)

(где

площадь сектора)

(из
🙂

Подставляя
в (1), получим:

Так
как при
:

Умножаем
на
:

Перейдём
к пределу:

Найдём
левый односторонний предел:

Правый
и левый односторонний пределы существуют
и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Доказательство
следствий  [показать]

Второй замечательный предел

или

Доказательство
второго замечательного предела:

Доказательство
для натуральных значений x  [показать]

Зная,
что второй замечательный предел верен
для натуральных значений x, докажем
второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что
.
Рассмотрим два случая:

1.
Пусть
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами:,
где—
это целая часть x.

Отсюда следует:
,
поэтому

.

Если
,
то.
Поэтому, согласно пределу,
имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов
.

2.
Пусть
.
Сделаем подстановку,
тогда

.

Из
двух этих случаев вытекает, что
для
вещественного x.

Следствия

  1. для,

studfiles.net

+:
1
Предел
функции равен

2f7e00.gif» ALIGN=BOTTOM> равен …

+: 1

Предел функции равен …

+: 5

Предел функции равен …

+: 5

Предел функции равен …

+: 2

Предел функции равен …

+: 1/2

Предел функции равен …

+: 3

Предел функции равен …

+: 2

Предел функции равен …

+: 4

Предел функции равен …

+: 2

Предел функции равен …

+: -1

Предел функции равен …

+: -2

Предел функции равен …

+: 3

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: 0

ignorik.ru

-2 Предел функции равен +: -1/4

П___________

Предел функции равен …

+: -2

Предел функции равен …

+: -1/4

Предел функции равен …

+: -3/2

Предел функции равен …

+: 3/10

Предел функции равен …

+: 5/14

Предел функции равен …

+: 7/4

Предел функции равен …

+: 7/10

Предел функции равен …

+: -5/4

Предел функции равен …

+: 2/5

Предел функции равен …

+: 1/6

Предел функции равен …

+: 3/8

Предел функции равен …

+: 7/12

Предел функции равен …

+: 5/14

Предел функции равен …

+: 7/12

Предел функции равен …

+: 5/12

Предел функции равен …

+: 3/8

Предел функции равен …

+:1/4

Предел функции равен …

+: 3/4

Предел функции равен …

+: 7/12

Предел функции равен …

+: 3/10

Предел функции равен …

+: 3/8

Предел функции равен …

+: 1/4

Предел функции равен …

+: 3/4

Предел функции равен …

+: -5/2

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: 10

Предел функции равен …

+: 14

Предел функции равен …

+: -10

Предел функции равен …

+: -14

Предел функции равен …

+: 12

Предел функции равен …

+: -12

Предел функции равен …

+: 6

Предел функции равен …

+: -6

Предел функции равен …

+: 3

Предел функции равен …

+: 3/4

Предел функции равен …

+: 0

Предел функции равен …

+: бесконечность

Предел функции равен …

+: -4

Предел функции равен …

+: -1/8

Предел функции равен …

+: 6

Предел функции равен …

+: 1

Предел функции равен …

+: -3

Предел функции равен …

+: 1/4

Предел функции равен …

+: 6

Предел функции равен …

+: 1/18

Предел функции равен …

+: 1/8

Предел функции равен …

+: 4/3

Предел функции равен …

+: 1/2

Предел функции равен …

+: 9/2

Предел функции равен …

+: 30

Предел функции равен …

+: -2/5

Предел функции равен …

+: 1/40

Предел функции равен …

+: 1/2

Предел функции равен …

+: 2

Предел функции равен …

+: 1/3

Предел функции равен …

+: 2/3

Предел функции равен …

+: 5

Предел функции равен …

+: 1/2

Предел функции равен …

+: 3/7

Предел функции равен …

+: 1/3

Предел функции равен …

+: 2

Предел функции равен …

+: 5/3

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

Предел функции равен …

+:

ignorik.ru

Предел произведения равен произведению пределов

Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел.

Число А называется пределом функции f в точке а, если она определена на некоторой окрестности а, т.е. на некотором интервале (c,d), где c<a<d, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого >0 можно указать зависящее от него >0 такое, что для всех x, для которых имеет место неравенство . Тот факт, что А есть предел f в точке a, принято записывать или .

Теорема. Если , где A – конечное число, то на некоторой окрестности U(a) функция f(x) ограничена, т.е. существует положительное число М такое, что для всех ,.

Доказательство. Из условия теоремы следует существование окрестности U(a), такой, что . Отсюда для указанных х , где надо считать .

Бесконечно малые функции.теорема о связи функции её предела и бесконечно малой.свойства бмф.

Св-ва б.м.ф.:

1) Если функция f(x) ограничена, а m(x) бесконечно большая, то

2) Если абсолютная величина f(x) ограничена снизу положительным числом, а m(x) не равная нулю бесконечно мала, то

Теорема.Если функция f(x) имеем предел,равный А,то её можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x),т.е если =A,то f(x)=A+α(x).

Теорема (обратная).Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(x) ,то число А является пределом функции f(x),т.е если f(x)=А+α(x),то =A.

Предел суммы равен сумме пределов: .

 

Предел произведения равен произведению пределов


Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).


Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a — предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b — a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn — a| < b — a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b — a) < xn — a < b — a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b

рассматривается аналогично. Теорема доказана.

 

3 Непрерывность функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке х0, и если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при : .

КОРОЧЕ: . Непрерывность основных элементарных функциий

Теорема. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная

Теорема. Пусть функции u=φ(х) непрерывна в точке х0, а функция у=ƒ(u) непрерывна в точке u0=φ(хо). Тогда сложная функция ƒ(φ(х)), состоящая из непрерывных, функций, непрерывна в точке х0. ТеоремаЕсли функция у=ƒ(х) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси (Oх, то обратная функция у=φ(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу. все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Пусть ф-я y=f(x) непрерывна в x0. Это означает, что существует lim (x->x0) f(x) = p(x0). Пусть существует функция y=f(y) — непрерывная в y0 => p(x0)(lim(y->y0) f(y)) = f(y0). Тогда сложная функция y=f(p(x)) будет непрерывна в точке х, т.е предел сложной функции lim (x->x0) f[p(x)]=f(p(x0)]=f [lim (x->x0 p(x)]. Операция взятия предела и операция взятия непрерывности функции перестановочны между собой Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть x = j(t) непрерывна в точке t0, а функция f(x) непрерывна в точке x0 = j(t0). Тогда функция y = f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Билет 4 Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел Отношения синуса к его аргументу равен единице,когда аргумент стремится к нулю. Второй замечательный предел

Эквивалентные б.м.ф. Таблица эквивалентных б.м.

Эквивалентными (асимптотически равными) называют функции j(x) и y(x) (обе стремящиеся к нулю), если выполняется свойство .

Теорема Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится,если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

 

 

Билет 5

Если функции j(x )и y(x), участвующие в , суть бесконечно малые при , то j(x) при есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к (бесконечно малой) y(x) (если же это были бесконечно большие, то j(x) более низкого порядка, чем y(x).

Теорема о связи ббф и бмф. Пусть функция f(x)-бб при .Тогда функция a(x) –бм при

Доказательство (?). Бесконечно большая функция.

Функция называется бесконечно большой при х-а, где а – число или одна из величин , ∞+∞ или , если , где А – число или одна из величин, или .

 

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

 

Теорема. Если f(x)-0 при х-а (если х-∞ ) и не обращается в ноль, то

 

Билет 6 Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Число А называется пределом функции f(x) в точке x=a справа (при +0), если .

Точки, в которых функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва для функции f(x). Если в точке x=a существуют пределы f(a+0), f(a–0), но неравенство не выполняется, то точка х=а называется точкой разрыва первого рода для функции f(x). Причём, если , то точка x=a называется точкой устранимого разрыва для функции f(x). Если же в точке x=a у функции f(x) не существует правого или левого предела или же эти пределы бесконечны, то функция f(x) имеет в точке x=a разрыв второго рода.

Предел в бесконечности.Число А называется пределом функции к бесконечности если для любого положительного числа есущ такое число М=М(е)>0,что при всех x ,удовлетворяющих неравенству │Х│>М выполняется неравенство │f(x)-A│<e

Геометрический смысл

Для ¥е> 0 э м>0,что при Х €(-∞;-М) или (М,+∞) соответствующие значения функции f(x) попадают в е-окрестность точки А,т.е точки графика лежат в полосе шириной 2е,ограниченной прямыми y=A+e и y=A-e

 

 

7.билетПроизводная. Геометрический и механический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

Производной функции f(x) в точке x называется предел её приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента , когда стремиться к нулю (при условии, что этот предел существует). Для обозначения производной используют символы Определение записывается и таким образом .

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0. KN=Dy, MK=Dx

tg угла KMN=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga0=y`

a®a0

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga0=y`, a®a0).

Касательной Т к кривой y=f(x), проходящей через точку (x;f(x)), называется предельное положение секущей при Dx®0. Уравнение касательной в точке M(x0,f(x0)) записывается в виде .

Нормалью к графику функции в точке M(x0,f(x0)) назовём прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную касательной, проходящей через эту же точку.

 





































8билет Дифференцируемость функции. Дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Геометрический смысл дифференциала.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде , где величина А не зависит от Dx.

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Тогда величина А из равна производной: A=f’(x).

Достаточность. Из существования производной выводим дифференцируемость

 

 

studopedya.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о