Решение системы уравнений по формулам крамера – Метод Крамера, примеры решений

Решение системы уравнений по формулам Крамера.

Исходная система уравнений имеет вид:

  1. Из коэффициентов при неизвестных
    составляем главный определитель
    системы:

  2. По правилу Сарруса находим значение
    этого определителя:

=5∙2∙2+3∙6∙1+2∙4∙4-3∙2∙4-2∙6∙2-5∙4∙1=
20+18+32-24-24-20=2≠0

  1. Заменяя столбцы коэффициентов при
    каждом из неизвестных в главном
    определителе системы столбцом свободных
    членов, мы находим соответствующие
    вспомогательные определители системы:

4. В целях рациональности вычисления
находим вспомогательные определители,
применяя теорему Лапласа к первому,
второму, третьему столбцу, соответственно:

4.1

4.2

4.3

  1. По формулам Крамера находим неизвестные:

Решение окончено.

Проверка:

Ответ:ежедневный выпуск продукции
составляет200 шт.изделияS1,150 шт.изделияS2и200 шт.изделияS3.

Задача № 2

Определить, имеет ли матрица Aобратную, и если имеет, то вычислить ее:

Решение

1)Вычисляем определитель матрицыА, применяя теорему Лапласа к первой
строке:

2)Выписываем транспонированную
матрицуАТ:

3)Строим присоединенную матрицу.
Ее элементы представляют собой
алгебраические дополнения соответствующих
элементов транспонированной матрицыАТ.

Выписываем присоединенную матрицу:

4)Находим обратную матрицу по
формуле:

Проверка.Воспользуемся
определением обратной матрицы
:

Задача № 3

В таблице приведены данные об исполнении
баланса. Используя модель Леонтьевамногоотраслевой экономики, вычислить
необходимый объем валового выпуска
каждой отрасли, если конечный выпуск
энергетической отрасли увеличится
вдвое, а машиностроительной в 1,2 раза.

Вариант №1.

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт

Энергетическая

100

160

240

500

Машиностроение

275

40

85

400

Решение

1)Вычисляем коэффициенты прямых
затратaij,
показывающие, какой объем продукцииi-ой отрасли идет на
производство одной единицы продукцииj-ой отрасли:

2)Выписываем столбец валового
выпускаX, столбец
нового конечного выпускаY,
а также матрицу прямых затратА.

3)Вычисляем матрицуEA

4)Вычисляем матрицу полных затратS=(EA)-1.Каждый элементsijэтой матрицы показывает величину
валового выпускаi-ой
отрасли, необходимого для обеспечения
выпуска одной единицы конечного продуктаj-ой отрасли.

4.1.Вычисляем определитель

4.2.Находим транспонированную
матрицу

4.3.Строим присоединенную матрицу:

4.4.Находим обратную матрицу:

5)Вычисляем новый вектор валового
выпуска:

6)Строим новую балансовую таблицу,
предварительно вычисляя недостающие
величины:

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт

Энергетическая

186,4

265,6

480

932

Машиностроение

512,6

66,4

85

664

Проверка:

studfiles.net

Решение системы уравнений по формулам Крамера.

Исходная система уравнений имеет вид:

  1. Из коэффициентов при неизвестных
    составляем главный определитель
    системы:

  2. По правилу Сарруса находим значение
    этого определителя:

=5∙2∙2+3∙6∙1+2∙4∙4-3∙2∙4-2∙6∙2-5∙4∙1=
20+18+32-24-24-20=2≠0

  1. Заменяя столбцы коэффициентов при
    каждом из неизвестных в главном
    определителе системы столбцом свободных
    членов, мы находим соответствующие
    вспомогательные определители системы:

4. В целях рациональности вычисления
находим вспомогательные определители,
применяя теорему Лапласа к первому,
второму, третьему столбцу, соответственно:

4.1

4.2

4.3

  1. По формулам Крамера находим неизвестные:

Решение окончено.

Проверка:

Ответ:ежедневный выпуск продукции
составляет200 шт.изделияS1,150 шт.изделияS2и200 шт.изделияS3.

Задача № 2

Определить, имеет ли матрица Aобратную, и если имеет, то вычислить ее:

Решение

1)Вычисляем определитель матрицыА, применяя теорему Лапласа к первой
строке:

2)Выписываем транспонированную
матрицуАТ:

3)Строим присоединенную матрицу.
Ее элементы представляют собой
алгебраические дополнения соответствующих
элементов транспонированной матрицыАТ.

Выписываем присоединенную матрицу:

4)Находим обратную матрицу по
формуле:

Проверка.Воспользуемся
определением обратной матрицы
:

Задача № 3

В таблице приведены данные об исполнении
баланса. Используя модель Леонтьевамногоотраслевой экономики, вычислить
необходимый объем валового выпуска
каждой отрасли, если конечный выпуск
энергетической отрасли увеличится
вдвое, а машиностроительной в 1,2 раза.

Вариант №1.

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт

Энергетическая

100

160

240

500

Машиностроение

275

40

85

400

Решение

1)Вычисляем коэффициенты прямых
затратaij,
показывающие, какой объем продукцииi-ой отрасли идет на
производство одной единицы продукцииj-ой отрасли:

2)Выписываем столбец валового
выпускаX, столбец
нового конечного выпускаY,
а также матрицу прямых затратА.

3)Вычисляем матрицуEA

4)Вычисляем матрицу полных затратS=(EA)-1.Каждый элементsijэтой матрицы показывает величину
валового выпускаi-ой
отрасли, необходимого для обеспечения
выпуска одной единицы конечного продуктаj-ой отрасли.

4.1.Вычисляем определитель

4.2.Находим транспонированную
матрицу

4.3.Строим присоединенную матрицу:

4.4.Находим обратную матрицу:

5)Вычисляем новый вектор валового
выпуска:

6)Строим новую балансовую таблицу,
предварительно вычисляя недостающие
величины:

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт

Энергетическая

186,4

265,6

480

932

Машиностроение

512,6

66,4

85

664

Проверка:

studfiles.net

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера




Время проведения –2 часа.

Цель работы:научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера;

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие системы линейных уравнений;

2. Совместные и несовместные системы линейных уравнений;

3. Понятие матрицы;

4. Понятие определителя матрицы;

5. Формула определителя второго порядка;

6. Формула определителя третьего порядка;

7. Свойства определителя n-го порядка;

8. Решение систем линейных уравнений методом Крамера;

Содержание работы:

1. Нахождение определителя матрицы;

2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Порядок выполнения задания:

При выполнении первого задания используются формулы для вычисления определителей первого и второго порядка, а также правило разложения определителя n-го порядка по строке или столбцу.

Пусть задана квадратная матрица второго порядка . Определитель этой матрицы (определитель второго порядка) вычисляется следующим образом:

Пример: Вычислить определитель

Решение:

Имеем определитель второго порядка. Используем формулу, указанную выше.

Ответ:

Пусть задана квадратная матрица третьего порядка . Определитель этой матрицы (определитель третьего порядка) вычисляется следующим образом:

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали. Это правило называют правилом треугольников.

Пример: Вычислить определитель

Решение:

Имеем определитель третьего порядка, для его вычисления воспользуемся правилом треугольников:

Ответ:

Для определителей четвертого и более высоких порядков обычно применяют разложение по элементам строки или столбца. Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраическое дополнение (число , где — минор к элементу определителя порядка, то есть определитель порядка, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца). Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули.



Пример: Вычислить определитель

Решение:

Используем формулу разложения по элементам второй строки:

Ответ:

При решении второго задания используется метод Крамера – способ решения квадратных систем линейных уравнений, который основан на следующей теореме Крамера: если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: , где — определитель матрицы системы, — определитель матрицы системы, где вместо столбца стоит столбец правых частей.

Пример: Найдите решение системы линейных уравнений при помощи метода Крамера.

Решение:

Вычисляем определитель матрицы системы по формуле:

Имеем,

Так как , то по Теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель получим из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

Аналогично, определитель получается из определителя матрицы системы путем замены второго столбца столбцом свободных коэффициентов6

Тогда получаем:

Ответ:

Пример: Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение:

Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле:

Имеем,

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно. система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители .

Таким образом,

Ответ:

Пример: Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение:

Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки:

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому для решения системы можно воспользоваться методом Крамера. Найдем .

Аналогично вычисляются:

Таким образом,

Ответ:

 




Практическая работа № 9











infopedia.su

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о