Решение рядов | Высшая математика
Формулы и уравнения рядов здесь.
Пример. Исследование на сходимость и сумма ряда.
Дано: ряд
Найти: сумму ряда в случае его сходимости.
Решение.
Представим члены ряда в виде суммы двух слагаемых:
Получается, что n-я частичная сумма ряда может быть записана в виде:
Отсюда следует, что .
Ряд сходится. Сумма ряда равна .
Пример. Необходимый признак сходимости рядов.
Дано: ряд
Найти:
Проверить выполнение необходимого признака сходимости рядов.
Решение.
Необходимый признак сходимости рядов заключается в том, что если числовой ряд сходится, то
Как следствие, если ≠ 0, то ряд расходится.
Для данного в задаче числового ряда:
≠ 0. Ряд расходится.
Примеры. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.
Дано: ряды
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Найти:
Исследовать ряды на сходимость.
Решение.
1) Исходя из того, что ≤ при всех n и обобщенный гармонический ряд сходится, следует то, что ряд с меньшими членами сходящийся.
2) Исходя из того, что если выполняются условия: ln n ≥ 0 при n ≥ 1, то ≥ при n ≥ 1.
Обобщенный гармонический ряд расходится, следовательно, ряд с большими членами также расходится.
3) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .
Заданный ряд и ряд ведут себя одинаково, так как .
4) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .
Порядок < 1, поэтому ряд расходится.
5) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда:
при n→∞ ∼ .
Порядок > 1, поэтому ряд сходится.
6) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда:
при n→∞ ∼
Порядок , поэтому ряд расходится.
matematika.electrichelp.ru
РЯДЫ
Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников, Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.
На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды.
Понятие функционального ряда и степенного ряда
Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:
Все члены ряда – этоЧИСЛА.
Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:
В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и других подарковнепременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:
Как видите, все члены функционального ряда – этофункции.
Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.
Определение:
Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входятцелые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так:, где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие
Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях. Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: или, где– константа. Например:
Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда ,илине совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:
Или такой степенной ряд:
Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.
Сходимость степенного ряда.
Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.
Прошу любить и жаловать степенной ряд .
Переменная может приниматьлюбое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если , тоЕсли, тоЕсли, тоЕсли, тоИ так далее.
Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача
Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервалаи подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получаетсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называетсяинтервалом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
Геометрически ситуация выглядит так:
В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:
Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:
>
Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:
А что будет происходить на концах интервала ? В точках,степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:
– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда
– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал: или.
– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок:
Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.
С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:
2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся
3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке. В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю:. Если ряд имеет вид, то он будет сходиться в единственной точке, если ряд имеет вид, то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой:.
Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что
Исследование степенного ряда на сходимость
После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.
Пример 1
Найти область сходимости степенного ряда
Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.
На
первом этапе находим интервал сходимости
ряда. Почти всегда необходимо использовать
признак Даламбера и находить предел .
Технология применения признака Даламбера
точно такая же, как и для числовых рядов,
с ней можно ознакомиться на уроке
Итак, решаем наш предел:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.
(4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.
Кстати, почему можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.
(5) Устраняем неопределенность стандартным способом.
После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.
Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при» (значокв математике обозначает принадлежность).
Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или прилибо»). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.
Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.
В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:
В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.
Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции, но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Половина пути позади.
На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.
Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд:
При
Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).
Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся. 2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость: – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.
Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд:
При – сходится.
Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала.
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда:
Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если
Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .
Пример 2
Найти область сходимости степенного ряда
Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:
И раскрываем неравенство с модулем по правилу :– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала. 1) При
Обратите внимание, что при подстановке значения в степенной ряду нас сократилась степень. Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.
Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.
Используем признак Лейбница. – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: Ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Сравним данный ряд с расходящимся рядом. Используем предельный признак сравнения:Получено конечное число, отличное от нуля, значит, рядрасходится вместе с рядом.
Таким образом, ряд сходится только условно.
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . Приряд сходится только условно.
В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной рядсходится абсолютно (см. предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось –сходится только условно.
Пример 3
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Это пример для самостоятельного решения.
Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.
Пример 4
Найти область сходимости ряда:
Решение: Найдем
интервал сходимости данного ряда.
Используем признак Даламбера: 
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Кубы ипо правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень, т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на. Факториалы расписываем подробно.
(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множительвыносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, чтопринимает неотрицательные значения при любом «икс».
В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:
Ответ: Ряд сходится при
А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!
Пример 5
Найти область сходимости ряда
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны 😉 Полное решение ответ в конце урока.
Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.
Пример 6
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении пределамы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».
Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:
Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5: Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:
В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) Подставляем значение в наш степенной ряд:
Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн». Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.
Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель. Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.
Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.
Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на.Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Исследуем второй конец интервала сходимости. При
Используем признак Лейбница: – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится
Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку – расходится (по доказанному).
Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда, приряд сходится только условно.
studfiles.net
Ряды | Высшая математика
Примеры решения рядов здесь.
Числовые ряды
Факториал и двойные факториалы:
— формула Стирлинга.
Геометрическая прогрессия:
|q|<1.
Основные определения и теоремы о рядах:
{un} — заданная бесконечная числовая последовательность,
— числовой ряд,
un — члены ряда,
– частичные суммы ряда.
Сумма ряда:
сходится, S — сумма ряда.
или ряд сходится и суммы нет.
Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (но влияет на сумму).
Свойства сходящихся рядов:
- Теоремы сравнения рядов с положительными членами:
- ≤
Если сходится, то сходится;
если расходится, то расходится. - vn ≠ 0, 0 < k < ∞.
Либо и , и сходятся,
либо и , и расходятся.
≥ 0, ≥ 0.
- Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами (un > 0)
- Признак Даламбера
Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0. - Признак Коши
Если существует , то : сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0. - Интегральный признак сходимости
1) un > 0; 2) un ≥ un+1; 3) f(x) — непрерывная невозрастающая функция, f(n) = un.
Либо и , и сходятся,
либо и , и расходятся.
- Примеры числовых рядов
- : сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
- : сходится, если a < 1; расходится, если a ≥ 1.
- : сходится.
- : сходятся, |q| < 1; расходятся, |q| ≥ 1.
- : сходится;
- : сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
- : сходится условно.
- : сходится абсолютно.
- : сходится абсолютно.
Функциональные ряды
Функциональный ряд – сумма вида
При из функционального ряда получается числовой ряд
Если для числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда. Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области . Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда.
– частичные суммы ряда. Функциональный ряд сходится к функции f(x), если
Равномерная сходимость
Функциональный ряд, сходящийся для всех из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если ∀ε > 0 существует не зависящий от x номер N(ε), такой, что при n > N(ε) выполняется неравенство Rn(x) < ε для всех x из области сходимости, где — остаток ряда.
Геометрический смысл равномерной сходимости:
если окружить график функции y = f(x) «ε-полоской», определяемой соотношением f(x)−ε > y > f(x)+ε, то графики всех частичных сумм Sk(x), начиная с достаточно большого k, ∀x ∈ [a, b] целиком лежат в этой «ε-полоске», окружающей график предельной функции y = f(x).
— называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд un > 0, что для ∀x ∈ D fn(x) ≤ un, n = 1, 2, …. Ряд называется мажорантой ряда
Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда): функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.
Степенные ряды:
— степенной ряд по степеням
При – степенной ряд по степеням x.
Область сходимости степенного ряда:
Радиус сходимости, интервал сходимости R, x ∈ (-R, R):
или
При |x| < R ряд сходится, при |x| > R – расходится;
в точках x = ±R – дополнительное исследование.
На интервале сходимости ряд сходится абсолютно;
на любом отрезке из интервала сходимости он сходится равномерно.
- Свойства степенных рядов
- Степенной ряд сходится равномерно на [−R′, R′]
∀R′ < R, его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости. - Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости.
- Разложение элементарных функций в степенные ряды
- , x ∈ (−∞; ∞).
- ,
x ∈ (−∞; ∞). - , x ∈ (−∞; ∞).
- , x ∈ (−∞; ∞).
- , x ∈ (−∞; ∞).
, x ∈ (−1; 1].
, x ∈ [−1; 1).- ,
x ∈ (−1; 1). - , x ∈ [−1; 1].
- , x ∈ [−1; 1].
- , x ∈ (−1; 1).
- , x ∈ (−1; 1).
- , x ∈ (−1; 1).
- , x ∈ (−1; 1).
- , x ∈ (−1; 1].
Тригонометрические ряды
- Ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π
- Ряд Фурье функции f(x):
- Коэффициенты Фурье:
Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l, f(x+2l) = f(x):
где
- Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на отрезке x ∈ [0; l] или на отрезке x ∈ [-l; l]
- f1(x)=f(-x), x ∈ [-l; 0] (четное продолжение)
где x ∈ [0; l] n = 0, 1, 2,… - f1(x) = —f(−x), x ∈ [-l; 0]
(нечетное продолжение)
где x ∈ [0; l] n = 1, 2,… - На всю действительную ось ϕ(x) продолжается периодически с периодом 2l, ϕ(x) = ϕ(x + 2l). Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье, причем в точках x = ±l выполняется условие: где то есть,
– левый предел f(x) в точке x = l,
– правый предел f(x) в точке x = l.
Произвольная функция f(x) задана на отрезке [0; l]; на отрезок [-l; 0] она может быть продолжена произвольным образом:
– некоторая кусочно-монотонная функция.
Наиболее часто встречающиеся продолжения:
matematika.electrichelp.ru
Числовые ряды. Сумма ряда.
Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.
где u1,u2,u3…., un…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.
Числа u1,u2,u3…., un… называют членами ряда, а un– общий член ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.
Sn= u1 + u2 +… + un,
т.е. S1= u1; S2= u1+ u2
Sn= u1+ u2+…+ un
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы Snпри n, то есть
Число S называется суммой ряда.
В противном случае:
Тогда ряд называется расходящимся.
Эталонные ряды.
1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)
.
.
Пример.
2. Гармонический ряд.
3. Обобщенный гармонический ряд.
Пример.
.
Признаки сходимости знакоположительных рядов
Теорема 1. Необходимый признак сходимости.
C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.
Пример.
Достаточные признаки
Теорема 1.Признак сравнения рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда:
и
Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Пример. Исследовать ряд на сходимость:
Сравним этот ряд с геометрическим рядом:
Сравним ряды:
и так далее.
Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.
Теорема 2. Признак Даламбера.
при
при
при вопрос о сходимости остается открытым.
Пример. Исследовать на сходимость ряд:
по признаку Даламберу ряд сходится.
Теорема 3.Радикальный признак Коши.
1) при
2) при
3) при вопрос о сходимости остается открытым.
Пример: исследовать на сходимость числовой ряд:
Решение:
Следовательно, ряд сходится по Коши.
Теорема 4. Интегральный признак Коши.
Пусть члены ряда
положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf(x) при x= 1, 2, …, n.
Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:
Пример.
Решение:
Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.
Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.
Ряд называется знакопеременным, если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.
Рассмотрим знакочередующиеся ряды:
Теорема 1. Признак Лейбница (достаточный признак).
Если у знакочередующегося ряда
члены убывают по абсолютной величине, то есть и
то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S ≤.
Пример.
Решение:
Применим признак Лейбница:
.
Следовательно, ряд сходится по Лейбницу.
Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.
Пример: исследовать ряд на сходимость:
Решение:
из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .
Следовательно, исходный ряд сходится.
Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.
Определение 1. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 2.Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.
Пример.
Решение:
Применим признак Лейбница:
Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.
Значит, исходный ряд сходится условно.
studfiles.net
ТЕМА 10. Ряды – Высшая математика: лекционный курс – ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА, ТВ и МС, МАТ. МЕТОДЫ – Учебно-методические материалы для студентов всех ВУЗов: – std72.ru
1. Основные понятия
Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Тогда выражение
(1)
называется числовым рядом. Здесь – общий член ряда.
Примеры:
1. .
2. .
3. .
Определение. Суммы вида называются частичными суммами ряда (1).
Определение. Если последовательность частичных сумм имеет предел, то ряд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда.
2. Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то . Обратное утверждение неверно, то есть данное условие может выполняться, но ряд будет расходиться.
Достаточные признаки сходимости
1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами
; (2)
. (3)
Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых выполняется . Тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).
2. Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами и существует . Тогда при ряд сходится, а при расходится, а при вопрос остается открытым.
3. Знакопеременные ряды
Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.
Знакочередующимся называется ряд вида
, где .
Ряды вида также называются знакочередующимися.
Признак абсолютной сходимости
Знакопеременный ряд
(4)
сходится, если сходится ряд
(5)
Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится, а ряд (5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся. При этом сходимость ряда (4) можно в ряде случаев установить без исследования ряда (5).
Признак сходимости Лейбница
Пусть имеется знакочередующийся ряд .
Если одновременно выполняются следующие два условия:
1) ,
2) , то такой ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена: .
4. Степенные ряды
Определение. Ряд вида называется степенным рядом. Здесь постоянные величины a1, a2, …,ak,… – коэффициенты ряда, a0 – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных рядов вида
(6)
Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он находится по формуле:
. (7)
Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).
Разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет следующий вид: (8)
Наиболее употребительны разложения следующих функций:
;
;
;
;
.
Пример. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену , найти область сходимости ряда если .
Решение. Первые три члена ряда будут:
Имеем .
Определяем радиус сходимости:
.
Интервал сходимости имеет вид: .
Пусть . Получаем числовой ряд:
.
Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница:
; (1)
. (2)
Оба условия выполняются, следовательно ряд при сходится.
Пусть. Имеем числовой ряд:
.
Сравнивая с расходящимся гармоническим рядом видим, что, начиная с n=2, выполняется- неравенство , поэтому по признаку сравнения ряд расходится (так как расходится гармонический ряд). Область сходимости ряда .
Пример. Вычислить с точностью до 0,0001, используя разложение в ряд Маклорена.
Решение.
Преобразуем
Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной величине, поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.
Очевидно, что 2∙0,00001<0,0001.
Следовательно, .
www.std72.ru
Числовые ряды. Знакоположительные ряды | Математика, которая мне нравится
Определение. Пусть — последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется
Сумма называется частной суммой ряда.
Определение. Если последовательность чисел сходится к конечному пределу , то говорят, что ряд сходится и его сумма равна
Если же последовательность расходится, то говорят, что ряд расходится.
Числа называются членами ряда. Всякая конечная сумма называется отрезком ряда.
Если все числа положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).
Пример. Рассмотрим ряд
где — некоторое фиксированное число. Частные суммы этого ряда
Если , то .
При ряд расходится, так как неограниченно возрастает.
При . Следовательно, ряд расходится.
При Следовательно, не имеет предела, и ряд расходится.
Значит, ряд сходится при , а при расходится.
Теорема (критерий Коши для ряда). Ряд
сходится тогда и только тогда, когда
В частности, если ряд сходится, то для любого . Таким образом, у сходящегося ряда — необходимое условие сходимости. Однако оно не является достаточным.
Для знаконеотрицательных рядов из ограниченности последовательности частичных сумм следует сходимость ряда.
Теорема (признак сравнения). Если знаконеотрицательный ряд сходится и существуют и : , то тогда и ряд сходится.
Доказательство. Пусть , . Тогда при
Последовательность возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел.
Пример. Если для неотрицательного ряда
где и , то ряд сходится.
Теорема (признак Даламбера). Если для знакоположительного ряда
выполняется неравенство
то ряд сходится.
Если
то ряд расходится.
Доказательство. Если , то существует : начиная с некоторого номера , выполняется неравенство
Отсюда
и по признаку сравнения ряд сходится.
С именем Даламбера связан один забавный случай. Рассказывают, что, обучая математике очень тупого и очень знатного ученика и не добившись понимания доказательства, Даламбер в отчаянии воскликнул: “Ну, честное слово, сударь, эта теорема верна!” На что ученик отвечал: “Сударь, почему вы сразу так мне не сказали? Вы — дворянин, и я — дворянин; Вашего слова для меня вполне достаточно”.
Пример. Ряд
сходится, поскольку
Теорема (признак Коши). Если для знакоположительного ряда
выполняется неравенство
то ряд сходится.
Если же
то ряд расходится.
Доказательство. Если , то существует : . Следовательно, , и по признаку сравнения ряд сходится.
Если же , то существует : . Значит, члены ряда не стремятся к нулю, и ряд расходится.
Пример. Ряд
сходится, так как
Пример. Гармонический ряд (каждый член этого ряда, начиная со второго, — среднее гармоническое двух соседних его членов: ) расходится.
Доказательство.
Частная сумма гармонического ряда может быть сделана больше чего угодно.
hijos.ru
Ряды | Решение задач по математике и другим предметам!!!
Решение типового варианта контрольной работы. Ряды
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
Ж)
З)
Решение.
А) В данном случае
Вычислим
Следовательно, ряд расходится.
Б) Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.
Для рассматриваемого ряда
;
Вычислим
Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
В) Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда
Вычислим
В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.
Г) Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь
Вычислим
Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.
Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его
Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.
Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
Полученный ряд эквивалентен исходному, так как
Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т. к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.
Д) Так как , то
.
Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.
Оценим общий член ряда:
.
Ряд
Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т. к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
Пример2. Найти область сходимости ряда .
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
Ряд сходится, если
или ;
или ,
.
Ряд расходится, если .
Неопределенный случай: т. е. или ,
Пусть : ‑ сходится.
Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.
Пусть : .
Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т. к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Получили, что ‑ область сходимости ряда.
Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .
Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:
+…
Вычислим интеграл
.
Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .
Решение.
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :
Найдем , продифференцировав обе части равенства по :
Окончательно получим:
.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
А) в интервале (-2, 2):
Б) по синусам на интервале .
Решение.
Разложение периодической (период ) функции имеет вид:
А) В нашем примере L=2.
Где
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
;
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
Аналогично предыдущему
И окончательно получим:
Подставляя полученные значения в разложение , получим:
Б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).
Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т. е. .
Найдем коэффициенты , используя формулу:
Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:
.
Таким образом, .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua