ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ГСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ДостаточноС условиС монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. НСобходимоС ΠΈ достаточноС условия экстрСмума.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: основныС понятия ΠΈ опрСдСлСния

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° функция . Рассмотрим Π΄Π²Π° значСния (исходноС) ΠΈ (Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅) ΠΈΠ· области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΠŸΠ Π•Π”Π•Π›Π•ΠΠ˜Π• Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ называСтся ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ обозначаСтся (Β«Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π° икс»):

Β  Β 

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» рассматриваСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° Π½Π΅ прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ .

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ рассматриваСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . Π—Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

ΠžΠŸΠ Π•Π”Π•Π›Π•ΠΠ˜Π• ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° , называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°

Β  Β 

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

Ѐункция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ , Ссли производная сущСствуСт Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.

ЛСвая ΠΈ правая ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Π’Π•ΠžΠ Π•ΠœΠ (О нСпрСрывности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.) Если функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ всСгда Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ: Ссли функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π’Π•ΠžΠ Π•ΠœΠ (О Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌ ΠΈ достаточном условии диффСрСнцируСмости.) Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ функция Π±Ρ‹Π»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° устанавливаСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ сущСствованиС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ – понятия Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡΡ сайт? РасскаТи Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌ!

ru.solverbook.com

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ | ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° | FANDOM powered by Wikia

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΜΠ΄Π½Π°Ρ β€” основноС понятиС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈ стрСмлСнии приращСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ссли Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» сущСствуСт. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ называСтся

диффСрСнци́рованиСм.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° a ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

    1. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $ x_0 \in \mathbb{R} $ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° функция $ f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}. $ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0 $ называСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Ссли ΠΎΠ½ сущСствуСт,
    $ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}. $
    • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0 $ обозначаСтся символами
    $ f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0). $

    Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ $ f'(x_0) $ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0 $, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчной. Ѐункция $ f $ являСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0 $ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Ρ‘ производная Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ сущСствуСт ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π°:

    $ \bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) < \infty\bigr). $

    Для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² $ x_0 $ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ Π² окрСстности $ U(x_0) $ справСдливо прСдставлСниС

    $ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) $
    • Назовём $ \Delta x = x – x_0 $ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° $ \Delta y = f(x_0+\Delta x) – f(x_0) $ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0. $ Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
      $ f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $
    • ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция $ f:(a,b) \to \mathbb{R} $ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0 \in (a,b). $ Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° произво́дная фу́нкция
      $ f’:(a,b) \to \mathbb{R}. $
    • Ѐункция, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΉ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.
    • Если производная функция сама являСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ $ f $ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ нСпрСры́вно диффСрСнци́руСмой ΠΈ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚: $ f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr). $

    ГСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

    ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

    Если функция $ f:U(x_0) \to \mathbb{R} $ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅$ x_0, $ Ρ‚ΠΎ Π² окрСстности $ U(x_0) $ Π΅Ρ‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ

    $ f_l(x) = f_(x_0) + f'(x_0)(x-x_0). $

    Ѐункция $ f_l $ называСтся ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ $ f $ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0. $ Число $ f'(x_0) $ являСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом ΠΈΠ»ΠΈ тангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой.

    Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $ s=s(t) $ β€” Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ прямолинСйного двиТСния. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° $ v(t_0)=s'(t_0) $ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТСния Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ $ t_0. $ Вторая производная $ a(t_0) = s”(t_0) $ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ускорСниС Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ $ t_0. $

    Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ y=f(x) $ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0 $ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x_0 $, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ протСкания процСсса, описанного Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ $ y=f(x). $

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ

    ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ порядка задаётся Ρ€Π΅ΠΊΡƒΡ€Ρ€Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ. ПолагаСм

    $ f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0). $

    Если функция $ f $Β Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² $ x_0 $, Ρ‚ΠΎ производная ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка опрСдСляСтся ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

    $ f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0). $

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ производная $ n $-Π³ΠΎ порядка $ f^{(n)} $ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $ x_0 $ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

    $ f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0). $

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ символами:

    $ f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}. $

    Когда $ n $ ΠΌΠ°Π»ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΈ, римскиС Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

    $ f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),\; f^{(2)}(x_0) = f”(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),\; f^{(3)}(x_0) = f”'(x_0) = f^{III}(x), $ etc.
    • ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $ f(x) = x^2. $ Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
    $ f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 – x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0. $
    • ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $ f(x) = |x|. $ Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ссли $ x_0 \neq 0, $ Ρ‚ΠΎ
    $ f'(x_0) = \operatorname{sgn} x_0, $

    Π³Π΄Π΅ $ \operatorname{sgn} $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π·Π½Π°ΠΊΠ°. Если $ x_0 = 0, $ Ρ‚ΠΎ $ f’_+(x_0) = 1,\; f’_-(x_0) = -1, $ Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ $ f'(x_0) $ Π½Π΅ сущСствуСт.

    Π­Ρ‚Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ содСрТит ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ· ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ русской Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ.

    ru.math.wikia.com

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y (x)


    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Β 

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
    Автор: Administrator

    www-formula.ru

    ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

    Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

    1. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния константы Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ этой константы Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ константа выносится Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

    Β  Β 

    2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ суммы/разности Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС/разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΡ… Π½ΠΈΡ…:

    Β  Β 

    Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ свойство справСдливо ΠΈ для большСго, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π²Π°, числа Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎ свойство линСйности:

    Β  Β 

    3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ:

    Β  Β 

    4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ разности ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ числитСля Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ числитСля Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ знамСнатСля ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° исходного знамСнатСля, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

    Β  Β 

    ΠŸΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡΡ сайт? РасскаТи Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌ!

    ru.solverbook.com

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ e Π² стСпСни x ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ экспонСнты Ρ€Π°Π²Π½Π° самой экспонСнтС (производная e Π² стСпСни x Ρ€Π°Π²Π½Π° e Π² стСпСни x):
    (1) Β  ( e x )β€² = e x.

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм стСпСни a Ρ€Π°Π²Π½Π° самой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚ a:
    (2) Β  .

    Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты, e Π² стСпСни x

    ЭкспонСнта – это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ основаниС стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ числу e, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:
    .
    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (1) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты.

    Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты

    Рассмотрим экспонСнту, e Π² стСпСни x:
    y = e x.
    Π­Ρ‚Π° функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для всСх . НайдСм Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, производная являСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ:
    (3) Β  .

    ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ свСсти Π΅Π³ΠΎ ΠΊ извСстным матСматичСским свойствам ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ. Для этого Π½Π°ΠΌ понадобятся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹:
    А) Бвойство экспонСнты:
    (4) Β  ;
    Π‘) Бвойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:
    (5) Β  ;
    Π’) ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ свойство ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² для Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
    (6) Β  .
    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ – нСкоторая функция, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ сущСствуСт ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ этот ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½.
    Π“) Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°:
    (7) Β  .

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ эти Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΊ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ (3). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ свойство (4):
    ;
    .

    Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ подстановку Β  . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Β  ; .
    Π’ силу нСпрСрывности экспонСнты,
    .
    ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ , . Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:
    .

    Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ подстановку . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° . ΠŸΡ€ΠΈ , . И ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
    .

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ свойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (5):
    . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
    .

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ свойство (6). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ сущСствуСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ:
    .
    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ воспользовались Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ (7). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
    .

    Π’Π΅ΠΌ самым ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (1) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты.

    Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (2) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с основаниСм стСпСни a. ΠœΡ‹ считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция
    (8) Β 
    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для всСх .

    ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (8). Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ свойствами ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
    ;
    .
    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (8) ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ:
    .

    Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. Выносим ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
    .
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
    .
    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

    Π’Π΅ΠΌ самым, ΠΌΡ‹ нашли ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм стСпСни:
    .

    Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ способы Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ извСстна Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°:
    (9) Β  .
    Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ вывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты, учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ экспонСнта являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ.

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (9) Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
    ,
    Π³Π΄Π΅ .
    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ. ПомСняСм мСстами x ΠΈ y:
    (10) Β  ,
    Π³Π΄Π΅ .

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим экспонСнту (e Π² стСпСни x):
    (11) Β  .
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
    (12) Β  .
    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ экспонСнтС являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° (10):
    .
    И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ y Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11):
    .
    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.


    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ экспонСнты, примСняя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ρ‚ΠΎ
    .
    Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x:
    (13) Β  .
    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ икса Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅:
    .
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
    .
    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ . ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Π² (13):
    .
    ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°
    .

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

    Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ e Π² стСпСни 2x, e Π² стСпСни 3x ΠΈ e Π² стСпСни nx. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
    y = e 2x, Β  y = e 3x Β  ΠΈ Β  y = e nx.

    РСшСниС

    Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β  y = e nx. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ подставим n = 2 ΠΈ n = 3. И ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ выраТСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ e 2x, e 3x ΠΈ e nx.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ
    .
    ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:
    1) Β  Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , зависящСй ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ : ;
    2) Β  Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , зависящСй ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ : .
    Π’ΠΎΠ³Π΄Π° исходная функция составлСна ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ :
    .

    НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x:
    .
    НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ :
    .
    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
    .
    Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ подставили .

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ нашли:
    .
    ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ n = 2 ΠΈ n = 3.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

    ; Β  ; Β  .

    Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅
    ВсС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ >Β >Β >

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков ΠΎΡ‚ e Π² стСпСни x

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° рассмотрим экспонСнту:
    (14) Β  .
    ΠœΡ‹ нашли Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка:
    (1) Β  .

    ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (14) Ρ€Π°Π²Π½Π° самой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (14). ДиффСрСнцируя (1), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка:
    ;
    .

    ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная n-Π³ΠΎ порядка Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
    .

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с основаниСм стСпСни a:
    .
    ΠœΡ‹ нашли Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка:
    (15) Β  .

    ДиффСрСнцируя (15), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка:
    ;
    .

    ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ производная n-Π³ΠΎ порядка ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
    .

    Автор: ОлСг ΠžΠ΄ΠΈΠ½Ρ†ΠΎΠ². Β  Β  ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ:

    1cov-edu.ru

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

    ΠžΠŸΠ Π•Π”Π•Π›Π•ΠΠ˜Π• ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ показатСля стСпСни Π½Π° икс Π² стСпСни Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ мСньшС.

    Β  Β 

    ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° справСдлива для любого показатСля стСпСни , Π±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ; ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ число, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ ΠΈ Ρ‚.ΠΏ.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

    ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  1
    Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    Β  Β 

    РСшСниС Искомая производная

    Β  Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности функция Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΈΠ»ΠΈ разности ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

    Β  Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

    Β  Β 

    Для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ константу вынСсСм Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

    Β  Β 

    Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ прСдставим ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ свойству :

    Β  Β 

    Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

    Β  Β 

    Для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ запишСм ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ:

    Β  Β 

    Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

    Β  Β 

    ЗаписываСм Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ корня:

    Β  Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ константы, Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

    Β  Β 

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

    Β  Β 

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
    ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  2
    Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
    РСшСниС Искомая производная

    Β  Β 

    Π”Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ основаниС стСпСни являСтся слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ (отличаСтся ΠΎΡ‚ просто ), Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ основания:

    Β  Β 

    НайдСм ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΡƒΡŽΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎ суммы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…:

    Β  Β 

    Из ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого вынСсСм константу Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° производная ΠΎΡ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ константы, Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

    Β  Β 

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅:

    Β  Β 

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, производная Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

    Β  Β 

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚
    ΠŸΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡΡ сайт? РасскаТи Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌ!

    ru.solverbook.com

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ