Производные функции примеры – Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике – Элементы математического анализа

      Пример 1. Найти производную функции

y = cos 2x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = cos (kx + b)   в случае, когда   = 2,   = 0,   получим

(cos 2x)’ = – 2sin 2x .

      Замечание. Очень часто школьники, а также и студенты, при решении примера 1 пишут:

(cos 2x)’ = – sin 2x .

      Это ошибка !!!

      Перепишем верный ответ еще раз:

(cos 2x)’ = – 2sin 2x .

      Приведем также верные ответы в похожих примерах:

      Пример 2. Найти производную функции

y = sin3x

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда   (x) = sin x ,   а  

= 3,   получим

Ответ:

      Пример 3. Найти производную функции

y = (3x – 7)5 .

      Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   = 3,   = – 7,   а   = 5,   получим

y’ = 15(3x – 7)4 .

Ответ:

      Пример 4 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

,

то исходную функцию можно переписать в виде

      Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда

,

а   = 8,   получим

Ответ:

      Пример 5 . Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 5 для вычисления производной частного двух функций и формулой для производной сложной функции   y = arccos (kx + b)   в случае, когда   = 3,   = 0,   получим

Ответ:

.

      Пример 6. Найти производную функции

      Решение. Воcпользовавшись правилом 4 для вычисления производной произведения двух функций, формулой для производной сложной функции   y = arctg (kx + b)   в случае, когда   = 5,  

= 0, и формулой для производной сложной функции   y = akx + b   в случае, когда   = 3,   = 2,   = 0,   получим

Ответ:

      Пример 7 . Найти производную функции

      Решение. Поскольку

то, воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = e f (x)   в случае, когда   , и формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   с = – 1,   = 7,   = – 1,  получим

Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Производные функций – Как найти производную Примеры решений

Навигация по странице:
  • Производная степенно

  • Сложные производные

  • Логарифмическая производная

  • Производная степенно-показательной функции Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от

  • Производная функции, заданной неявно

  • Функция одной переменной

  • 1   2   3   4   5   6   7   8 ! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь. Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
    Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие –

    вместо правила применяем правило Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал После изучения третьего урока выбудете очень уверенно себя чувствовать входе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки, то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных. Желаю успехов!

    Ответы:
    Пример 2: Пример 4:
    Указание перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак
    .
    Пример 7: Пример 9: Пример 11: Пример 13:

    Сложные производные. Логарифмическая производная.
    Производная степенно-
    показательной функции Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной. Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную Примеры решений, которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции, понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Выбудете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции Куда еще Да итак хватит, поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.
    Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. Входе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими кандидатами для этого являются производные простейших из сложных функций, например По правилу дифференцирования сложной функции При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил Чему равна производная тангенса двух икс. На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения.
    Пример Найти следующие производные устно, водно действие, например. Для выполнения задания нужно использовать только таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась. Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,


    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    , Ответы в конце урока
    Сложные производные

    После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается, то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой. Пример Найти производную функции Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный прим берем подопытное значение икс, например, и пробуем мысленно или на черновике) подставить данное значение в страшное выражение) Сначала нам нужно вычислить выражение
    , значит, сумма
    – самое глубокое вложение) Затем необходимо вычислить логарифм
    3) Далее косинус


    4) Потом косинус возвестив куб
    5) На пятом шагу разность
    6) И, наконец, самая внешняя функция – это квадратный корень:
    Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней. Решаем:
    Вроде без ошибок) Берем производную от квадратного корня) Берем производную от разности, используя правило) Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба
    (4) Берем производную от косинуса) Берем производную от логарифма) И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения
    Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова ивы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает. Следующий пример для самостоятельного решения. Пример Найти производную функции Подсказка Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения
    Полное решение и ответ в конце урока.
    Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
    Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?
    Пример Найти производную функции Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Нов рассматриваемом примере все функции разные степень,

    экспонента и логарифм.
    В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения
    два раза
    Фокус состоит в том, что за умы обозначим произведение двух функций
    , аза «вэ» – логарифм
    . Почему так можно сделать А разве
    – это не произведение двух множителей и правило не работает Ничего сложного нет:
    Теперь осталось второй раз применить правило к скобке Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, нов данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.

    Готово.
    Рассмотренный пример можно решить вторым способом:
    Оба способа решения абсолютно равноценны.
    Пример 5

    Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.
    Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.
    Пример Найти производную функции Здесь можно пойти несколькими путями:
    или так:
    Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного
    , приняв завесь числитель В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от
    трёхэтажности дроби:
    Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят довести до ума производную.
    Более простой пример для самостоятельного решения
    Пример Найти производную функции Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен страшный логарифм
    Пример Найти производную функции Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:
    Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от дробной степени , а потом ещё и от дроби Поэтому перед тем как брать производную от навороченного логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства


    ! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда. Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.
    Само решение можно оформить примерно так:
    Преобразуем функцию:
    Находим производную:
    Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно
    «развалить».
    А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:
    Пример Найти производную функции Пример Найти производную функции

    Все преобразования и ответы в конце урока.
    Логарифмическая производная
    Если производная от логарифмов – это такая сладкая музыка, то возникает вопроса нельзя ли в некоторых случаях организовать логарифм искусственно Можно И даже нужно.
    Пример Найти производную функции Похожие примеры мы недавно рассмотрели. Что делать Можно последовательно применить правило дифференцирования частного, а потом правило дифференцирования произведения. Недостаток способа состоит в том, что получится огромная трехэтажная дробь, с которой совсем не хочется иметь дела.
    Но в теории и практике есть такая замечательная вещь, как логарифмическая производная. Логарифмы можно организовать искусственно, навесив их на обе части:
    Теперь нужно максимально развалить логарифм правой части формулы перед глазами. Я распишу этот процесс очень подробно

    Собственно приступаем к дифференцированию. Заключаем под штрих обе части:
    Производная правой части достаточно простая, её я комментировать не буду, поскольку если вычитаете этот текст, то должны уверенно с ней справиться.
    Как быть с левой частью?
    В левой части у нас сложная функция. Предвижу вопрос Почему, там же одна буковка игрек под логарифмом. Дело в том, что эта одна буковка игрек – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (если не очень понятно, обратитесь к статье Производная от функции, заданной неявно. Поэтому логарифм это внешняя функция, а игрек – внутренняя функция. И мы используем правило дифференцирования сложной функции
    :
    В левой части как по мановению волшебной палочки у нас
    «нарисовалась» производная . Далее по правилу пропорции перекидываем игрек из знаменателя левой части наверх правой части:
    А теперь вспоминаем, о каком таком «игреке»-функции мы

    рассуждали при дифференцировании Смотрим на условие:
    Окончательный ответ:
    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения. Образец оформления примера данного типа в конце урока.
    С помощью логарифмической производной можно было решить любой из примеров №№4-7, другое дело, что там функции проще, и, может быть, использование логарифмической производной не слишком-то и оправдано.
    Производная степенно-показательной
    функции
    Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от
    «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:
    Как найти производную от степенно-показательной функции Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:
    Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:
    В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле
    Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:
    Дальнейшие действия несложны:
    Окончательно: Если какое-то преобразование не совсем понятно, пожалуйста, внимательно перечитайте объяснения Примера В практических заданиях степенно-показательная функция всегда будет сложнее, чем рассмотренный лекционный пример.
    Пример Найти производную функции Используем логарифмическую производную

    В правой части у нас константа и произведение двух множителей – икса и логарифма логарифма икс (под логарифм вложен еще один логарифм. При дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак производной, чтобы она не мешалась под ногами и, конечно, применяем знакомое правило
    : Как видите, алгоритм применения логарифмической производной не содержит в себе каких-то особых хитростей или уловок, и нахождение производной степенно-показательной функции обычно не связано с
    «мучениями».
    Заключительные два примера предназначены для самостоятельного решения.
    Пример Найти производную функции Пример Найти производную функции Образцы решения и оформления совсем близко.
    Не такое и сложное это дифференциальное исчисление
    Желаю успехов Решения и ответы:
    Пример 1:


    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    , Пример 3:

    Пример 5: Примечание перед дифференцированием можно было раскрыть скобки
    и использовать правило
    один раз.
    Пример 7:

    Пример 9: Сначала преобразуем функцию. Используем свойства
    логарифмов:
    Найдем производную. Используем правило дифференцирования сложной функции:
    Пример 10: Сначала преобразуем функцию:
    Найдем производную:
    Пример 12: Используем логарифмическую производную. Преобразуем функцию Находим производную:
    Пример 14: Используем логарифмическую производную:
    Пример 15: Используем логарифмическую производную

    Производная функции, заданной
    неявно.
    Производная параметрически заданной функции В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках Как найти производную Примеры решений и Производная сложной функции. Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали.
    Производная функции, заданной неявно
    Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция Давайте сначала вспомним самоопределение функции одной переменной:
    Функция одной переменной
    это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции Переменная называется независимой переменной или
    аргументом.
    Переменная называется зависимой переменной или функцией.
    До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что

    это значит Устроим разбор полётов на конкретных примерах. Рассмотрим функцию Мы видим, что слева у нас одинокий игрека справа – только иксы. То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную Рассмотрим другую функцию Здесь переменные и расположены вперемешку. Причем никакими способами невозможно выразить игрек только через икс. Что это за способы Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить игрек в явном виде
    . Можно крутить-вертеть уравнение часами, ноу вас этого не получится.
    Разрешите познакомить
    – пример неявной
    функции.
    В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда, у неё есть график (точно также, как и у нормальной функции. У неявной функции точно также существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.
    И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница водном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.
    Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня

    перед тремя дорожками.
    Пример Найти производную от функции, заданной неявно) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную Примеры решений) Непосредственное дифференцирование. Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?
    – просто до безобразия, производная от функции равна её производной Как дифференцировать Здесь у нас сложная функция. Почему Вроде бы под синусом всего одна буква игрек. Но, дело в том, что всего одна буква игрек – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение вначале урока. Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции Произведение дифференцируем по обычному правилу Обратите внимание, что
    – тоже сложная функция, любой

    игрек с наворотами – сложная функция:
    Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
    Если есть скобки, то раскрываем их) В левой части собираем слагаемые, в которых есть игрек со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное) В левой части выносим производную за скобки) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
    Производная найдена. Готово.
    Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так. И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы функция, заданная в неявном виде и неявная функция отличаются одним смысловым нюансом. Фраза функция, заданная в неявном виде более общая и корректная,
    – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить игрек и представить функцию в явном виде.

    Под фразой неявная функция понимают классическую неявную функцию, когда игрек выразить нельзя.
    Второй способ решения
    Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.
    Найдем производную неявной функции вторым способом.
    Переносим все слагаемые в левую часть:
    И рассматриваем функцию двух переменных:
    Тогда нашу производную можно найти по формуле Найдем частные производные:
    Таким образом:
    Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему Производная функции одной переменной, знать частные

    производные как бы еще не должен.
    Рассмотрим еще несколько примеров.
    Пример Найти производную от функции, заданной неявно
    Навешиваем штрихи на обе части:
    Используем правила линейности:
    Находим производные:
    Раскрываем все скобки:
    Переносим все слагаемые св левую часть, остальные – в правую часть:
    В левой части выносим за скобку:
    Окончательный ответ:
    Пример 3

    Найти производную от функции, заданной неявно Полное решение и образец оформления в конце урока.
    Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.
    Пример Найти производную от функции, заданной неявно Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:
    Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного
    :
    Раскрываем скобки Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится Умножаем каждое слагаемое каждой части на
    . Если подробно, то выглядеть это будет так:
    Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например,
    , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на
    Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть игрек штрих собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное:
    В левой части выносим за скобку:
    Окончательный ответ:
    Пример Найти производную от функции, заданной неявно Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нм, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет

    избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.
    О том, как найти производную го, го и более высоких порядков от неявно заданной функции, читайте в статье Производные высших

    1   2   3   4   5   6   7   8

    topuch.ru

    Производная Пример Найти производную функции Решение

    Тема: Производная Пример Найти производную функции Решение – страница №1/1


    Тема: Производная

    Пример 1. Найти производную функции

    Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По перечисленным правилам:

    Пример 2. Найти производную функции

    Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По перечисленным правилам:

    Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

    Пример 3. Найти производную функции

    .

    Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных – под номером 3), получим

    .

    Пример 4. Найти производную функции

    Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

    Пример 5. Найти производную функции

    Решение. Применим правило дифференцирования частного:

    Затем, так же как и выше, вычислим производные в числителе. Имеем

    Пример 6.Найти производную функции

    Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

    Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных – номер 5):

    Шаг3. В частном знаменатель – также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

    и далее дифференцируем частное:

    Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

    искомая производная:

    Пример 7. Найти производную функции

    Шаг 1. Применим правило дифференцирования произведения:

    Шаг 2. Найдём производную частного, помня, что производная константы равна нулю, а корень из константы является также константой:

    Шаг 3. Находим производную арктангенса (формула 12 в таблице производных):

    Искомая производная:

    Производная сложной функции.

    Формула: 


    Её все равно никто не понимает, формулу эту, поэтому примеры:
    Пример 9:
    Вычислить производную функции 
    Решение:

    Пояснение: требуется вычислить производную функции синус от какого–то аргумента. Производная синуса равна косинусу. От того же аргумента (в данном случае это  ). И умножим на производную аргумента.
    Можно даже сформулировать некое правило вычисления производной сложной функции
    «Идти от наружной функции к внутренней».

    Пример 10.
    Вычислить производную функции 
    Решение:


    Применим это, не забыв умножить на производную функции, стоящей внутри корня.]


    Пример 11. Вычислить производную функции .

    Решение. Производная постоянной величины равна нулю.

     

    Пример 12. Найти производную функции .

    Решение. По правилу суммы  Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем

    Практическая работа №3

    Производная функции


    1. Найдите значение , если .

    2. Найдите значение , если f(x)=sin4x-cos4x.

    3. Найдите значение , если f(x)=cos23x .

    4. Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.

    5. Найдите значение , если .

    6. Найдите значение , если .

    7. Найдите значение , если f(x)=(1+sinx)2.

    8. При каком значении параметра а функция  имеет минимум в точке x0=1? (самостоятельно)

    9. Решите уравнение f ‘(x)=0, если .

    10. Найдите наименьшее целое значение функции у = 4х – 5∙2х + 3,25. (самостоятельно)

    11. При каких значениях а функция  убывает на всей числовой прямой? (самостоятельно)

    12. На кривой у = 4х2 – 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3. (самостоятельно)

    polpoz.ru

    Производные функций – Как найти производную Примеры решений

    Навигация по странице:
  • 2) Производная суммы равна сумме производных

  • 5) Производная сложной функции

  • Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней

  •   1   2   3   4   5   6   7   8 Как найти производную?
    Примеры решений
    Как найти производную, как взять производную На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но ив оффлайне. Есть Приступим. У меня для Вас есть две новости хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем чтобы научиться находить производные, совсем необязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тема также некоторого практического опыта. И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.
    Советую следующий порядок изучения темы во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные.
    Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть Производные неявных и параметрически заданных функций.
    Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами. Собственно, сразу рассмотрим пример:
    Пример Найти производную функции Решение Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло А произошла следующая вещь:
    у нас была функция
    , которая в результате решения превратилась в функцию Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция
    , которая
    превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
    Обозначения: Производную обозначают или ВНИМАНИЕ, ВАЖНО Забыть поставить штрих (там, где надо, либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА Функция и её производная – это две разные функции!
    Вернемся к нашей таблице производных. Изданной таблицы желательно запомнить наизусть правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:
    производную константы, где – постоянное число;
    производную степенной функции, в частности
    ,
    , Зачем запоминать Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос Чему равна производная числа, то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни. Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.
    В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
    В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования


    1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной, где – постоянное число (константа)
    Пример Найти производную функции Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, ноу нас
    Решаем:
    Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:
    А теперь превращаем наш косинус по таблице:
    Ну и результат желательно немного причесать – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:
    Готово.
    2) Производная суммы равна сумме производных
    Пример 3

    Найти производную функции Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
    Применяем второе правило:
    Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде
    , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.
    Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной Обычно входе решения эти два правила применяют одновременно чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).
    Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
    Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
    Пример Найти производную функции Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока) Производная произведения функций
    Вроде бы по аналогии напрашивается формула
    …., но неожиданность состоит в том, что:
    Эта необычное правило как, собственно, и другие следует из определения производной. Нос теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:
    Пример Найти производную функции Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
    Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника

    Пример Найти производную функции В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
    Здесь всё также. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
    Теперь для скобки используем два первых правила:
    В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
    Готово.
    При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде необязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что

    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока) Производная частного функций
    В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк. А вот это вот суровая действительность:
    Пример Найти производную функции Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь. С чего бы начать Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
    Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:
    Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь ненужны. Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, нов этом случае они будут путаться под ногами, что загромождает и затрудняет решение.
    Смотрим на наше выражение в скобках. У насесть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:
    Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:
    Штрихов больше нет, задание выполнено. На практике обычно (ноне всегда) ответ упрощают школьными методами Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
    Время от времени встречаются хитрые задачки:
    Пример Найти производную функции Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
    Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется. В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
    Преобразуем функцию Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать простои приятно:
    Готово.
    Пример Найти производную функции Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:
    Произведение все-таки дифференцировать проще:
    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока


    5) Производная сложной функции
    Данное правило также встречается очень часто. Но он м рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.
    Желаю успехов!
    Ответы:
    Пример 4:
    . Входе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и
    – постоянные числа, неважно чему они равны, важно, что это – константы. Поэтому
    выносится за знак производной, а Пример 7: Пример 9: Пример 12:

    Производная сложной функции. Примеры решений
    На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, ноя все-таки постараюсь изложить его простои доступно. На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.
    Смотрим в таблицу направило) дифференцирования сложной функции:
    Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись
    . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
    Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.
    ! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю
    неформальные выражения внешняя функция, внутренняя функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.
    Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:
    Пример Найти производную функции Под синусом у нас находится непросто буква икса целое выражение
    , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что разрывать на части синус нельзя В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция
    – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением, а
    – внешней функцией.
    Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.
    В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен
    . А как же быть, если всё не очевидно Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.
    Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при
    (вместо единицы может быть любое число).
    Что мы вычислим в первую очередь В первую очередь нужно будет
    выполнить следующее действие
    , поэтому многочлен и будет внутренней функцией Во вторую очередь нужно будет найти
    , поэтому синус – будет внешней функцией:
    После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции Начинаем решать. Из урока Как найти производную мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:
    Сначала находим производную внешней функции
    (синуса, смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем,
    что
    . Все табличные формулы применимы ив том, случае, если икс заменить сложным выражением, в данном случае:
    Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем Ну и совершенно очевидно, что Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
    Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
    Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
    Готово
    Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
    Пример Найти производную функции Как всегда записываем:
    Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при
    . Что нужно выполнить в первую очередь В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание


    , значит, многочлен
    – и есть внутренняя функция:
    И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
    Согласно формуле
    , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу
    . Повторяем еще раз любая табличная формула справедлива не только для икс, но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
    Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции
    , внутренняя функция у нас не меняется:
    Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного причесать результат:
    Готово.

    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
    Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?
    Пример а) Найти производную функции б) Найти производную функции Пример Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени
    . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
    Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых

    – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция.
    Применяем правило дифференцирования сложной функции
    :
    Степень снова представляем в виде радикала (корня, а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
    Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).
    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока

    Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного
    , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:
    Пример Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
    Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:
    Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. Используем наше правило Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем

    обратно вниз:
    Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила
    , ответы должны совпасть.
    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
    До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.
    Пример Найти производную функции Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения
    . Как бы мы считали на калькуляторе?
    Сначала нужно найти
    , значит, арксинус – самое глубокое вложение

    Затем этот арксинус единицы следует возвестив квадрат И, наконец, семерку возводим в степень То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинуса самой внешней функцией – показательная функция.
    Начинаем решать
    Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции
    Единственное отличие – вместо иксу нас сложное выражение
    , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
    Под штрихом у нас снова сложная функция Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции

    сначала нужно взять производную от степени:
    Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного причесываем выражение:
    Готово.
    Пример Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
    На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.
    Пример Найти производную функции Сначала используем правило дифференцирования суммы, заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу
    :

    В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило
    :
    Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции
    ,
    . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Выбудете легко находить их устно.
    А пока запишем подробно, согласно правилу
    , получаем:
    Готово.

      1   2   3   4   5   6   7   8

    topuch.ru

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *