Производная интеграл и – Объясните пожалуйста нормальныи понятным языком что такое производная и интеграл?

Содержание

Взаимосвязь между интегрированием и дифференцированием

Производная неопределенного интеграла. Первая основная теорема математического анализа
Сейчас мы обсудим удивительную взаимосвязь, которая существует между интегрированием и дифференцированием. Связь между этими двумя действиями аналогична в какой-то мере связи между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Если мы возведем положительное число в квадрат и затем возьмем положительное значение квадратного корня, то в результате опять получим исходное число. Аналогичным образом, если мы возьмем неопределенный интеграл от некоторой непрерывной функции f, мы получим новую функцию, производная которой даст нам опять исходную функцию f.
Например,
если f(x) = x2, то неопределенный интеграл A(x) определяется следующим образом
$A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_c^x t^2 \ dt = \frac{x^3}{3} — \frac{c^3}{3},$
где c — константа интегрирования. Дифференцируя эту функцию, мы получаем A'(x) = x2 = f(x). Этот пример — хорошая иллюстрация важной теоремы, лежащей в основе математического анализа.
Она формулируется следующим образом:

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу

Пусть функция f интегрируема на [a, x] для любого x на промежутке [a, b]. Пусть c удовлетворяет условию a ≤ c ≤ b . Определим новую функцию A следующим образом:
$A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt, \qquad \qquad a \leq x \leq b$
Тогда A'(x) существует в каждой точке x из открытого интервала (a, b), где f непрерывна, и для таких x мы имеем
(5.1)           A'(x) = f(x).
Сначала приведем геометрическую иллюстрацию истинности этой теоремы, а затем проведем строгое аналитическое доказательство.

Геометрическая иллюстрация. На рисунке 5.1 изображен график функции f на промежутке [a, b]. Здесь h положительно, и
$\int\limits_x^{x+h} f(t) \ dt = \int\limits_c^{x+h} f(t) \ dt — \int\limits_c^x f(t) \ dt = A(x+h) — A(x)$
Здесь функция непрерывна на интервале [x, x + h]. Следовательно, по теореме о среднем значении для интегралов, получим
A(x + h) — A(x) = hf(Z), где x ≤ z ≤ x + h.
Следовательно,
(5.2)            [A(x + h) — A(x)]/h = f(z),

Поскольку x ≤ z ≤ x + h, получаем, что f(z) → f(x) когда h → 0 для всех положительных значений. Аналогичные рассуждения справедливы, если h → 0 для всех отрицательных значений. Следовательно, A'(x) существует и равно f (x).
Эти рассуждения предполагали, что функция
f непрерывна в некоторой окрестности точки x. Однако формулировка теоремы требует непрерывности только в точке x. Следовательно, для доказательства теоремы при этом, более слабом, условии, мы должны использовать иной метод.

Аналитическое доказательство. Пусть функция непрерывна в точке x. В этой точке определим следующее выражение
[A(x + h) — A(x)]/h
Для доказательства теоремы необходимо доказать, что это выражение стремится к пределу f(x), когда h → 0. Числитель этого выражения имеет вид:
$A(x+h) — A(x) = \int\limits_c^{x+h} f(t) \ dt — \int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_x^{x+h} f(t) \ dt.$
Если в последний интеграл подставить выражение f(t) =f(x) + [f(t) -f(x)] , получаем
откуда находим
(5.3)
$\frac{A(x+h) — A(x)}{h} = f(x) + \frac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} [f(t) — f(x)] \ dt $
Следовательно, для завершения доказательства (5.1) нужно доказать, что
$\lim\limits_{h\rightarrow 0} \ \frac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} [f(t) — f(x)] \ dt = 0$
Эта часть доказательства использует условие непрерывности в точке x.
Обозначим второе слагаемое в правой части (5.3) через G(h). Необходимо доказать, что G(h) -f 0 когда h —f 0. Используя определение предела, мы должны показать, что для дюбого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
(5.4)          |G(h)|
Из непрерывности функции f в точке x следует, что если дано ε, то существует положительное δ такое, что
(5.5)           |f(t) -f(x)| когда (5.6)          x — δ
Если h выбрано таким образом, что 0

www.math10.com

таблица производных и интегралов

Правила дифференцирования и

 

Некоторые тригонометрические

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирования

 

 

 

формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

Правила дифференцирования

1

sin2 x + cos2 x = 1; 1− sin2 x = cos2 x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − cos2 x = sin2 x.

 

1

 

Производная суммы:

 

 

2

sin2 x = 1 − cos 2x , cos2

x = 1 + cos 2x ,

 

 

(u ±v )’ =u ‘±v ‘

 

 

 

 

 

2

2

2

 

Производная произведения:

 

 

3

1

 

 

 

(u v)’

= u’ v+ u v’

 

 

 

sin α sinβ = 2 (cos(α

− β)− cos(α + β))

3

(

 

 

 

 

)

= c u’

 

 

 

 

4

1

 

 

c u

 

 

 

 

 

sin α cosβ = 2 (sin(α − β)+ sin(α + β))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная частного:

 

 

5

1

 

 

 

u l

=

u ‘ v−u v’

 

 

 

 

cos α cosβ = 2 (cos(α

+ β)+ cos(α − β))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

Сложная функция:

 

 

 

 

 

Формулы сокращённого умножения

 

 

((f (ϕ(x)))’= f ‘ϕ ϕ ‘(x)

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

Правила интегрирования

 

 

1

(a±b)2 = a2 ± 2ab+b2

 

1

 

∫(

f (x) ± g(x) dx=

f (x)dx±

g(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

2

 

∫k f(x)dx= k∫f(x)dx

 

 

2

a2 −b2 = (a−b)(a+b)

 

3

 

∫f(ax+b)dx=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 ∫f(ax+b)d(ax+b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

∫f(ϕ(x)) ϕ ‘(x)dx± ∫f(ϕ(x))dϕ(x

3

(a±b)3 = a3 ± 3a2b+ 3ab2 ±b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a3 ±b3 = (a±b)(a2 ab+b2 )

5

 

 

 

 

 

Интегрирование по частям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫u dv= u v− ∫v du

 

 

 

 

 

studfiles.net

Производная — интеграл — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Производная — интеграл

Cтраница 1

Производная интеграла равна подынтегральной функции.
 [1]

Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции при верхнем пределе.
 [2]

Аналогичным образом производная интеграла по его нижнему пределу интегрирования равна отрицательному значению подынтегрального выражения в соответствующей точке.
 [3]

Можно сказать и так: производная интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интеграции подставлен верхний предел.
 [4]

Формулу (2.4) читают так: производная интеграла по параметру равна интегралу от производной подынтегральной функции по этому же параметру плюс производная верхнего предела ( по параметру), умноженная на значение подынтегральной функции при верхнем пределе, и минус производная нижнего предела, умноженная на значение подынтегральной функции при нижнем пределе.
 [5]

Из теоретического курса известно, что производная интеграла с постоянным нижним пределом и переменным верхним пределом равна подынтегральной функции при значении ее аргумента, равном верхнему пределу.
 [6]

К этому следует добавить, что производная интеграла Лебега по переменному верхнему пределу почтя всюду существует и равна подинтегральной функция.
 [7]

При этом учтено соотношение (8.10), вследствие которого производная интеграла (10.6) по нижнему пределу обратится в нуль.
 [8]

Если верхний предел определенного интеграла есть величина переменная, то производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при этом верхнем пределе.
 [9]

Эту теорему коротко можно сформулировать следующим образом: для непрерывной функции производная интеграла по верхнему пределу равна самой функции.
 [10]

Эту теорему коротко можно сформулировать следующим образом: для непрерывной функции производная интеграла по верхнему пределу равна самой функции.
 [11]

Формула (10.5) называется формулой дифференцирования интеграла по параметру по правилу Лейбница: производная интеграла по параметру равна интегралу от производной подынтегральной функции по этому параметру.
 [12]

Правило интегрирования функции с постоянным множителем и правило интегрирования алгебраической суммы функций доказываются одним и тем же методом, Этот метод основан на том, что производная интеграла равна подынтегральной функции и что два интеграла равны, если равны их производные.
 [13]

Заметим, что к понятию сингулярного интеграла приходят, в частности, при рассмотрении вопроса о дифференцировании интегралов, зависящих от параметра. Известно, что производная интеграла по параметру совпадает с интегралом от производной по параметру подынтегрального выражения, если последний равномерно сходится по этому параметру.
 [14]

Для определения оптимального норматива, соответствующего минимуму средних суммарных потерь, найдем производную этого выражения по Яд и приравняем ее к нулю. Как известно, производная интеграла по верхнему или нижнему пределу равна значению подинтегральной функции со знаком плюс или минус.
 [15]

Страницы:  

   1

   2




www.ngpedia.ru

Производная дифференциал и интеграл

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по высшей математике
Содержание:

1. Пределы последовательностей и функций. 2

2. Производная и дифференциал. 3

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4

4. Неопределенный интеграл. 7

5. Определенный интеграл. 9

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11

Литература. 12

Числовой последовательностью

называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п
; для этого достаточно знать выражение общего или п
-го члена последовательности в виде функции его номера: .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела
числовой последовательности. Число А
называется пределом числовой последовательности

, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А
по модулю меньше, чем на e, т. е.
при .

Если последовательность

имеет предел А
, то она называется сходящейся
(к числу А
) и этот факт записывают следующим образом:
.

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А
называется пределом функции

в точке
, если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А
, т. е.
.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А
называется пределом функции при

, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности будет меньше e, когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля
, если при .

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей
». Второе определение носит название «на языке

».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А
называется пределом функции при

, если для любого числа существует такое число d, что при всех справедливо неравенство : .

Теоремы о пределах функций
являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке

, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки .

Производной
функции

в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается
.

Например, выражение

следует понимать как производную функции в точке .

Определение производной можно записать в виде формулы

. (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция

не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции

интерпретируется как скорость изменения величины y
относительно x
. Геометрический смысл производной
состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .

Нахождение производной функции называется дифференцированием
этой функции. Если функция в точке х
имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой
в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции

дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы

mirznanii.com

Что такое интеграл? Интегралы с подробным решением. Таблица интегралов :: SYL.ru

Слово «интеграл» происходит от латинского integralis – целостный. Это название предложил в 17 в. ученик великого Лейбница (и также выдающийся математик) И. Бернулли. А что такое интеграл в современном понимании? Ниже мы постараемся дать всесторонний ответ на этот вопрос.

Исторические предпосылки возникновения понятия интеграла

В начале 17 в. в рассмотрении ведущих ученых находилось большое число физических (прежде всего механических) задач, в которых нужно было исследовать зависимости одних величин от других. Самыми наглядными и насущными проблемами были определение мгновенной скорости неравномерного движения тела в любой момент времени и обратная этой задача нахождения величины пути, пройденного телом за определенный промежуток времени при таком движении. Сегодня мы уже знаем, что такое интеграл от скорости движения – это и есть пройденный путь. Но понимание того, как его вычислять, зная скорость в каждый момент времени, появилось не сразу.

Поначалу из рассмотрения таких зависимостей физических величин, например, пути от скорости, было сформировано математическое понятие функции y = f(x). Исследование свойств различных функций привело к зарождению математического анализа. Ученые активно искали способы изучения свойств различных функций.

Как возникло вычисление интегралов и производных?

После создания Декартом основ аналитической геометрии и появления возможности изображать функциональные зависимости графически в осях декартовой системы координат, перед исследователями встали две крупные новые задачи: как провести касательную к кривой линии в любой ее точке и как найти площадь фигуры, ограниченной сверху этой кривой и прямыми, параллельными осям координат. Неожиданным образом оказалось, что первая из них эквивалентна нахождению мгновенной скорости, а вторая – нахождению пройденного пути. Ведь он при неравномерном движении изображался в декартовых осях координат «расстояние» и «время» некоторой кривой линией.

Гением Лейбница и Ньютона в середине 17 в. были созданы методы, позволившие решать обе эти задачи. Оказалось, что для проведения касательной к кривой в точке нужно найти величину так называемой производной от функции, описывающей эту кривую, в рассматриваемой ее точке, и эта величина оказывается равной скорости изменения функции, т. е. применительно к зависимости «путь от скорости» собственно мгновенной скоростью тела.

Для нахождения же площади, ограниченной кривой линией, следовало вычислить определенный интеграл, который давал ее точную величину. Производная и интеграл – основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, являющихся базисом современного матанализа – важнейшего раздела высшей математики.

Площадь под кривой линией

Итак, как же определить ее точную величину? Попробуем раскрыть процесс ее вычисления через интеграл подробно, с самых азов.

Пусть f является непрерывной на отрезке [ab] функцией. Рассмотрим кривую у = f(x), изображенную на рисунке ниже. Как найти площадь области, ограниченной кривой ), осью х, и линиями х = а и х = b? То есть площадь заштрихованной фигуры на рисунке.

Самый простой случай, когда f является постоянной функцией; то есть, кривая есть горизонтальная линия f(X) = k, где k постоянная и k ≥ 0, как показано на рисунке ниже. В этом случае область под кривой — всего лишь прямоугольник с высотой k и шириной (b – a), так что площадь определяется как: k · (b — а).

Области некоторых других простых фигур, таких как треугольник, трапеция и полуокружность, даются формулами из планиметрии.

Площадь под любой непрерывной кривой у = f(х) дается определенным интегралом, который записывается так же, как обычный интеграл.

Риманова сумма

Прежде чем погрузиться в подробный ответ на вопрос, что такое интеграл, выделим некоторые основные идеи.

Во-первых, область под кривой делится на некоторое число n вертикальных полос достаточно малой ширины Δx. Далее каждая вертикальная полоса заменяется вертикальным прямоугольником высотой f(х), шириной Δx, и площадью f(х)dx. Следующим шагом является формирование суммы площадей всех этих прямоугольников, называемой Римановой суммой (смотрите рисунки ниже).

Рисуя наши прямоугольники шириной Δx, мы можем брать их высоту, равную значению функции на левом краю каждой полоски, т. е. на кривой будут лежать крайние левые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. При этом на участке, где функция растет, и ее кривая является выпуклой, все прямоугольники оказываются ниже этой кривой, т. е. их сумма будет заведомо меньшей точной величины площади под кривой на этом участке (см. рисунок ниже). Такой способ аппроксимации называется левосторонним.

В принципе, можно нарисовать аппроксимирующие прямоугольники таким образом, чтобы на кривой лежали крайние правые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. Тогда они будут выше кривой, и приближение площади на этом участке окажется больше ее точной величины, как показано на рисунке ниже. Этот способ носит название правостороннего.

Но мы можем также взять высоту каждого из аппроксимирующих прямоугольников, равной просто некоторому значению функции в произвольной точке x*i внутри соответствующей полоски Δxi (смотри рис. ниже). При этом мы даже можем не брать одинаковую ширину всех полосок.

Составим Риманову сумму:

Переход от Римановой суммы к определенному интегралу

В высшей математике доказывается теорема, которая гласит, что если при неограниченном возрастании числа n аппроксимирующих прямоугольников наибольшая их ширина стремится к нулю, то Риманова сумма An стремится к некоторому пределу A. Число A – одно и то же при любом способе образования аппроксимирующих прямоугольников и при любом выборе точек x*i.

Наглядное пояснение теоремы дает рисунок ниже.

Из него видно, что, чем уже прямоугольники, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади под кривой. При числе прямоугольников n→∞ их ширина Δxi→0, а предел A суммы An численно равен искомой площади. Этот предел и есть определенный интеграл функции f (х):

Символ интеграла, представляющий собой видоизмененную курсивную литеру S, был введен Лейбницем. Ставить сверху и снизу обозначения интеграла его пределы предложил Ж. Б. Фурье. При этом ясно указывается начальное и конечное значение x.

Геометрическое и механическое истолкование определенного интеграла

Попробуем дать развернутый ответ на вопрос о том, что такое интеграл? Рассмотрим интеграл на отрезке [a,b] от положительной внутри него функции f(х), причем считаем, что верхний предел больше нижнего a<b. Как мы уже видели выше, в этом случае площадь, находящаяся между графиком y= f(х) и осью абсцисс в пределах отрезка [a,b], численно равна интегралу от a до b.

Если ординаты функции f(х) отрицательны внутри [a,b], то абсолютное значение интеграла равно площади между осью абсцисс и графиком y=f(х), сам же интеграл отрицателен.

В случае же однократного или неоднократного пересечения графиком y=f(х) оси абсцисс на отрезке [a,b], как показано на рисунке ниже, для вычисления интеграла нужно определить разность, в которой уменьшаемое будет равно суммарной площади участков, находящихся над осью абсцисс, а вычитаемое – суммарной площади участков, находящихся под ней. Так, для функции, показанной на рисунке выше, определенный интеграл от a до b будет равен (S1 + S3) – (S2+S4).

Механическое истолкование определенного интеграла тесно связано с геометрическим. Вернемся к разделу «Риманова сумма» и представим, что приведенный на рисунках график выражает функцию скорости v=f(t) при неравномерном движении материальной точки (ось абсцисс является осью времени). Тогда площадь любого аппроксимирующего прямоугольника шириной Δt, который мы строили при формировании Римановой суммы, будет выражать приближенно путь точки за время Δt, а именно v(t*)Δt.

Полная сумма площадей прямоугольников на отрезке от t1=a до t2=b выразит приближенно путь s за время t2– t1 , а предел ее, т. е. интеграл (определенный) от a до b функции v = f(t) по dt даст точное значение пути s.

Дифференциал определенного интеграла

Если вернуться к его обозначению, то вполне можно предположить, что a = const, а b является конкретным значением некоторой независимой переменной x. Тогда определенный интеграл с верхним пределом x̃ из конкретного числа превращается в функцию от x̃. Такой интеграл равен площади фигуры под кривой, обозначенной точками aABb на рисунке ниже. При неподвижной линии aA и подвижной Bb эта площадь становится функцией f(x̃), причем приращения Δx̃ по-прежнему откладываются вдоль оси х, а приращением функции f(x̃) являются приращения площади под кривой.

Предположим, что мы дали переменной x̃ = b некоторое малое приращение Δx̃. Тогда приращение площади фигуры aABb складывается из площади прямоугольника (заштрихован на рисунке) Bb∙Δx̃ и площади фигуры BDC под кривой. Площадь прямоугольника равна Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, т.е она является линейной функцией приращения независимой переменной. Площадь же фигуры BDC заведомо меньше, чем площадь прямоугольника BDCK = Δx̃∙Δy, и при стремлении Δx̃ →0 она уменьшается еще быстрее него. Значит, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ есть дифференциал переменной площади aABb, т. е. дифференциал определенного интеграла

Отсюда можно заключить, что вычисление интегралов заключается в разыскании функций по заданным выражениям их дифференциалов. Интегральное исчисление как раз и представляет собой систему способов разыскания таких функций по известным их дифференциалам.

Фундаментальное соотношение интегрального исчисления

Оно связывает отношения между дифференцированием и интегрированием и показывает, что существует операция, обратная дифференцированию функции, — ее интегрирование. Оно также показывает, что если любая функция f(х) непрерывна, то применением к ней этой математической операции можно найти целый ансамбль (совокупность, множество) функций, первообразных для нее (или иначе, найти неопределенный интеграл от нее).

Пусть функция F(x) является обозначением результата интегрирования функции f(х). Соответствие между этими двумя функциями в результате интегрирования второй из них обозначается следующим образом:

Как видно, при символе интеграла отсутствуют пределы интегрирования. Это означает, что из определенного он преобразован в неопределенный интеграл. Слово «неопределенный» означает, что результатом операции интегрирования в данном случае является не одна, а множество функций. Ведь, кроме собственно функции F(x), последним выражениям удовлетворяет и любая функция F(x)+С, где С = const. При этом подразумевается, что постоянный член в ансамбле первообразных можно задавать по произволу.

Следует подчеркнуть, что, если интеграл, определенный от функции, является числом, то неопределенный есть функция, точнее, их множество. Термин «интегрирование» применяется для определения операции разыскания обоих видов интегралов.

Основное правило интегрирования

Оно представляет собой полную противоположность соответствующему правилу для дифференцирования. Как же берутся неопределенные интегралы? Примеры этой процедуры мы рассмотрим на конкретных функциях.

Давайте посмотрим на степенную функцию общего вида:

f(х) = cxn

После того как мы сделали это с каждым слагаемым в выражении интегрируемой функции (если их несколько), мы добавляем постоянную в конце. Напомним, что взятие производной от постоянной величины уничтожает ее, поэтому взятие интеграла от любой функции даст нам восстановление этой постоянной. Мы обозначаем ее С, так как постоянная неизвестна — это может быть любое число! Поэтому мы можем иметь бесконечно много выражений для неопределенного интеграла.

Давайте рассмотрим простые неопределенные интегралы, примеры взятия которых показаны ниже.

Пусть нужно найти интеграл от функции:

f(х) = 4x2 + 2x – 3.

Начнем с первого слагаемого. Мы смотрим на показатель степени 2 и увеличиваем его на 1, затем делим первый член на результирующий показатель 3. Получаем: 4(x3) / 3.

Затем мы смотрим на следующий член и делаем то же самое. Так как он имеет показатель степени 1, то результирующий показатель будет 2. Таким образом, мы разделим это слагаемое на 2: 2(x2) / 2 = x2.

Последний член имеет множитель х, но мы просто не видим его. Мы можем представить себе последнее слагаемое как (-3x0). Это эквивалентно (-3)∙(1). Если мы используем правило интегрирования, мы добавим 1 к показателю, чтобы поднять его до первой степени, а затем разделим последний член на 1. Получим 3x.

Это правило интегрирования работает для всех значений n, кроме n = – 1 (потому что мы не можем разделить на 0).

Мы рассмотрели самые простой пример нахождения интеграла. Вообще же решение интегралов является делом непростым, и в нем хорошим подспорьем является уже накопленный в математике опыт.

Таблицы интегралов

В разделе выше мы видели, что из каждой формулы дифференцирования получается соответствующая формула интегрирования. Поэтому все возможные их варианты уже давно получены и сведены в соответствующие таблицы. Нижеприведенная таблица интегралов содержит формулы интегрирования основных алгебраических функций. Эти формулы нужно знать на память, заучивая их постепенно, по мере их закрепления упражнениями.

Еще одна таблица интегралов содержит основные тригонометрические функции:

Как же вычислить определенный интеграл

Оказывается, сделать это, умея интегрировать, т. е. находить неопределенные интегралы, очень просто. И помогает в этом формула основателей интегро-дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница

Согласно ей, вычисление искомого интеграла состоит на первом этапе в нахождении неопределенного, последующем вычислении значения найденной первообразной F(x) при подстановке x, равного сначала верхнему пределу, затем нижнему и, наконец, в определении разности этих значений. При этом константу С можно не записывать. т.к. она пропадает при выполнении вычитания.

Рассмотрим некоторые интегралы с подробным решением.

Найдем площадь участка под одной полуволной синусоидой.

Вычислим заштрихованную площадь под гиперболой.

Рассмотрим теперь интегралы с подробным решением, использующим в первом примере свойство аддитивности, а во втором — подстановку промежуточной переменной интегрирования. Вычислим определенный интеграл от дробно-рациональной функции:

y=(1+t)/t3 от t=1 до t=2.

Теперь покажем, как можно упростить взятие интеграла введением промежуточной переменной. Пусть нужно вычислить интеграл от (x+1)2.

О несобственных интегралах

Мы говорили об определенном интеграле для конечного промежутка [a,b] от непрерывной на нем функции f(х). Но ряд конкретных задач приводит к необходимости расширить понятие интеграла на случай, когда пределы (один или оба) равны бесконечности, или при разрывной функции. Например, при вычислении площадей под кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат. Для распространения понятия интеграла на этот случай, кроме предельного перехода при вычислении Римановой суммы аппроксимирующих прямоугольников, выполняется еще один. При таком двукратном переходе к пределу получается несобственный интеграл. В противоположность ему все интегралы, о которых говорилось выше, называются собственными.

www.syl.ru

Понятие и свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Неопределённый интеграл: 8 фактов, которые надо знать студенту

Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление
функции по известной производной этой функции.

Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)
на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется
равенство F ‘(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной
от первообразной функции F(x).
.

Например, функция F(x) = sin x
является первообразной для функции f(x) = cos x
на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x)’ = (cos x).

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись

 

f(x)dx

,

где знак   называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то

 

f(x)dx = F(x) +C

,                 (1)

где C — произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла
уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция — «быть дверью».
А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть
дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа,
которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана
из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции
при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную.

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных
(«быть дверью» — «быть деревом», «быть ложкой» — «быть металлом» и др.) аналогична таблице основных
неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов
перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части
задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых
услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В
задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было
использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C, а
чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно
записывать множество первообразных с произвольной константой C,
например, так: 5x³+С.
Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку
первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3
и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Пример 1.Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

так как

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.

или

                     (2)

Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

и вообще

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.


Теорема (формальное изложение факта 2). Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.


В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана
в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы
была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2.  Найти множества первообразных функций:

1)   

2)

3)

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании
формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу
неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3,  имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f,
а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего
для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

,
;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна ,
но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта
функция рассматривается как функция от переменной x, а во
втором — как функция от z.

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной
в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной
точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию
F(x), для которой
F'(x)=f(x). Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна
кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена
из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x),
то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл
геометрически представлен семеством всех интегральных кривых
, как на рисунке ниже. Удалённость
каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой)
интегрирования C.

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.


Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

                  (3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.


Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

  (4)


Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

  (5)


Факт 8. Пользусь таблицей неопределённых интегралов,
свойствами неопределённого интеграла и методами интегрирования, можно отыскать неопределённый интеграл
любой функции.

Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

 

Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Производная и интеграл. — Математика

Файл к занятию 29.

Производная. Применение производной. Первообразная.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен производной функции в точке х0..

Т.е. производная функции в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке (х0; f(x0)).

Задание 1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: 0,25

Задание 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 0,6

Задание 3. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,25

Задание 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,2.

Механический смысл производной.

v ( t0 ) = x’ ( t0 )

 скорость – это производная координаты по времени.  Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени

a = v’ ( t ).

Задание 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12 t2+4 t+27, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2 с. Ответ: 52

Задание 6. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=16 t3+t2−8 t+180, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 42 м/с? Ответ: 1

Достаточный признак возрастания (убывания) функции

1. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.

2. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.

Необходимое условие экстремума

Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то f `(x0 )=0

Достаточное условие экстремума

Если f `(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с «+» на « — », то x0 является точкой максимума функции.

Если f `(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с « — » на «+», то x0 является точкой минимума функции.

Задание 7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].

Ре­ше­ние. Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4. Значит, такая точка 1. Ответ: 1.

Задание 8. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x​7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? Ответ: 3

Задание 9. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11 ; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7 ; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0. Ответ: -4

Задание 10. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (2 ; 13). Найдите точку максимума функции f(x). Ответ: 9

Задание 11. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 3; 8). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: -2

Задание 12. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2 ; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ: 3

Задание 13. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней. Ответ: 5

Задание 14. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=− 2x−10 или совпадает с ней. Ответ: 5

 Задание 15. Прямая y=5x-8 является касательной к графику функции 4x2-15x+c. Найдите c. Oтвет: 17.

Первообразная

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F‘ (x)= f(x).

Задание 16. На рисунке изображён график y=F (x) одной из первообразных некоторой функции (x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  f (x)=0 на отрезке  [2;11]. Ответ: 4

За­да­ние 17. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [0; 5]. Ответ:1

Задание 18. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? Ответ: 3

Задание 19. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x3−3x2+152x−92 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592

Алгоритм нахождения точек экстремума

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти производную функции  f ‘(x)

  3. Найти точки, в которых f ‘(x) = 0.

  4. Отметить на числовой прямой область определения функции и все нули производной.

  5. Определить знак производной для каждого промежутка. (Для этого подставляем «удобное» значение  x из этого промежутка в f ‘(x)).

  6. Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере (max или min) в каждой из этих точек.

Задание 20. Найдите точку максимума функции y=(2x−1)cosx−2sinx+5, принадлежащую промежутку (0 ; π/2). Ответ: 0,5

Задание 21. Найдите точку максимума функции y=. Ответ: 6

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке

  1. Найти производную функции f ‘(x).

  2. Найти точки, в которых f ‘(x) = 0. Проверить принадлежность этих точек отрезку

  3. Найти значение функции на концах отрезка и в данных точках.

  4. Выбрать из полученных значений наибольшее или наименьшее.

Задание 22. Найдите наименьшее значение функции y=x−6x+1 на отрезке [2 ; 25]. Ответ: -31

Задание 23. Найдите наименьшее значение функции y=8cosx+30x/π+19 на отрезке [− 2π/3; 0]. Ответ: -5

Дополнительно. 1. Найдите точку максимума функции y=(x−11)2⋅e x − 7.

2. Найдите наибольшее значение функции y=х5-5х3-20х на отрезке [− 9 ; 1]. Ответ:48

urokidoma.org

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о