Вычисление производных сложных функций
⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒
Дифференцирования сложной функции: .
Обратим внимание на запись . Здесь две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Функцию будем называтьвнешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.
! Данные определения «внешняя» функция, «внутренняя» функция являются неформальны и применяются только для того, чтобы легче было понять материал.
Пример 1. Найти производную функции .
Решение.Под синусом находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть сумма, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя.
В данном примере функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а тригонометрическая функция синус – внешней функцией.
Первое, что необходимо сделать при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.
В данном простом примере понятно, что под синус вложен многочлен . В том случае, когда нет очевидности как функция внутренняя, а какая внешняя, можно использовать следующий прием.
Представим, что нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).
Что необходимо вычислить в первую очередь?В первую очередьнужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией . Во вторую очередьнужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией .
После того, как разобралисьс внутренней и внешней функциями применяем правило дифференцирования сложной функции .
Сначаланаходим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением,
Обратите внимание, что внутренняя функция =9x+6 не изменилась.
Очевидно, что
Результат в чистовом оформлении выглядит так:
Далее берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Пример 2.Найти производную функции
Решение.Записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен и есть внутренняя функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция. Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз:
Когда находим производную от внешней функции , внутренняя функция не меняется. Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции.
Пример 3.
Решение.
а)
б) .
Пример 4.Найти производную функции
Решение. Чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции:
Пример 5. Найти производную функции .
Решение. Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: .
Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:
Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
Рекомендуемые страницы:
lektsia.com
Производная степенно показательной функции – примеры вычисления
Степенно-показательная функция – это функция, имеющая вид степенной функции
y = uv,
у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:
u = u(x); v = v(x).
Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.
Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
.
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.
Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле:
(1) .
Производная степенно-показательной функции
Вычисление с помощью логарифмической производной
Найдем производную степенно-показательной функции
(2) ,
где и есть функции от переменной .
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма:
.
Дифференцируем по переменной x:
(3) .
Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения:
;
.
Подставляем в (3):
.
Отсюда
.
Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1) .
Если показатель степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
.
Если основание степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
.
Когда и являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.
Вычисление производной приведением к сложной показательной функции
Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2) ,
представив ее как сложную показательную функцию:
(4) .
Дифференцируем произведение:
.
Применяем правило нахождения производной сложной функции:
.
И мы снова получили формулу (1).
Пример 1
Найти производную следующей функции:
.
Решение
Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1) .
Из таблицы производных находим:
;
.
По формуле производной произведения имеем:
.
Дифференцируем (П1.1):
.
Поскольку
,
то
.
Ответ
.
Пример 2
Найдите производную функции
.
Решение
Логарифмируем исходную функцию:
(П2.1) .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций:
.
Поскольку
,
то
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
Тема: Производная
Урок: Дифференцирование сложной функции. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
Сложнуюфункцию мы уже дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию . Например, . Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.
Начнем с функции
1.
Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.
Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.
Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования
1.
2.
3. . Напомним, что .
Пример.
4. .
Пример.
5.
6.
7.
8. .
Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.
В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.
Найти минимум функции .
Решение.
ОДЗ: .
Найдем производную . Напомним, что , .
Приравняем производную к нулю . Точка – входит в ОДЗ.
Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы монотонности для функции .
Рассмотрим точку и выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точку меняет знак. В данном случае производная меняет знак, значит, – точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то – точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума: . Нарисуем схему (см. рис.2).
Рис.2. Экстремум функции .
На промежутке – функция убывает, на – функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке .
Ответ: .
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№№ 42.2, 42.3 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
interneturok.ru