Блог Олега Кривошеина: Физический смысл производной.
Ещё часть задач из раздела В8 ЕГЭ по математике связана с физическим смыслом производной. Напомним его.
Если положение точки при её движении задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t, v(t) = S‘(t).
Скорость – есть производная от пути по времени.
Уместно заметить, что ускорение – это скорость изменения скорости тела, значит а(t) = v‘(t)= S”(t).
Ускорение – есть производная от скорости по времени, или вторая производная от пути по времени.
Кстати, по аналогии вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.
Решим несколько задач уровня
Пример 1. Решим задание В8 (№ 119975).
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 – 48t + 17 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9c.
Решение.
1. Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17 :
x‘(t) = 12t – 48
2. Найдем значение производной в точке t = 9:
x‘(9) = 12×9 – 48
x‘(9) = 60.
Ответ: 60 м/с.
Пример 2. Решим задание В8 (№ 122875).
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = – t4 +6t3 + 2
Решение.
1. Найдем производную функции x(t) = – t4 +6t3 + 2t2+ 9t – 22:
x‘(t) = -4t
2. Найдем значение производной в точке t = 3:
x‘(3) = -4×33 + 18×32+ 4×3 + 9
x‘(3) = 75.
Ответ: 75 м/с.
Пример 3. Решим задание В8 (№ 119978)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 – 13t + 23 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах,
Решение.
Найдем производную функции x(t) = 6t2 – 48t + 17
x‘(t) = 2t – 13
По условию, скорость точки равна 3 м/с.
Получаем уравнение:
x‘(t) = 2t – 13= 3, 2t = 16
Отсюда t = 8 с.
Ответ: 8
Пример 4. Аналогичное задание. Задание В8 (№123871)
Материальная точка движется прямолинейно по закону
Решение.
Найдем производную функции x(t) = t3 – 6t2
x‘(t) = 3t2– 12t – 8
По условию, скорость точки равна 88 м/с.
Получаем уравнение:
x‘(t) = 3t2– 12t – 8 =88
Решим его:
3t2– 12t – 8 =88
3t2– 12t – 96 =0, разделим обе части уравнения на 3,
t2– 4t – 32 =0
t1 = 8,
t2 = – 4 – не соответствует условию задачи: время не может быть отрицательным.
Ответ: 8
Потренируйтесь сами.
Задание B8 (№ 121761)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 7t – 3 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10c.
Ответ: 27 м/с.
Задание B8 (№ 121763)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 2
Ответ: 14 м/с.
Задание B8 (№ 121765)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 6t + 16, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 18 м/с.
Задание B8 (№ 121769)
Материальная точка движется прямолинейно по закону
Ответ: 11 м/с.
Задание B8 (№ 121771)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 4t – 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.
Ответ: 16 м/с.
Задание B8 (№ 122877)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t4 +t3 + 6t2– 5t – 30 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.
Ответ: 47 м/с.
Задание B8 (№ 122879)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = – t4 +9t2+ 4t – 7 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах,
Ответ: 8 м/с.
Задание B8 (№ 123879)
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 – 3t2– 7t – 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Ответ: 3 м/с.
krivoleg.blogspot.com
1. Физический смысл первой производной
Т е м а. ФИЗИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.
ПОНЯТИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем.
Производная y функции – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём и временем при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производнуюи подставить в неё соответствующее значение, то есть
П р и м е р 1. Точка движется прямолинейно по закону (s выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.
Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .
Подставив в уравнение скорости с, получим
П р и м е р 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол
(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;
б) в какой момент времени маховик остановится?
Решение. а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле Тогда
Подставляя t = 6 с, получим .
б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю . Поэтому. Отсюда
П р и м е р 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону Найти кинетическую энергию телачерез 3 с после начала движения.
Решение. Найдём скорость движения тела в любой момент времени t.
Вычислим скорость тела в момент времени .
Определим кинетическую энергию тела в момент времени
2. Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается Производнуюn-го порядка обозначают или
Примеры.
1) 2)
.
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение.
Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент.
Решение. Найдём скорость точки в любой момент времени t.
Вычислим скорость в момент времени .
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
и , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени
Решение. Сила, действующая на тело, находится по формуле
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
.
Тогда .
Найдём ускорение: =
Тогда .
studfiles.net
Задача 7: физический смысл производной
Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.
На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.
Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.
Если $S=x\left( t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:
\[v={S}’={x}’\left( t \right)\]
Точно так же мы можем посчитать и ускорение:
\[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’\left( t \right)\]
Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.
Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.
Пример № 1
Материальная точка движется по закону:
\[x\left( t \right)=-\frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t\]
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.
Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.
\[v={S}’={x}’\left( 2 \right)\]
Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.
Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:
\[{x}’\left( t \right)=-\frac{1}{5}\cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]
\[{x}’\left( t \right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]
Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:
\[{x}’\left( 2 \right)=-{{2}^{4}}+4\cdot {{2}^{3}}-3\cdot {{2}^{2}}+5=\]
\[=-16+32-12+5=9\]
Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.
Пример № 2
Материальная точка движется по закону:
\[x\left( t \right)=\frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11\]
где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?
Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.
В первую очередь, вновь ищем производную:
\[{x}’\left( t \right)=\frac{1}{3}\cdot 3{{t}^{2}}-4\cdot 2t+19\]
\[{x}’\left( t \right)={{t}^{2}}-8t+19\]
От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:
\[{{t}^{2}}-8t+19=3\]
\[{{t}^{2}}-8t+16=0\]
\[{{\left( t-4 \right)}^{2}}=0\]
\[t-4=0\]
\[t=4\]
Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.
Ключевые моменты
В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.
Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.
Смотрите также:
- Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 7 из ЕГЭ по математике!
- Задача 7: касательная и квадратичная функция с параметром
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
- Локальная теорема Муавра — Лапласа
- Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
- Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы
www.berdov.com
Механический смысл производной
Рассмотрим движение материальной точки вдоль координатной оси, причём задан закон движения функцией времени В течение интервала времени от до материальная точка перемещается на расстояние , а её средняя скорость равна
При значение средней скорости стремится к определенной величине, которая называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени , то есть
А по определению производной, величина, стоящая в правой части, равна , то есть
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Итак, механический смысл производной: скорость – это производная координаты по времени:
ПРИМЕР 1
| Задание | Чему равна скорость тела, двигающегося по закону в момент времени . |
| Решение | Находим первую производную от пути:
В заданный момент времени имеем:
|
| Ответ |
| Задание | Движение материальной точки задано уравнением . Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. |
| Решение | Найдем скорость движения точки, для этого продифференцируем функцию :
По условию в некоторый момент времени скорость равна нулю, то есть
Решаем полученное уравнение:
|
| Ответ | В момент времени скорость движения материальной точки равна нулю. |
ru.solverbook.com
Механический смысл второй производной
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:
$v = v(t)$
В момент времени t скорость имеет значение $v_0 = v(t)$. Рассмотрим момент времени $t + \Delta t$. Ему соответствует значение скорости
$v_1 = v(t + \Delta t)$
Приращению времени $\Delta $t соответствует приращение скорости
Средним ускорением $\Delta $t является отношение
Ускорением $\omega $ в момент t называется предел среднего ускорения при $\Delta $t стремящемся к 0.
Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.
Таким образом, скорость – производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:
Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.
Пример 1
Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону
\[s=\frac{2t^{3} }{5} \]где время t выражается в сек, а путь s — в см.
Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.
Решение.
По формуле:
\[\omega =v’_{t} =s”\]Найдем искомое ускорение
\[s’=\left(\frac{2t^{3} }{5} \right){{‘} } =\frac{6t^{2} }{5} \] \[\omega =s”=\left(\frac{6t^{2} }{5} \right){{‘} } =\frac{12t}{5} \]Пример 2
Материальная точка осуществляет движение по закону
\[s=3t^{2} +2t^{3} \]где время s измеряется в метрах, а t — в секундах.
Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.
Решение.
Найдем вторую производную:
\[s’=\left(3t^{2} +2t^{3} \right){{‘} } =6t+6t^{2} \] \[s”=\left(6t+6t^{2} \right){{‘} } =6+12t\]По формуле:
\[\omega =s”\] \[\omega =6+12t\]Выразим t
\[t=\frac{\omega -6}{12} \]Заменим ускорение значением 10 секунд:
\[t=\frac{10-6}{12} =\frac{1}{3} сек\]Пример 3
Скорость движения тела выражается формулой
\[v=0,8t^{3} -1,2\]Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.
Решение.
Поскольку ускорением является производная от скорости:
\[\omega =v”=\left(0,8t^{3} -1,2\right){{‘} } {{‘} } =4,8t\]Через 12 секунд ускорение составит:
\[\omega =4,8\cdot 12=57,6 м/с^{2} \]Пример 4
Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:
\[x=3t^{3} +2t^{2} \]Решение.
Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.
\[x’=\left(3t^{3} +2t^{2} \right){{‘} } =9t^{2} +4t\] \[\omega =x”=\left(9t^{2} +4t\right){{‘} } =18t+4\]Во время равное 2 секунды, ускорение составит:
\[\omega =18\cdot 2+4=40 м/c^{2} \]Пример 5
В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:
\[x=\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\]Решение.
Найдем первую производную от закона движения:
\[x’=\left(\frac{3}{2} t^{3} -2t^{2} +t-128\right){{‘} } =\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\]Найдем вторую производную
\[x”=\left(\frac{9}{2} t^{2} -4t+1\right){{‘} } =9t-4\]Поскольку ускорением является вторая производная, имеем:
\[\omega =x”=9t-4\]Приравняем полученное ускорение к нулю и выразим время t
\[9t-4=0\] \[t=\frac{4}{9} сек\]spravochnick.ru
Физические приложения производной
1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией , то мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути S по времени t:
(11)
2. Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скорости по времени t:
(12)
3. Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоёмкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:
4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массы m по длине l:
5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т.е. производной от магнитного потока по времени
6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени равна производной заряда по времени :
Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x = 2.
Решение.Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (9). Сначала найдём ординату точки касания . Для этого значение подставим в уравнение функции:
Для нахождения углового коэффициента найдём производную , используя формулу дифференцирования дроби:
Найдём значение производной при :
Подставляем найденные значения в формулу (9), получаем уравнение касательной:
, т.е.
Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (10):
Получим, что уравнение нормали , проведенной к заданной кривой в заданной точке имеет вид
Пример 2. Определить, в какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°.
Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдём производную функции:
.
По условию Значит, .
Отсюда
, , .
Получили два значения абсциссы точки касания:
, ,
т.е. существует две точки касания, в которых касательная образует угол с осью .
Найдём соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения в формулу функции:
Приходим к ответу: в точках и касательная к заданной кривой образует с осью угол
Пример 3. Найти острый угол между параболами и в точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.
Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым, проведёнными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле:
(13)
где и -угловые коэффициенты заданных парабол.
Найдём точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему:
Отсюда Условие задачи удовлетворяет точка Найдём коэффициент
Аналогично найдём :
Воспользуемся формулой и получим:
,
откуда
Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.
Решение. Согласно формуле (11) скорость есть производная пути, а, согласно формуле (12), ускорение есть производная от скорости.
Последовательно вычислим производные:
Найдём момент времени, когда ускорение равно нулю:
Вычислим скорость движения тела в момент времени
Похожие статьи:
poznayka.org
Механическое значение второй производной. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Похожие главы из других работ:
График и его элементы. Классификация видов графиков
1.2 Значение графического метода в анализе и обобщении данных
Значение графического метода в анализе и обобщении данных велико. Графическое изображение прежде всего позволяет осуществить контроль достоверности статистических показателей…
Использование дидактических игр для развития познавательной деятельности 6-классников
1.2. Дидактическая игра и ее значение в развитии мотивационной сферы познания деятельности
Сущность дидактической игры заключается в том, что ученики решают умственные задачи, предложенные им в занимательной игровой форме, сами находят решения, преодолевая при этом определенные трудности. Ученик воспринимает умственную задачу…
Канонический вид произвольных линейных преобразований
b) выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение;
…
Методы отсечения
4. Второй алгоритм Гомори
Второй алгоритм Р. Гомори предназначается для решения задач, в которых требование целочисленности наложено на некоторые переменные (в частности и на все). Мы его рассмотрим применительно к задачам частично целочисленного типа, понимая…
Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными — ах2 + bxy + су2 + dx + ey +f= 0, где а, b, с, d, e,f– данные числа, причем среди коэффициентов a, b и с по меньшей мере один отличен от нуля. Пусть все эти шесть коэффициентов — числа целые…
Планы второго порядка, реализация В3-плана
1.1 Значение и анализ выходной величины.
Исследование зависимости посылки по мощности привода от некоторых технологических факторов. В рассматриваемом частном случае реализации В3 – плана участвуют три основных фактора…
Пределы. Сравнение бесконечно малых величин
3. Второй замечательный предел
Рассмотрим числовую последовательность , где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя…
Применение производной в науке и техникe
1.2 Определение производной
Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции: 1…
Проверка гипотезы о независимости логарифмической доходности за различные интервалы времени при большом, среднем и малом объеме торгов
2.3 Р-значение критерия
В своей работе я буду использовать такое понятие как Р-значение, поэтому стоит дать определение этому понятию…
Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Нахождение экстремума при помощи второй производной
1°. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки. Доказательство от противного…
Различные методы решения планиметрических задач
1.5 «Второй признак равенства треугольников»
1.Д.П.: Продлим AC на AM1=OC и BD на DN=OB. 2. Рассмотрим ?OMN, NOM=90°, тогда по теореме Пифагора в ?MON MN=10. 3. Постоим: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC и ?DFN=?BOK (по II признаку) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Ответ: MN=5…
Статистика измерений
3.Определение доверительного интервала, в котором лежит значение вероятной величины
Определение доверительного интервала означает оценку для центра распределения. В качестве первичных оценок группирования значений случайных величин могут быть использованы различные предельные неравенства. Неравенство Чебышева…
Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения
1.2 Понятие производной
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию…
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Предмет теории вероятностей и ее значение для решения экономических, технических задач. Вероятность и ее определение
На протяжении длительного времени человечество изучало и использовало для своей деятельности лишь так называемые детерминистические закономерности. Однако…
Урок зачет как одна из форм контроля учебных достижений семиклассников по алгебре
1.1. Значение, организация и содержание проведения контроля
Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений школьников. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит эффективность учебной работы…
math.bobrodobro.ru