Частные производные, примеры решений
Теория по частным производным
Пусть функция двух переменных – непрерывна и дифференцируема. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа.
Полный дифференциал функции , находится по формуле
Частные производные второго порядка находят дифференцированием производных первого порядка:
При нахождении частных производных, правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной, по которой ведется дифференцирование.
Примеры
ПРИМЕР 4| Задание | Найти все производные второго порядка для функции |
| Решение | Сначала отыщем все производные первого порядка. При нахождения производной , дифференцируем исходную функцию по ; считается константой. Учитывая свойство линейности производной и формулу для вычисления степенной функции, получим
При нахождения производной , дифференцируем по , а считаем константой, получим:
Теперь перейдем к вычислению производных второго порядка. По определению, вторая производная по равна . Следовательно, от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:
Аналогично вычислим частную производную второго порядка по :
Вычислим смешанные производные второго порядка. По определению, смешанная производная равна , то есть от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:
Производная , то есть от первой производной берем производную по , а переменную считаем константой:
|
| Ответ |
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Частные производные, все формулы и примеры
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Составим отношение Если при стремлении к нулю указанное соотношение стремится к определенному пределу, то этот предел называется частной производной по переменной и обозначается:
Итак,
Аналогично определяются частные производные заданной функции по переменным и Частная производная по переменной
а по переменной
Частные производные нескольких переменных
Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных проводится по тем же правилам, что и для производных функции одной переменной. При этом нужно иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.
Если продифференцировать, например, первую частную производную заданной функции по переменной еще раз по этой переменной, то получим частную производную второго порядка, взятую два раза по то есть производную
Аналогично получаем еще две вторые производные по переменным и
Если же продифференцировать по переменной первую производную взятую по переменной то получим смешанную производную
Аналогично вводятся и остальные смешанные производные:
Известен тот факт, что значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования, то есть
Примеры вычисления частных производных
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Частные производные функций, примеры решений
Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).
Формула
Частные производные для функции двух переменных записываются в следующем виде и находятся по формулам:
Частные производные первого порядка
Частные производные второго порядка
Смешанная производная
Частная производная сложной функции
а) Пусть , тогда производная сложной функции определяется по формуле:
б) Пусть , тогда частные производные функции находится по формуле:
Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть , тогда
б) Пусть , тогда
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти частные производные первого порядка |
| Решение |
Для нахождения частной производной по будем считать постоянной величиной (числом): Для нахождения частной производной функции по определим константой: |
| Ответ |
| Пример 2 |
| Найти частные производные функции второго порядка |
| Решение |
Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем константой: Положим теперь постоянной величиной: Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем постоянной: Задаем постоянной: Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать по , а можно по , так как по теореме |
| Ответ |
| Пример 3 |
| Найти частную производную сложной функции |
| Решение |
Находим : Находим : Теперь ищем и : Подставляем всё это в формулу и записываем ответ: |
| Ответ |
| Пример 4 |
| Пусть задаёт неявную функцию . Найти частные производные первого порядка. |
| Решение |
Записываем функцию в формате: и находим производные: |
| Ответ |
Производная произведения и частного
В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. В частности, мы узнали, что производная суммы равна их сумме, а производная разности равна, соответственно, их разности. К сожалению, в случае с производными частного и произведения формулы будут гораздо сложнее. Начнем мы именно с формулы производной произведения функций.
Производные тригонометрических функций
Для начала позволю себе небольшое лирическое отступление. Дело в том, что помимо стандартной степенной функции — $y={{x}^{n}}$, в этом уроке будут встречаться и другие функции, а именно, $y=\sin x$, а также $y=\cos x$ и прочая тригонометрия — $y=tgx$ и, разумеется, $y=ctgx$.
Если производную степенной функции мы все прекрасно знаем, а именно $\left( {{x}^{n}} \right)=n\cdot {{x}^{n-1}}$, то, что касается тригонометрических функций, нужно упомянуть отдельно. Давайте запишем:
\[\begin{align}& {{\left( \sinx \right)}^{\prime }}=\cosx \\& {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& {{\left( tgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left( ctgx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]
Но эти формулы вы прекрасно знаете, давайте пойдем дальше.
Что такое производная произведения?
Для начала самое главное: если функция представляет собой произведение двух других функций, например, $f\cdot g$, то производная этой конструкции будет равна следующему выражению:
\[{{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}’\cdot g+f\cdot {g}’\]
Как видите, эта формула значительно отличается и является более сложной, нежели те формулы, которые мы рассматривали ранее. Например, производная суммы считается элементарно —${{\left( f+g \right)}^{\prime }}={f}’+{g}’$, либо производная разности, которая тоже элементарно считается ― ${{\left( f-g \right)}^{\prime }}={f}’-{g}’$.
Давайте попробуем применить первую формулу для вычисления производных двух функций, которые нам даны в задаче. Начнем с первого примера:
\[y={{x}^{3}}\left( x-5 \right)\]
Очевидно, что в качестве произведения, точнее, в качестве множителя, выступает следующая конструкция: ${{x}^{3}}$, мы можем рассматривать в качестве $f$, а $\left( x-5 \right)$ мы можем рассматривать в качестве $g$. Тогда их произведение как раз и будет произведением двух функций. Решаем:
\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{3}}\cdot \left( x-5 \right) \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\cdot \left( x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot {{\left( x-5 \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{2}}\cdot \left( x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1 \\\end{align}\].
Теперь давайте внимательно посмотрим на каждое из наших слагаемых. Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом присутствует степень $x$: в первом случае это ${{x}^{2}}$, а во втором — ${{x}^{3}}$. Давайте вынесем наименьшую степень за скобки, в скобке останется:
\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}\cdot \left( x-5 \right)+{{x}^{3}}\cdot 1={{x}^{2}}\left( 3\cdot 1\left( x-5 \right)+x \right)= \\& ={{x}^{2}}\left( 3x-15+x \right)={{x}^{2}}(4x-15) \\\end{align}\]
Все, мы нашли ответ.
Возвращаемся к нашим задачам и попробуем решить:
\[f\left( x \right)=x\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\]
Итак, переписываем:
\[f\left( x \right)=x\cdot \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\]
Опять же замечаем, что речь идет о произведении произведения двух функций: $x$, которую можно обозначить за $f$, и $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)$, которую можно обозначить за $g$.
Таким образом, перед нами вновь произведение двух функций. Для нахождения производной функции $f\left( x \right)$ вновь воспользуемся нашей формулой. Получим:
\[\begin{align}& {f}’=\left( x \right)’\cdot \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)+x\cdot {{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)}^{\prime }}=1\cdot \left( \sqrt[3]{x}-1 \right)+x\frac{1}{3\sqrt[3]{x}}= \\& =\sqrt[3]{x}-1+\sqrt[3]{x}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}-1 \\\end{align}\]
Ответ найден.
Зачем раскладывать производные на множители?
Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.
Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.
Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.
По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n-ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.
Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени.
А теперь, когда вы все это поняли, давайте вернемся к производным произведения и посчитаем еще несколько уравнений.
Но прежде чем переходить непосредственно к вычислениям, хотел бы напомнить такие закономерности:
\[\begin{align}& {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=\cos x \\& {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\& \left( tgx \right)’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\& {{\left( ctgx \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]
Считаем первый пример:
\[y={{x}^{4}}\cdot \sin x\]
У нас опять произведение двух функций: первая ― $f$, вторая ― $g$. Напомню формулу:
\[{{\left( f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}’\cdot g+f\cdot {g}’\]
Давайте решим:
\[\begin{align}& {y}’={{\left( {{x}^{4}} \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}= \\& =3{{x}^{3}}\cdot \sin x+{{x}^{4}}\cdot \cos x={{x}^{3}}\left( 3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end{align}\]
Переходим ко второй функции:
\[y=\left( 3x-2 \right)\cos x\]
Опять же, $\left( 3x-2 \right)$ ― это функция $f$, $\cos x$ ― это функция $g$. Итого производная произведения двух функций будет равна:
\[\begin{align}& {y}’={{\left( 3x-2 \right)}^{\prime }}\cdot \cos x+\left( 3x-2 \right)\cdot {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}= \\& =3\cdot \cos x+\left( 3x-2 \right)\cdot \left( -\sin x \right)=3\cos x-\left( 3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end{align}\]
Вот такое решение.
Идем далее и переходим к более сложным примерам. Для экономии времени я буду пропускать очевидные действия и буду писать лишь ключевые шаги. Итак:
\[y={{x}^{2}}\cos x+4x\sin x\]
Запишем:
\[{y}’={{\left( {{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}+{{\left( 4x\sin x \right)}^{\prime }}\]
Выпишем по отдельности:
\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}\cdot \cos x \right)}^{\prime }}=\left( {{x}^{2}} \right)’\cos x+{{x}^{2}}\cdot {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot \cos x+{{x}^{2}}\cdot \left( -\sin x \right)=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x \\\end{align}\]
На множители мы это выражение не раскладываем, потому что это еще не окончательный ответ. Сейчас нам предстоит решить вторую часть. Выписываем ее:
\[\begin{align}& {{\left( 4x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={{\left( 4x \right)}^{\prime }}\cdot \sin x+4x\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end{align}\]
А теперь возвращаемся к нашей изначальной задаче и собираем все в единую конструкцию:
\[\begin{align}& {y}’=2x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-{{x}^{2}}\cdot \sin x+4\sin x \\\end{align}\]
Все, это окончательный ответ.
Переходим к последнему примеру ― он будет самым сложным и самым объемным по вычислениям. Итак, пример:
\[y={{x}^{2}}tgx-2xctgx\]
Считаем:
\[{y}’={{\left( {{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}-{{\left( 2xctgx \right)}^{\prime }}\]
Считаем каждую часть отдельно:
\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}\cdot tgx \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot {{\left( tgx \right)}^{\prime }}= \\& =2x\cdot tgx+{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{\left( 2x\cdot ctgx \right)}^{\prime }}={{\left( 2x \right)}^{\prime }}\cdot ctgx+2x\cdot {{\left( ctgx \right)}^{\prime }}= \\& =2\cdot ctgx+2x\left( -\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)=2\cdot ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]
Возвращаясь к исходной функции, посчитаем ее производную в целом:
\[\begin{align}& {y}’=2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-\left( 2ctgx-\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac{{{x}^{2}}}{{{\cos }^{2}}x}-2ctgx+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}x} \\\end{align}\]
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать по производным произведения. Как видите, основная проблема формулы состоит не в том, чтобы ее заучить, а в том, что получается довольно большой объем вычислений. Но это нормально, потому что сейчас мы переходим к производной частного, где нам придется очень сильно потрудиться.
Что представляет собой производная частного?
Итак, формула производной частного. Пожалуй, это самая сложная формула в школьном курсе производных. Допустим, у нас есть функция вида $\frac{f}{g}$, где $f$ и $g$ ― также функции, с которых тоже можно снять штрих. Тогда она будет считаться по следующей формуле:
\[{{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}’\cdot g-f\cdot {g}’}{{{g}^{2}}}\]
Числитель чем-то напоминает нам формулу производной произведения, однако между слагаемыми стоит знак «минус» и еще в знаменателе добавился квадрат исходного знаменателя. Давайте посмотрим, как это работает на практике:
\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}\]
Попытаемся решить:
\[{f}’={{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{x+2} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}\cdot \left( x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\cdot {{\left( x+2 \right)}^{\prime }}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\]
Предлагаю выписать каждую часть отдельно и записать:
\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}-{1}’=2x \\& {{\left( x+2 \right)}^{\prime }}={x}’+{2}’=1 \\\end{align}\]
Переписываем наше выражение:
\[\begin{align}& {f}’=\frac{2x\cdot \left( x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\cdot 1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}= \\& =\frac{2{{x}^{2}}+4x-{{x}^{2}}+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\\end{align}\]
Мы нашли ответ. Переходим ко второй функции:
\[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+4}\]
Судя по тому, что в ее числителе стоит просто единица, то здесь вычисления будут чуть проще. Итак, запишем:
\[{y}’={{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}+4} \right)}^{\prime }}=\frac{{1}’\cdot \left( {{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot {{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]
Посчитаем каждую часть примера отдельно:
\[\begin{align}& {1}’=0 \\& {{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+{4}’=2x \\\end{align}\]
Переписываем наше выражение:
\[{y}’=\frac{0\cdot \left( {{x}^{2}}+4 \right)-1\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}=-\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\]
Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.
В чем разница между обозначениями?
У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $f\left( x \right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $f\left( x \right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}\], мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $f\left( x \right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.
С другой стороны, используя обозначения вида\[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+4}\], т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида\[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+4}\], читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.
Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. Надеюсь, это понятно. Давайте посчитаем еще несколько примеров.
Несколько интересных задач
На этот раз, как мы видим, в составе вычисляемых производных присутствует тригонометрия. Поэтому напомню следующее:
\[\begin{align}& (sinx{)}’=\cos x \\& {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x \\\end{align}\]
Конечно, нам не обойтись и без производной частного, а именно:
\[{{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}’\cdot g-f\cdot {g}’}{{{g}^{2}}}\]
Считаем первую функцию:
\[f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\]
Запишем:
\[\begin{align}& {f}’={{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}\cdot x-\sin x\cdot \left( {{x}’} \right)}{{{x}^{2}}}= \\& =\frac{x\cdot \cos x-1\cdot \sin x}{{{x}^{2}}}=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]
Вот мы и нашли решение этого выражения.
Переходим ко второму примеру:
\[y=\frac{x\sin x}{\cos x}\]
Очевидно, что ее производная будет более сложной уже хотя бы потому, что и в числителе, и в знаменателе данной функции присутствует тригонометрия. Решаем:
\[{y}’={{\left( \frac{x\sin x}{\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( x\sin x \right)}^{\prime }}\cdot \cos x-x\sin x\cdot {{\left( \cos x \right)}^{\prime }}}{{{\left( \cos x \right)}^{2}}}\]
Заметим, что у нас возникает производная произведения. В этом случае она будет равна:
\[\begin{align}& {{\left( x\cdot \sin x \right)}^{\prime }}={x}’\cdot \sin x+x{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}= \\& =\sin x+x\cos x \\\end{align}\]
Возвращаемся к нашим вычислениям. Записываем:
\[\begin{align}& {y}’=\frac{\left( \sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left( -\sin x \right)}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x{{\cos }^{2}}x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x\cdot \cos x+x\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]
Вот и все! Мы посчитали.
Как свести производную частного к простой формуле производной произведения?
И вот тут хотелось бы сделать одно очень важное замечание, касающееся именно тригонометрических функций. Дело в том, что наша исходная конструкция содержит в себе выражение вида $\frac{\sin x}{\cos x}$, которую легко можно заменить просто $tgx$. Таким образом, мы сведем производную частного к более простой формуле производной произведения. Вот давайте посчитаем этот пример еще раз и сравним результаты.
Итак, теперь нам нужно учесть следующее:
\[\frac{\sin x}{\cos x}=tgx\]
Перепишем нашу исходную функцию $y=\frac{x\sin x}{\cos x}$ с учетом этого факта. Получим:
\[y=x\cdot tgx\]
Давайте посчитаем:
\[\begin{align}& {y}’={{\left( x\cdot tgx \right)}^{\prime }}{x}’\cdot tgx+x{{\left( tgx \right)}^{\prime }}=tgx+x\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}= \\& =\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x\cdot \cos x+x}{{{\cos }^{2}}x} \\\end{align}\]
Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.
Важные нюансы при решении задач
В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:
\[y=\frac{48}{x}+3{{x}^{2}}+100\]
В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.
Итак, считаем эту производную. Прежде всего, заметим, что у нас присутствует слагаемое $3{{x}^{2}}$, поэтому уместно вспомнить следующую формулу:
\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]
Кроме того, у нас присутствует слагаемое $\frac{48}{x}$ ― с ним мы будем разбираться через производную частного, а именно:
\[{{\left( \frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}’\cdot g-f\cdot {g}’}{{{g}^{2}}}\]
Итак, решаем:
\[{y}’={{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}+{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}+10{0}’\]
С первым слагаемым никаких проблем, смотрите:
\[{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3\cdot {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=3k.2x=6x\]
А вот с первым слагаемым, $\frac{48}{x}$, нужно поработать отдельно. Дело в том, что многие ученики путают ситуацию, когда нужно найти ${{\left( \frac{x}{48} \right)}^{\prime }}$и когда нужно найти ${{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$. Т. е., они путаются, когда константа стоит в знаменателе, и когда константа стоит в числителе, соответственно, когда переменная стоит в числителе, либо в знаменателе.
Для начала проработаем первый вариант:
\[{{\left( \frac{x}{48} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{1}{48}\cdot x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{48}\cdot {x}’=\frac{1}{48}\cdot 1=\frac{1}{48}\]
С другой стороны, если мы попробуем аналогично поступить и со второй дробью, то получим следующее:
\[\begin{align}& {{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}={{\left( 48\cdot \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}= \\& =48\cdot \frac{{1}’\cdot x-1\cdot {x}’}{{{x}^{2}}}=48\cdot \frac{-1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]
Однако тот же самый пример можно было посчитать и иначе: на этапе, где мы переходили к производной частного, можно рассмотреть $\frac{1}{x}$ как степень с отрицательным показателем, т. е., мы получим следующее:
\[\begin{align}& 48\cdot {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=48\cdot {{\left( {{x}^{-1}} \right)}^{\prime }}=48\cdot \left( -1 \right)\cdot {{x}^{-2}}= \\& =-48\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}=-\frac{48}{{{x}^{2}}} \\\end{align}\]
И так, и так мы получили один и тот же ответ.
Таким образом, мы еще раз убедились в двух важных фактах. Во-первых, одну и ту же производную можно посчитать совершенно различными способами. Например, ${{\left( \frac{48}{x} \right)}^{\prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.
На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.
Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.
Смотрите также:
- Вводный урок по вычислению производных степенной функции
- Определение производной функции в терминах, доступных ученикам школ (т.е. это НЕ высшая математика)
- Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
- Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
- Усердный труд — залог отличной оценки на экзамене
- Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
www.berdov.com
19.Частная производная
Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) – внутренняя точка области D.
Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек
то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) – локальным максимумом.
А если же для всех точек
то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) – локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 – точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).
Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются “соседними” с точкой C0.
В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:
Аналогично определяется и глобальный минимум:
Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.
Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D – точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z’x и z’y, то
Геометрическое доказательство “очевидно”. Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она “естественно” пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определение 1.12.
Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).
Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 – стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Если:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
Пример 1.13.
Исследовать на экстремум:
Решение
1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):
то есть найдены четыре стационарные точки. 2.
по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём
по теореме 1.4 в точке
– максимум. Причём
studfiles.net
Производная частного функций
В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:
Пример 8
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:
Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.
Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:
Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:
Штрихов больше нет, задание выполнено.
На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:
Пример 9
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Время от времени встречаются хитрые задачки:
Пример 10
Найти производную функции
Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:
Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:
Готово.
Пример 11
Найти производную функции
Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:
Произведение все-таки дифференцировать проще:
Пример 12
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Решения и ответы:
Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это – константы. Поэтому выносится за знак производной, а .
Пример 7:
Пример 9:
Пример 12:
Производная сложной функции
На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.
На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.
Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:
Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.
! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.
Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:
Пример 1
Найти производную функции
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.
Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.
В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).
Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :
Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:
После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .
Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:
Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.
Ну и совершенно очевидно, что
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Готово
Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
Пример 2
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Пример 3
Найти производную функции
Как всегда записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:
И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:
Готово.
Пример 4
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?
Пример 5
а) Найти производную функции
б) Найти производную функции
Пример 6
Найти производную функции
Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).
Пример 7
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:
Пример 8
Найти производную функции
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:
Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.
Пример 9
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.
Пример 10
Найти производную функции
Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?
Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:
Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :
И, наконец, семерку возводим в степень :
То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.
Начинаем решать
Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:
Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:
Готово.
Пример 11
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.
Пример 12
Найти производную функции
Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :
В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :
Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:
Готово.
! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.
Пример 13
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила применяем правило .
Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2:
Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .
Пример 7:
Пример 9:
Пример 11:
Пример 13:
infopedia.su
Частная производная – это… Что такое Частная производная?
У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.
Примеры
Объем конуса зависит от высоты и радиуса основанияОбъём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объема V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на .
Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это дает полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
dic.academic.ru