Радиус через скорость и ускорение – Центростремительное ускорение — Википедия

Круговое движение — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 ноября 2016; проверки требует 1 правка. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 ноября 2016; проверки требует 1 правка.
О разновидности перекрёстков: см. Круговой перекрёсток.

В физике кругово́е движе́ние — это вращательное движение материальной точки или тела, когда ось вращения в выбранной системе отсчёта неподвижна и не проходит через центр тела. В этом случае траектория точки или тела является кругом, круговой орбитой. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите, камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю, зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма.

Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.

ru.wikipedia.org

Угловая скорость и угловое ускорение

Движение тела (материальной точки) по окружности с постоянной по модулю скоростью — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги окружности. Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором , проведенным из центра ок­ружности (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6 – Движение материальной точки по окружности.

 

Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R. За время Δt тело, двигаясь из точки А в точ­ку B, совершает перемещение Δ , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол Δφ. Угол выражают в радианах.

Скорость движения тела по ок­ружности направлена по касательной к траекто­рии и называется линейной скоростью

. Модуль линейной скорости ра­вен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δt , за который эта дуга пройдена:

 

(1.13)

Отношение угла по­ворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:

 

(1.14)

 

Угловая скорость является скалярной физической величиной и в системе СИ выражается в радианах в секунду .

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω = const; υ = const.

Определить положение тела можно, если известен модуль радиуса-вектора и угол φ, который он составляет с осью ОХ (угловая координата).

Пусть в начальный момент времени t

0 = 0 угловая координата равна φ0, а в момент времени t она равна φ, тогда угол поворота Δφ радиуса-вектора за время Δt = t – t0 = t равен Δφ = φ – φ0.

Тогда из последнего выражения мож­но получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

1.15)

Данное уравнение позволяет определить положение тела в любой момент времени t.

Учитывая, что из геометрических соображений Δφ = получаем:

(1.16)

 

Формула (2,6) отражает связь между линейной и угловой скоростью.

Введем еще две характеристики движения материальной точки по окружности: период вращения Т ичастоту вращения ν.

Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один пол­ный оборот, называется периодом вращения:

 

(1.17)

где N — число оборотов, совершенных телом за время Δt.

За время Δt = Т тело проходит путь l = R. Следовательно,

 

(1.18)

 

Величина ν, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совер­шает тело за единицу времени, называется частотой вращения:

 

(1.19)

Следовательно,

(1.20)

При равномерном вращении по окружности модуль скорости движе­ния тела не изменяется по величине, но направление скорости изменяется непрерыв­но. Следовательно, данное движение происходит с ускорением, которое ха­рактеризует быстроту изменения скорости по направлению и называется центростремительным.

Центростремительное ускорение – ускорение тела при его равномерном движении по окружности. Оно направлено всегда к центру окружности, т. е. перпендикулярно мгновенной скорости. Величина центростремительного ускорения находится по формуле

 

. (1.21)

Используя связь между кинематическими характеристиками при равномерном движении тела по окружности, можно получить удобные соотношения для расчета центростремительного ускорения

 

. (1.22)

 

Из двух последних соотношений видно, что в общем случае нельзя однозначно ответить на вопрос: как зависит центростремительное ускорение от радиуса окружности. Все зависит от конкретных условий. Так, например, при движении с постоянной линейной скоростью зависимость обратно пропорциональная, а при движении с постоянной угловой скоростью (частотой или периодом) — прямо пропорциональная.

 


Похожие статьи:

poznayka.org

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора d

равен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор d (рис. 7). Размерность угловой скорости dim=T-1, a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

При этом модуль векторного произведе­ния, по определению, равен

, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R.

Если =const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся

частотой вращения:

Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор

13

 сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость

v, тангенциальное ускорение а, нор­мальное ускорение аn) и угловыми величи­нами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается сле­дующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)

где 0 — начальная угловая скорость.

Контрольные вопросы

• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

• Что такое система отсчета?

• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути,

пройденному точкой?

• Какое движение называется поступательным? вращательным?

• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости

и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая

ускорения? Каковы их модули?

• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное

ускорение? Приведите примеры.

• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?

• Какова связь между линейными и угловыми величинами?

Задачи

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = Att2+Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с

3). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение <а> тела за этот промежуток времени. [ 1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к гори­зонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением  = 2At+5Вt4 (A=2 рад/с2 и B=1 рад/с5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделан­ных колесом за это время. [а = 8,5 м/с2; N = 0,48]

14

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса r=4 м, задается уравнением аn+-Bt+Ct2 (A=1 м/с2, В=6 м/с3, С=3 м/с4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с. [ 1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2; 2) 360]

1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением =A+Bt+Ct2+Dt3 (B = l рад/с, С=1 рад/с2, D=l рад/с3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]

studfiles.net

Равномерное движение по окружности | Физика для всех

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (ar = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение (нормальное ускорение) an или аЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

aЦС=v2 / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

то

360о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958о = 57о18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

aЦС = (4π2R) / T2 = 4π2Rn2

av-mag.ru

Вращательное движение и угловая скорость твердого тела :: SYL.ru

В этой статье речь пойдет о физических величинах, которые характеризуют вращательное движение тела: угловая скорость, угловое перемещение, угловое ускорение, момент сил.

Твердым телом называют совокупность жестко связанных материальных точек. Когда твердое тело производит вращение относительно какой-либо оси, отдельные материальные точки, из которых оно складывается, двигаются по окружностям разных радиусов.

За определенный промежуток времени, например, за которое тело совершит один оборот, отдельные материальные точки, из которых состоит твердое тело, пройдут разные пути, следовательно, отдельные точки будут иметь разные линейные скорости. Описывать вращение твердого тела с помощью линейных скоростей отдельных материальных точек – сложно.

Угловое перемещение

Однако, анализируя движение отдельных материальных точек, можно установить, что за одинаковый промежуток времени все они поворачиваются вокруг оси на одинаковый угол. То есть для описания вращения твердого тела удобно пользоваться такой физической величиной, как угловое перемещение:

φ = φ(t).

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательное движение можно охарактеризовать угловой скоростью: ω = ∆φ/∆t.

Угловая скорость характеризует скорость вращения тела и равняется отношению изменения угла поворота ко времени, за которое оно произошло. Измеряется в радианах за секунду: [ω] = рад/с.

Угловая скорость вращения связана с линейной скоростью следующим соотношением: v = Rω, где R – радиус окружности, по которой двигается тело.

Вращательное движение тела характеризуется еще одной физической величиной – угловым ускорением, которое равно отношению изменения угловой скорости ко времени, за которое оно произошло: ε = ∆ω/∆t. Единица измерения углового ускорения: [ε] = рад/с2.

Угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, направление которых зависит от направления вращения. Его можно определить по правилу правого винта.

Равномерное вращательное движение

Равномерное вращательное движение осуществляется с постоянной угловой скоростью и описывается такими уравнениями: ε = 0, ω = const, φ = φ0 + ωt, где φ0 – начальное значение угла поворота.

Равноускоренное вращательное движение

Равноускоренное вращательное движение происходит с постоянным угловым ускорением и описывается такими уравнениями: ε = const, ω = ω0+ εt, φ = φ0 + ω0t + εt2/2.

Во время вращения твердого тела центростремительное ускорение каждой точки этого тела можно найти так: ɑц= v2/R = (ωR)2/R = ω2R.

Когда вращение твердого тела ускоренное, можно найти тангенциальное ускорение его точек по формуле: ɑt= ∆v/∆t= ∆(ωR)/∆t= R(∆ω/∆t) = Rε.

Момент сил

Если, рассматривая физическую проблему, мы имеем дело не с материальной точкой, а с твердым телом, то действие нескольких сил на него, приложенных к различным точкам этого тела, нельзя свести к действию одной силы. В этом случае рассматривают момент сил.

Моментом силы называют произведение силы на плечо. Это векторная величина, и ее находят по формуле: M = RFsinα, где α – угол между векторами R и F. Если на тело действует несколько моментов сил, то их действие можно заменить их равнодействующей, векторной суммой этих моментов: M = M1 + M2 + …+ Mn.

Эксперименты и опыт показывают, что под действием момента силы угловая скорость тела меняется, то есть тело имеет угловое ускорение. Выясним, как зависит угловое ускорение материальной точки (совокупности материальных точек) от приложенного момента сил: F = mɑ, RF = Rma = R2mβ, β= M/mR2 = M/I, где I = mR2 – момент инерции материальной точки. Заметим, что момент инерции тела имеет зависимость как от массы тела, так и от расположения этой массы относительно оси вращения.

Примеры решения задач

Задача 1. Ротор центрифуги делает 2•104 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.

Решение

Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω0– εt.

Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω0/t = 2πn/t.

Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с), получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с2).

Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ0 + ω0t + εt2/2. Учитывая выражение для углового ускорения и то, что φ0 = 0, находим: φ(t)= ω0t/2 = πnt.

Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8•104 (об.).

Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с2; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8•104 об.

Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.

Решение

Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.

Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR2 = F/mR.

Найдем время, за которое диск остановится: t = ω0, где ω0 – начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.

Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28•2•1•0,2/10 = 2,5 (с).

Ответ: время остановки равно 2,5 с.

www.syl.ru

Угловая и линейная скорости, формулы и примеры

В системе СИ угловая скорость измеряется в рад/с.

Основные характеристики и формулы

Так как за период угловое перемещение рад, угловая скорость связана с периодом и частотой вращения:

   

   

Рис.1. Линейное и угловое перемещение при равномерном движении точки по окружности

Наряду с понятием угловой скорости для характеристики равномерного движения по окружности сохраняет смысл привычное для нас понятие скорости движения точки вдоль траектории, которое в данном случае называется линейной скоростью.

Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности к промежутку времени, за который эта дуга пройдена.

Линейная скорость тела, которое движется по окружности, не изменяется по модулю, а все время изменяется по направлению, и в любой точке траектории направлена по касательной к дуге этой окружности (рис.1).

Угловая и линейная скорости связаны между собой соотношением:

   

где радиус окружности.

Кинематическое уравнение или закон движения точки по окружности:

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости . Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (ar = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение (нормальное ускорение) an или аЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

aЦС=v2 / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

то

360о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958о = 57о18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

aЦС = (4π2R) / T2 = 4π2Rn2


av-physics.narod.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о