Производная суммы – Производная суммы, разности, произведения и частного функций — Мегаобучалка

poznayka.org

Производная – сумма – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Производная – сумма

Cтраница 1

Производная суммы равна z, так как все остальные члены суммы от п – не зависят.  [1]

Производная суммы равна сумме производных.  [2]

Производная суммы нескольких многочленов равна сумме их производных.  [3]

Производная суммы векторов равна сумме производных от слагаемых векторов.  [4]

Производная суммы функций равна сумме производных от этих функций.  [5]

Производная суммы векторов равна сумме производных от слагаемых векторов.  [6]

Производная суммы векторов равна сумме производных слагаемых.  [7]

Производная суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых.  [8]

Правило производная суммы равна сумме производных устанавливается элементарно.  [9]

Чему равна производная суммы, производная произведения, производная частного двух функций.  [10]

Поэтому высказывание производная суммы равна сумме производных без предположения о существовании производной у каждого из слагаемых вообще говоря, неверно.  [11]

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.  [12]

Таким образом, производная суммы функций равна сумме производных.  [13]

Таким образом,

Доказать, что производная суммы любого фиксированного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.  [15]

Страницы:      1    2    3

www.ngpedia.ru

Производная суммы, разности, произведения и частного функций — Мегаобучалка

Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Теорема.

Если функции и дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции , , (при условии, что ) и при этом

;

;

, .

Следствия

1. , где .

2. Если , то .

3. , где .

Производная сложной функции

Пусть и , тогда − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема.

Если функции имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в точке х

или = .

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.

Так, если , , , , то

.

Производная обратной функции

Если и − взаимо-обратные дифференцируемые функции и , то

или ,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Записывают:

или .

Пример

Найти производную функции .

, , тогда , . Имеем .

.

Итак, .

Таблица производных

Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.

Примеры отыскания производных сложных функций

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.

1. , k − число.

;

.

2. .

;

.

;

.

4. .

;

.

5. .

;

.

6. .

;

;

.

7. .

.

8. .

;

.

9. .

.

10. .

;

.

Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента ( )

Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:

где t − вспомогательная переменная (параметр).

Функцию , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Так как , то

.

Примеры

Найти производные функций:

1.

.

2.

.

Производная неявной функции

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразив через х и у.

Пример

Найти производную функции: .

;

;

;

.

megaobuchalka.ru

3.5. Производная суммы, произведения и частного функций

ции, в силу чего равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях, так и в приближенных вычислениях.

Операции нахождения производной и дифференциала функции называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8) дифференциал функции получается простым умножением ее произ-

носительную погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее дифференциалом.

Найдём приращение и дифференциал функции

y = 3(x+ x)2 +(x+ x) −3×2 − x= 6x x+3( x)2 + x= (6x+1) x+( x)2.

Тогда dy = (6x +1) x . Вычислимy иdy в точкеx =1 , еслиx = 0,1 y = 7 0,1+3 0,01 = 0,73;dy = 7 0,1 = 0,7.

Абсолютная погрешность y −dy = 0,73 −0,7 = 0,03, а относительная погрешность

y= 00,,0373 ≈0,04.

Напомним известные из курса средней школы правила дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить производные функций, не прибегая непосредственно к определению.

Теорема 3.3. Если функцииu = u(x) иv = v(x)

дифференцируемы

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Умножив эти равенства почленно на dx , получим те же правила, записанные в терминах дифференциалов

Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например, вторую.

Обозначим y = uv. Придадимx приращениеx, и пусть

ференцируема, а значит, и непрерывна ( теорема 3.2), следовательно

тель можно выносить за знаки производной и дифференциала.

Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу

(3.12), находим

(uvw)′ = ((uv)w)′ = (uv)′w+(uv)w′+(u′v+uv′)w+uvw′ = = u′vw +uv′w +uvw′.

Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.

В следующих пунктах будут получены производные основных элементарных функций.

3.6. Производные от тригонометрических функций

Найдем производные от тригонометрических функций, а именно

Получим первую из них. Приращение функции y = sin x в точкеx , со-

Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и воспользоваться формулой (3.13).

3.7. Дифференцирование логарифмических функций

Докажем первую из них. Приращение функции y = loga x в точкеx , со-

(мы воспользовались здесь тождеством loga A = loga eln A ).

3.8. Дифференцирование сложной функции.

Производные от степенной и показательной функций

Пусть сложная функция y аргументаx задана формуламиy = f (u),

u =ϕ(x) (см. пункт 1.4.3)

Теорема 3.4 (о производной сложной функции). Если функции

приращение y функцииy = f (u) . Так как функцияy = f (u) по условию теоремы дифференцируема в рассматриваемой точкеu , то ее приращение в этой точке можно представить в виде (см.определение 3.4)

x → 0 , придем к (3.18).

Умножив равенство (3.18) почленно на dx , получим выражение для дифференциала сложной функции

70

dy = f′(u)du.

Замечание. Дифференциал функцииy = f (u) имел бы точно такой же вид и в том случае, если бы аргументu был не функцией, а независимой переменной. В этом состоит так называемоесвойство инвариантности (независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует иметь в виду, что еслиu – независимая переменная, тоdu = u есть ее произвольное приращение, если жеu – промежуточный аргумент (то есть функция), тоdu – дифференциал этой функции, то есть величина, не совпадающая с ее приращениемu.

С помощью последней теоремы легко получить формулы дифференци-

левая часть последнего равенства является сложной функцией отx . Продифференцировав обе части последнего равенства поx (левую – как сложную функцию), получим

1y y′ =a 1x ,

откуда

y′ =ayx =axxa =axa−1.

Легко показать, что этот результат верен и при x < 0 , если только при

этом xα имеет смысл. Ранее был получен результат для случаяα = n. Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае приa = e вытекает последняя формула.

Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции

логарифмическим дифференцированием.

Покажем его применение для дифференцирования функций вида y = u(x)v(x)

Пример 3.3. Найдем производную функцииy = xsin x .ln y = ln xsin x = sin xln x

ln y ‘= y ‘/y = (sinx)’lnx +sinx(lnx)’= cosxlnx + sinx x .

Следовательно,

y′ = xsin x(cosx lnx + sinx x)

Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть применено и для отыскания производной функции, заданной неявно.

Действительно, если зависимость между x иy задана в формеF(x, y) = 0 и это уравнение разрешимо относительноy , то производнуюy′ можно найти из уравнения

3.9. Дифференцирование обратной функции.

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Пусть даны две взаимно обратные функции y = f (x) иx =ϕ(y)

(см.п. 1.4.8).

Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции

studfiles.net

Производная алгебраической суммы, произведения и частного

Теорема

Если функции U = U(x) и V = V(x) дифференцируемы в некоторой точ

ке х₀, то алгебраическая сумма, произведение и частное этих функций (при V(x) ± 0) также дифференцируемы в точке и имеют место следующие формулы:

(U ± V)¢ = U¢ ± V¢,

(U∙V)¢ = U¢V + UV¢,

при V¹0.

Доказательство

1. Для вывода формул воспользуемся определением производной функции и равенством: f(x + ∆x) = f(x) + ∆y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих предел в точке.

2. Сначала докажем первую формулу: производную алгебраической суммы:

(U ±V)=

= /сгруппируем первое слагаемое с третьим, второе с четвертым/ =

/разобьём на две дроби/=

= /в числителе каждой дроби стоит приращение соответствующей функции, и по условию теоремы каждая из них имеет производную в точке х₀, следовательно, существует конечный предел/=

= [35].

ч.т.д.

3. Докажем формулу № 2: производную произведения:

/заменим 1-й и 2-й сомножители первого слагаемого равенством / = /перемножим выражения в скобках/

/разделим каждое слагаемое числителя на / /так как множители V(x) и U(x) не зависят от , поэтому их можно вынести за знак предела/ /так как U(x) – дифференцируема по условию теоремы в точке х₀, то она непрерывна в точке х₀, следовательно, / = U′V(x)+U(x)V′+0 = U′V+ UV′.

ч. т. д.

4. Докажем третью формулу: производную частного:

/приведем к общему знаменателю дроби в числителе/ = /заменим U(x + ∆x) =

U(x) + ∆U и т.д./

/разделим числитель и знаменатель на ∆х/ = /предел частного равен частному пределов/ =

, V ≠ 0 [35].

ч.т.д.

Производные основных элементарных функций

1. f(x) = c, с′ = 0;

2. f(x) = xⁿ, (xⁿ)′= nx^n-1;

3. f(x) = sinx, (sinx)′= cosx;

4. f(x) = cosx, (cosx)′ = – sinx;

5. f(x) = tgx, (tgx)′ = ;

6. f(x) = ctgx, (ctgx)′ = ;

7. f(x) = a^x, (a^x)′ = a^xlna;

8. f(x) = e^x, (e^x)′ = e^x.

9. Производная логарифмической функции: f(x) = log_ax, a > 0, a ≠ 1, x > 0.

.

Доказательство

1. Для любого х .

2. Придадим аргументу х приращение ∆х, получим новое значение аргумента

х + ∆х.

3. Функция получит приращение ∆f(x) = ∆y = f(x+∆x) – f(x) = log_a(x+∆x) –

– log_ax = .

4. Найдём предел отношения [35].

ч.т.д.

Следствие: Если f(x) =lnx, то (lnx)′ .

10. (lnx)′ ; 11. (arcsinx)′_x = ;

12. (arccosx)′_x = ; 13. (arctgx)′_x = ;

14. (arcctgx)′_x = [35].

Модуль

Тема №6

Дифференцируемость функции, производная и дифференциал. Правила дифференцирования

Лекция №2

1. Производная обратной функции.

2. Геометрический смысл производной обратной функции.

3. Производная сложной функции.

4. Дифференцирование логарифмических функций.

5. Логарифмическое дифференцирование.

6. Дифференцирование степенно – показательных выражений.

7. Производные высших порядков.

Производная обратной функции

Теорема

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. И пусть функция является для нее обратной. Тогда если функция имеет в точке производную, не равную нулю, , то и обратная функция также имеет в точке производную , причем она определяется по формуле:

.

Доказательство

1. Дадим аргументу обратной функции некоторое приращение в точке .

2. Тогда обратная функция получит приращение , причем в силу возрастания или убывания (т.е. в силу монотонности прямой и обратной функций) .

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

4. Перейдем к пределу при в последнем равенстве

.

5. Так как обратная функция непрерывна в точке , то при (на основании определения №5 непрерывности функции в точке).

Поэтому , причем, по условию теоремы.

6. Так как предел правой части равенства существует и равен , то, следовательно, существует предел и левой части равенства. А он по определению производной функции в точке равен .

7. Таким образом, или [4].

ч.т.д.

Геометрический смысл производной обратной функции

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл.

1. Рассмотрим в некоторой окрестности точки х₀ график функции у = f(x) или график обратной функции x = φ(y).

2. Пусть точка М имеет координаты М(х₀, f(х₀)) или М(φ(х₀), у₀).

Рис.3.

3. Известно, что производная функции у = f(х) в точке х₀f΄(х₀) равна танген –

су угла φ₀ наклона касательной, проходящей через точку М графика функции, к оси Ох: f΄(х₀) = tg φ₀.

4. Производная же обратной функции φ’(у₀) будет равна тангенсу угла β₀ наклона касательной, проходящей через точку М графика функции х = φ(у), к оси Оу: φ’(у₀) = tg β₀. Покажем это.

5. Так как углы φ₀ и β₀ в сумме составляют 90^º, т.е. они являются дополнительными углами φ₀ + β₀ = , следовательно, можно записать:

,следовательно,

[4].

Производная сложной функции

Теорема

Если функция х = φ(t) имеет производную в точке t₀, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х₀= φ(t₀), то сложная функция f(φ(t)) = Ф(t) имеет производную в точке t₀, причем справедлива следующая формула: Ф′(t₀) = f′(x₀)∙φ′(t₀) или Ф′_t = f′_x∙ φ′_t или у′_t = у′_x∙x′_t.

Доказательство

1. Так как функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀, то приращение этой функции в точке х₀ может быть записано так: , где бесконечно малая функция при .

2. Поделим данное равенство на ∆t, получим .

3. Последнее равенство справедливо при любых достаточно малых ∆х.

4. Возьмем ∆х, равным приращению функции х = φ(t), которое соответствует приращению ∆t аргумента t в точке t₀.

5. Перейдём к пределу в равенстве пункта 2 при ∆t → 0.

6. Так как по условию теоремы функция х = φ(t) имеет производную в точке t₀, то она непрерывна в точке t₀. А следовательно, если ∆t стремится к нулю, то и ∆х стремится к нулю, т.е. на основании определения №5 непрерывности функции в точке.

7. Тогда при ∆t → 0 ∆х → 0 и, следовательно, α(∆х) → 0, так как .

8. Поэтому правая часть равенства пункта 2 примет вид:

= .

9. Если существует предел правой части равенства, то существует предел левой части того же равенства. А он по определению производной функции равен производной функции Ф(t) = f(φ(t)) в точке t₀. Тем самым доказана дифференцируемость сложной функции в точке и установлена формула: Ф′(t₀) = =f′(x₀)∙φ′(t₀) или у′(t₀) = f′(x₀)∙ φ′(t₀) или у′_t = у′_x∙x′_t.

ч.т.д.

Замечание

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования останется прежним [35].

ч.т.д.

Пример.Найти производную функции.

[35].

infopedia.su

ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ — Мегаобучалка

Для нахождения производных суммы, произведения и частного двух функций используются правила дифференцирования. Рассмотрим и решим примеры.

1. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИL (производная алгебраической суммы):

Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных.

2. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ:

Если функции дифференцируемы в точке х₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке.

3. ПРОИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ:

Если функции дифференцируемы в точке х₀,то частное также дифференцируемо в этой точке, если v¹0

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ (примеры с решениями):

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ:

АЛГОРИТМ

ПРИМЕР: на отрезке [-3;4]

1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки функции (приравняем производную к нулю, и решим полученное уравнения; корни уравнения – критические точки). 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах данного отрезка. 4. Сравнить полученные значения: наибольшее из найденных является наибольшим значением функции на данном отрезке; аналогично – наименьшее является наименьшим на данном отрезке.

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:

Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: .

Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из 6-ти интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение.

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки не считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. У графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота .
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции:

Решение:

1. Находим производную функции

2. Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение

критические точки функции х=1 и х=3.

3. Критические точки функции разбивают область определения на три интервала:

+ – +

1 3 х

определим знаки производной функции в каждом из полученных интервалов:

т.е. точка х=1 – точка максимума; х=3 – точка минимума.

4. Вычислим значения функции в критических точках:

5. Составим таблицу:

ИНТЕГРАЛ

Пример 1.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Пример 2.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 3.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 4.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 5.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

megaobuchalka.ru