Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – , , .

Определение 7.Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение можно привести к виду , разделив все члены уравнения на произведение .

Например, решить уравнение

Решение. Производная равна , значит

Разделяя переменные, получим:

.

Теперь интегрируем:

Решите дифференциальное уравнение

Решение. Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для разделения переменных этого уравнения в виде и разделим его почленно на произведение . В результате получим или

интегрируя обе части последнего уравнения, получим общее решение

аrcsin y = arcsin x + C

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Подставляя в общее решение начальные условия, получим

; откуда C=0

Следовательно, частное решение имеет вид arc sin y=arc sin x, но синусы равных дуг равны между собой

sin (arcsin y) = sin (arcsin x).

Откуда, по определению арксинуса, следует, что y = x.

Однородные дифференциальные уравнения

Определение 8.Дифференциальное уравнение вида, которое можно привести к виду , называется однородным.

Для интегрирования таких уравнений производят замену переменных, полагая . Эта подстановка приводит к дифференциальному уравнению относительно x и t, в котором переменные разделяются, после чего уравнение можно интегрировать. Для получения окончательного ответа надо переменную t заменить на .

Например,решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение так:

получим:

После сокращения на х² имеем:

Заменим t на :

Вопросы для повторения

1 Какое уравнение называется дифференциальным?

2 Назовите виды дифференциальных уравнений.

3 Рассказать алгоритмы решения всех названных уравнений.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:

Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.

Решение распишу очень подробно:

Упаковка завершена, убираем логарифмы:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.

Третий технический совет:

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора 😉

Ответ: общий интеграл:

Примечание:общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов:

Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно:
1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию.
2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение:Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать практически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что частенько не заморачиваются с индексами, и используют одну и ту же букву . И в результате запись решения принимает следующий вид:

Что за фигня? Тут же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, подразумевается, что при преобразовании константы всё равно получается какая-то другая константа .

Или такой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: . Формально по записи тут опять ошибка, следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что – это всё равно какая-то другая константа (тем более может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
,

Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, ачастный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение

Пример 10

Решить дифференциальное уравнение

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.

Следующая рекомендуемая статья – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Успешного продвижения!

Решения и ответы:

Пример 4:Решение:Найдем общее решение. Разделяем переменные:


Интегрируем:



Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Выражаем функцию в явном виде, используя .
Общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ:частное решение:

Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:

Подставим полученное частное решение и найденную производную в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 6:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:




Ответ:общий интеграл:

Примечание: тут можно получить и общее решение:

Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.

Пример 8:Решение:Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:



Интегрируем:


Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и :

Ответ:Частный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.

Пример 9:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

Таким образом:


(здесь дробь раскладываетсяметодом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)

Обратная замена:



Ответ:общий интеграл:

Пример 10:Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:





Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:



Примечание: Интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата.





Ответ:общее решение:

Примеры: 1. .
При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постояннуюC как ln|C₁|: . Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.
2. Найти решение задачи Коши
Решаем уравнение: . Здесь могут быть потеряны решения постоянная интегрирования записана как . Далее, . Общий интеграл уравнения

y² = C(x² – 1) + 1. Частные решения содержатся в общем интеграле при C = 0, решения утеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной, , то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коши на правую часть уравнения). Всё множество решений: y² = C(x² – 1) + 1, x = 1, x = -1. Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 5. Подстановка значений x = 1, y = 5 в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит. Решение x = 1 удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида ( – постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции z = ax + by+ c, то , и уравнение представляется как . Это – уравнение с разделяющимися переменными.
Пример: .

Рекомендуемые страницы:

poisk-ru.ru

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

6. Однородные дифференциальные уравнения.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

ПРИМЕР Частными решениями дифференциального уравнения являются …

Решение:
Можно проверить каждую из данных функций.
1) Подставим в данное уравнение. Получили тождество, и, значит, является решением данного уравнения.
2) Подставим в данное уравнение. Получили тождество, и, значит, является решением данного уравнения.
3) Подставим в данное уравнение.
Тождество не получилось. Значит, не является решением уравнения.
4) Подставим в данное уравнение. Тождество не получилось. Значит, не является решением уравнения.

1.Общим решением дифференциального уравнения является …

2.Частными решениями дифференциального уравнения

являются … ,

2.Общим решением уравнения является …

3.Частными решениями дифференциального уравнения являются …

4.Частными решениями дифференциального уравнения являются …

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Решение:

Пример1: Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

Решение:
Проинтегрируем обе части уравнения: получим: где − любое число.

Пример 2: Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

Решение:
Так как , то получаем уравнение
Данное уравнение равносильно уравнению
Тогда . Получаем
Ответ можно записать так:

1.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

2.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

3.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

4.Решением (общим интегралом) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является …

Пример1: Общим решением дифференциального уравнения является …

Решение:
Можно три раза проинтегрировать данное уравнение, тогда . Учитывая произвольность , ответ можно записать в виде где – любые числа.

Пример 2: Общим решением дифференциального уравнения является …

Решение:
Можно два раза проинтегрировать данное уравнение, тогда получим:

1.Общим решением дифференциального уравнения является …

megaobuchalka.ru