Решение ду 2 порядка онлайн – Решение дифференциальных уравнений | Онлайн калькулятор

Линейные неоднородные ДУ второго порядка

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка

Соответствующее ему однородное уравнение:

   

Решение дифференциальные уравнения второго порядка

Решение уравнения (2) ищется в виде:

   

После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение

   

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).

В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:

1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

   

2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

   

3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

   

Примеры решения задач

К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных или метод Лагранжа

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

   

Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:

   

То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:

   

Искомые функции и находятся из системы

   

Определитель этой системы

   

называется определителем Вронского.

Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:

   

Интегрируя последние равенства, получаем:

   

Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:

   

или, после упрощения

   

Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):

   

   

то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.

1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:

   

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:

   

Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).

ru.solverbook.com

Уравнения, допускающие понижение порядка — Решение дифференциальных уравнений

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

421. Решить уравнение: x2y» = y’2.

422. Решить уравнение: 2xy’y» = y’2 — 1.

423. Решить уравнение: y3y» = 1.

424. Решить уравнение: y’2 + 2yy» = 0.

425. Решить уравнение: y» = 2yy’.

426. Решить уравнение: yy» + 1 = y’2.

427. Решить уравнение: y»(ex + 1) + y’ = 0.

428. Решить уравнение: y»’ = y»2.

429. Решить уравнение: yy» = y’2 — y’3.

430. Решить уравнение: y»’ = 2(y» — 1) ctg x.

432. Решить уравнение: y»3 + xy» = 2y’.

433. Решить уравнение: y»2 + y’ = xy».

434. Решить уравнение: y» + y’2 = 2e-y.

435. Решить уравнение: xy»’ = y» — xy».

436. Решить уравнение: y»2 = y’2 + 1.

438. Решить уравнение: y» — xy»’ + y»’3 = 0.

439. Решить уравнение: 2y'(y» + 2) = xy»2.

441. Решить уравнение: y’2 = (3y — 2y’)y».

442. Решить уравнение: y»(2y’ + x) = 1.

443. Решить уравнение: y»2 — 2y’y»’ + 1 = 0.

444. Решить уравнение: (1 -x2)y» + xy’ = 2.

445. Решить уравнение: yy» — 2yy’ ln y = y’2.

446. Решить уравнение: (y’ + 2y)y» = y’2.

447. Решить уравнение: xy» = y’ + x sin(y’/x).

448. Решить уравнение: y»’y’2 = y»3.

449. Решить уравнение: yy» + y = y’2.

450. Решить уравнение: xy» = y’ + x(y’2 + x2).

452. Решить дифференциальное уравнение, воспользовавшись формулой, сводящей многократное интегрирование к однократному.
xy» = sin x.

455. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
yy»’ + 3y’y» = 0.

456. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
y’y»’ = 2y»2.

457. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
yy» = y'(y’ + 1).

458. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
5y»’2 — 3y»yIV = 0.

459. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
yy» + y’2 = 1.

460. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
y» = xy’ + y + 1.

461. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
xy» = 2yy’ — y’.

462. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
xy» — y’ = x2yy’.

463. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
xyy» — xy’2 = yy’.

464. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
yy» = y’2 + 15y2 sqrt(x).

465. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
(x2 + 1)(y’2 — yy») = xyy’.

466. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
xyy» + xy’2 = 2yy’.

467. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2yy» = (y — xy’)2.

468. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y» + y’/x + y/x2 = y’2/y.

469. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y(xy» + y’) = xy’2(1 — x).

470. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2yy» + y’2 = 0.

471. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2(y’2 — 2yy») = y2.

472. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
xyy» = y'(y + y’).

473. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
4x2y3y» = x2 — y4.

474. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x3y» = (y — xy’)(y — xy’ — x).

475. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y2/x2 + y’2 = 3xy» + 2yy’/x.

476. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y» = (2xy — 5/x)y’ + 4y2 — 4y/x2.

477. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2(2yy» — y’2) = 1 — 2xyy’.

478. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2(yy» — y’2) + xyy’ = (2xy’ — 3y)x3/2.

479. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x4(y’2 — 2yy») = 4x3yy’ + 1.

480. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
yy’ + xyy» — xy’2 = x3.

482. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка.
2 — y’y»’ = (y’/x)2.

487. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка.
y2(y’y»’ — 2y»2) = y’4.

500. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка.
x2(y2y»’ — y’3) = 2y2y’ — 3xyy’2

501. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
yy» = 2xy’2; y(2) = 2, y'(2) = 0,5.

502. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
2y»’ — 3y’2 = 0; y(0) = -3, y'(0) = 1, y»(0) = -1.

503. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
x2y» — 3xy’ = 6y2/x2 — 4y; y(1) = 1, y'(1) = 4.

505. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
y» cos y + y’2 sin y = y’; y(-1) = π/6, y'(-1) = 2.

507. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.

508. Определить форму равновесия нерастяжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи…

509. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием ее веса.

510. Доказать, что уравнение движения маятника у» + sin у = 0 имеет частное решение y(x), стремящееся к π при x → +∞.

xn--e1avkt.xn--p1ai

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть содержит синус и косинус.

Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

   

Составим для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение и решим его:

   

Корни k1 и k2 — действительные числа, причем k1≠k2, поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения есть

   

   

   

Поскольку a±bi=0±1i=±i не является корнем характеристического уравнения, это — случай IIa.

   

то есть P и Q — многочлены нулевой степени. Значит, S и T — тоже многочлены нулевой степени, T=A, S=B,

   

Теперь находим первую и вторую производные от Y, подставляем получившиеся выражения в условие и ищем неопределенные коэффициенты A и B:

   

   

   

   

Теперь приравниваем коэффициенты при sin x и при cos x: 

   

Умножив 1-е уравнение системы на 11, второе на 3 и сложив их, получаем: -130A=20. Отсюда A=-2/13. Подставив в 1-е уравнение полученное значение, находим B: B=(1-22/13)/3=-3/13. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения есть

   

А значит, общее решение данного неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами есть

   

   

Составляем и решаем характеристическое уравнение однородного ДУ:

   

k1 и k2- действительные числа, k1≠k2, поэтому общее решение ЛОДУ есть

   

   

a±bi=0±i=±i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=0, Q(x)=2x, то есть максимальная из степеней P и Q — первая. Значит, S и T — многочлены 1-й степени. Поэтому частное решение ЛНДУ второго порядка в этом случае будем искать как

   

где A, B, C, D — неопределенные коэффициенты. Находит первую и вторую производные частного решения Y и подставляем их в условие.

   

   

   

   

   

   

Теперь подставляем:

   

   

   

   

   

Приравниваем коэффициенты при  cos x, sin x, xsin x и xcos x:

   

Откуда C=0, A=-1, B=0, D=A=-1. Таким образом, в этом случае частное решение ЛНДУ второго порядка есть

   

Так как общее решение дифференциальных уравнений второго порядка  есть сумма решений yo и Y, то

   

Примеры для самопроверки.

Решить линейные неоднородные  дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

   

   

Показать решение

   

   

k1 и k2 действительные числа,k1≠k2, поэтому 

   

   

то есть a=0, b=4. a±bi=4i не является корнем характеристического уравнения, P(x)=-65, Q(x)=0, поэтому S и T — тоже многочлены нулевой степени. Значит, частное решение ЛНДУ  второго порядка в данном случае ищем в виде 

   

   

   

Подставляем в условие:

   

   

После упрощения получаем:

   

Приравниваем соответствующие коэффициенты: 

   

Отсюда A=8B, B=1/4, A=2. Отсюда получаем частное решение данного ДУ второго порядка: 

   

Значит, общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в этом случае есть 

   

   

   

   

   

a=0, b=±1, a±bi — корень характеристического уравнения. P(x)=1, Q(x)=0. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде 

   

   

   

   

   

   

Подставляем в условие найденные выражения для первой и второй производных:

   

   

Отсюда получаем, что 

   

Следовательно, A=1/2, B=0. Таким образом, частное решение неоднородного ДУ  здесь есть 

   

соответственно, общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — 

   

 

 

www.matematika.uznateshe.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где p и q — вещественные числа (постоянные величины), f(x) — непрерывная функция.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения
неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения,
т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: .

Общее решение может найти каждый, кто ознакомился с соответствующим уроком. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Существуют методы решения для случаев, когда функция f(x) в правой части уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию и тригонометрическую функцию.

Последнее тождество возможно лишь при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x:

Т. е. получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных A, B, C. При система даёт единственное решение для A, B, C.

Если же в линейном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициент , то его частное решение следует искать в виде

.

Если же и , то исходное уравнение имеет вид . Оно решается непосредственным двукратным интегрированием.

Аналогично поступают в случаях, когда в линейном неоднородном дифференциальном уравнении функция f(x) является многочленом n-й степени. Если , то частное решение ищут в виде многочлена той же степени. Если же , то частное решение ищут в виде произведения многочлена n-й степени на x. Если и предшествующий ему коэффициент равен нулю, то частное решение ищут в виде и т.д.

Пример 1. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Сначала решаем однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному.
Характеристическое уравнение
имеет действительные и различные корни и (как искать корни квадратного уравнения). Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде , поскольку в правой его части — многочлен второй степени, а . Подстановка функции Y и её производных в данное уравнение приводит к тождеству

или

.

Отсюда для определения коэффициентов A, B, C получаем систему уравнений

Её решения , , .

Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

а его общее решение

.

Пример 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Так как в данном уравнении (отсутствует член с y), а в правой его части — многочлен первой степени, то частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде . Найдя первую и вторую производные функции Y и подставив их в данное уравнение, получим

или

.

Таким образом, для определения коэффициентов A, B получаем систему уравнений

Её решения , .

Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

а его общее решение

.

Но как дискриминант характеристического уравнения, имеющего равные корни. Следовательно, последнее равенство упрощается и принимает вид , откуда и определяется A.

Это тождество возможно, если коэффициенты при и совпадают. Приравнивая их, получим систему уравнений

откуда находим

,

.

Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму рассмотренных типов функций, т. е. , то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о