Пределы при х стремится к бесконечности – Предел функции при x стремящимся к 0 и x стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов.

Предел функции Предел функции в бесконечности

Число А называется пределом функции y = f(х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число S (зависящее от, т.е. S = S()), что для всех х таких, что |х| > S, верно неравенство: | f(x) – А| <.

Отметим, что отличие этого определения от определения предела последовательности состоит в том, что для последовательности переменная nпринимала только натуральные значения, а здесь х принимает любые значения.

Предел функции в бесконечности обозначается или f(x)А приx.

Итак, .

Смысл определения состоит в том, что для достаточно больших по модулю значениях аргумента значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.3.

Рисунок 2.3 – Геометрический смысл предела функции в бесконечности

Итак, число А есть предел функции у = f(x) при x, если для любого> 0 найдется такое числоS> 0, что для всех х таких, что |х| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.

Понятие предела функции в бесконечности можно сформулировать и при стремлении х к бесконечности определенного знака. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции неограниченно возрастает не по абсолютной величине, а x+(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х > S) либоx-(тогда в определении вместо |х| > S будет стоять неравенство х < -S).

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к х₀ (или в точке х₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, т.е.=()), что для всех хх₀таких, что |х – х₀| <, верно неравенство: | f(x) – А| <.

Предел функции в точке х

0 обозначаетсяили f(x)А приxх₀.

.

Смысл определения состоит в том, что для всех значений аргумента, достаточно близких к х₀, значения функции как угодно мало отличаются от числа А по абсолютной величине. Геометрический смысл определения можно пояснить рисунком 2.4.

Рисунок 2.4 – Геометрический смысл предела функции в точке

Итак, число А есть предел функции у = f(x) при xх₀, если для любого> 0 найдется такая-окрестность точки х

0, что для всех хх₀из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(х) будут заключены в-окрестности точки А на оси ординат. При этом соответствующая часть графика будет находиться в полосе шириной 2.

Подчеркнем, что определение предела не требует существования функции в самой точке х₀. Рассматривая предел, предполагают, что х стремится к х₀, но не достигает этого значения. Поэтому наличие или отсутствие предела определяется поведением функции в окрестности точки х₀, а не тем, определена или нет функция в самой этой точке.

Понятие предела функции в точке можно сформулировать и в смысле

одностороннего предела. Отличие будет состоять в том, что аргумент функции принимает лишь значенияx<x₀(тогда в определении вместо |х – х₀| <рассматривается интервал х₀-<x< х₀, а предел называютпределом слеваи обозначают) либо лишь значенияx>x₀(тогда в определении вместо |х – х₀| <рассматривается интервал х₀<x< х₀ +, а предел называютпределом справаи обозначают).

Если, то, и наоборот (т.е. если в некоторой точке функция имеет пределы слева и справа, и они равны, то двусторонний предел тоже существует и равен тому же числу; и наоборот, – если существует двусторонний предел, то существуют и односторонние, равные ему же).

Условие, определяющее поведение аргумента, которое мы записывали под обозначением предела, будем называть базой предела и обозначать В в записи .

studfiles.net

§ 2. Предел функции в бесконечности и в точке

Определение. Переменная (зависимая) величина

называетсяфункцией независимой переменной величины (аргумента) на множестве , если каждому значениюпоставлено в соответствие определенное значение. Обозначение:. Множествоназывается областью определения функции, множество – областью значений.

Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменнаяn, возрастая, принимает лишь целые положительные значения, то во втором случае переменная x, изменяясь, принимает любые значения

Определение. Число А называется пределом функции

при x , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ;), что для всех х таких, что , верно неравенство: .

Этот предел функции обозначается илипри.

С помощью логических символов определение имеет вид: .

Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

y

Y=f(x)

A+

A

2

A-

x

S

0

Выясним геометрический смысл предела функции в бесконечности. Неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной

.

Итак, число А есть предел функции при, если для любогонайдется такое число, что для всех х таких, что, соответствующие ординаты графика функциибудут заключены в полосе

, какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример 3 Доказать, исходя из определения предела, что

Решение: Пусть – любое положительное число. Требуется доказать, что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполняться неравенство. Если, тои

Следовательно, для выполнения неравенства достаточно найтииз условият.е.. Итак, для любогонайдено такое, что из неравенстваследует неравенство, т.е. доказано, что.

Замечание 2 Приведенное выше определение предела при предполагает неограниченное возрастание независимой переменной х по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. прии при. В первом случае основное неравенство должно выполняться для всех х таких, что, а во втором – для всех х таких, что.

Замечание 3 Пределы функций, заданных многочленами любой степени не существуют, т. е.

Пример 4 Вычислить пределы:

Определение. Любая точка числовой оси называетсяпредельной точкой множества, если во всякой окрестности точки содержатся точки из множества, отличные от точки(точкаможет и не принадлежать множеству).

Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки.

Определение. Число А называется пределом функции при х, стремящемся к(или в точке), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ,найдется такое положительное число (зависящее от,),что для всех х. не равных и удовлетворяющих условию выполняется неравенство .

Этот предел функции обозначается илипри.

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к, значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине)

y

Y=f(x)

A+

A

2

A-

x

0

S

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше. Неравенство равносильно двойному неравенству, соответствующему расположению части графика в полосе шириной. Аналогично неравенстворавносильно двойному неравенству, соответствующему попаданию точек х в-окрестность точки.

Число А есть предел функции при, если для любогонайдется такая-окрестность точки, что для всех из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была.

Пример 5 Доказать , исходя из определения предела, что

Решение: Пусть – любое положительное число. Требуется доказать. Что можно подобрать такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, будет выполнено неравенство.

Если , тои

Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы , т.е., откуда(второй кореньотбрасывается, так какдолжно быть положительным).

Таким образом, для любого найдено такое, что из неравенстваследует неравенство, т.е.

Замечание 3 Определение предела не требует существования функции в самой точке , ибо рассматривает значения в некоторой окрестности точки. Другими словами, рассматривая, мы предполагаем, что х стремится к, но не достигает значения. Поэтому наличие или отсутствие предела приопределяется поведением функции в окрестности точки, но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке.

Замечание 4 Вычисление предела функции в точке сводится к вычислению значения этой функции при предельном значении аргумента, т.е. .

Пример 6 Вычислить пределы:

Замечание 5 Если при стремлении х к переменная х принимает лишь значения, меньшие, или наоборот, лишь значения, большие, и при этом функция стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева исправа .

studfiles.net

Предел функции при x стремящимся к 0 и x стремящемся к бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 23Следующая ⇒

Предел функции при х->х0

Мы ввели понятия предела функции при и при Введем теперь понятие предела при Рассмотрим сперва случай, когда независимая переменная приближается к слева.

Определение. Число b называется пределом функции у при слева, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число N (меньшее что для всех лежащих между N и ), выполняется неравенство (1)

Понятие предела функции при слева сходно с понятием предела функции при и отличается от него лишь тем, что для предела функции при неравенство (1) выполняется для всех превосходящих N, а для предела функции при – для всех превосходящих N, но меньших, чем

Рис. 107

Предел функции при слева обозначают так: Символ означает, что стремится к слева.

Геометрический смысл предела функции при заключается в следующем: каково бы ни было найдется такое число что для всех заключенных между N и график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми (рис. 107, а).

Аналогично пределу функции при слева вводят понятие предела при справа.

Определение. Число b называется пределом функции у при справа, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число М (большее ), что для всех лежащих между выполняется неравенство

Предел функции при справа обозначают так:

Если функция при справа имеет пределом число b, то геометрически это означает, что график функции будет лежать в полосе, ограниченной прямыми для всех заключенных между и М (рис. 107, б).

Пределы функции при слева и при справа называются односторонними пределами.

Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двусторонний предел при или просто имеет предел при

Определение. Число b является пределом функции при если, каково бы ни было можно найти такие числа М и что для всех лежащих в интервале (за исключением, быть можету точки выполняется неравенство

Рис. 108

Рис. 109

Назовем окрестностью точки любой интервал, содержащий эту точку. Таким образом, если b есть предел функции при то неравенство выполняется для всех точек некоторой окрестности точки (за исключением быть может

ТОЧКИ

Если при функция имеет предел, равный b, то это записывают так: Геометрический смысл предела при , ясен из рис. 108.

Замечание 1. В определении предела при или рассматривались значения . В самой точке функция может быть и не огределена. В дальнейшем это замечание будет неоднократно исполььовано.

Замечание 2. Числа М и N, встречающиеся в определениях пределов при или зависят от

Пример 1. Рассмотрим функцию Ее значение при равно 9. Покажем, что при приближении независимой переменной слева и справа к числу 4 значения функции неограниченно приближаются к числу 9, т. е. что

Для этого возьмем произвольное положительное число и убедимся в том, что разность между функцией и числом 9 по абсолютной величине может быть сделана меньше для значений близких к :

Это неравенство равносильно неравенствам

или

Итак, разность между функцией и числом 9 становится (по абсолютной величине) меньше для всех лежащих между числами Поэтому функция имеет предел

Пример 2. Рассмотрим функцию определенную на сегменте [0; 4] следующим образом:

График этой функции приведен на рис. 109. Очевидно, что наглядно видно из графика. Здесь предел справа и предел слева не равны друг другу. Поэтому функция не имеет предела (двустороннего) при

Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он единственный. Это легко установить геометрически. В самом деле, допустим противное, т. е. что функция у например, при имеет два предела . Рассмотрим две полосы, одна из которых ограничена прямыми а другая — прямыми е. При этом возьмем столь малым, чтобы обе полосы не имели общих точек. Тогда при достаточно больших график функции не может находиться одновременно в каждой из этих полос. Таким образом, всякая функция либо совсем не имеет предела, либо имеет только один предел.

Односторонние пределы

Определение

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.



stydopedya.ru