Система счисления реферат по информатике – Реферат по информатике и информационно-коммуникационным технологиям Тема:«Системы счисления» Введение

Содержание

Реферат — Система счисления 2

Содержание

Что такое система счисления?

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Сложение в различных системах счисления

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления

Деление в различных системах счисления

Что такое система счисления?

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

Двоичная системаЧетверичная системаВосьмеричная системаДесятичная системаШестнадцатиричная система
11111
102222
113333
10010444
10111555
11012666
11113777
1000201088
1001211199
1010221210A
1011231311B
1100301412C
1101311513D
1110321614E
1111331715F
1000040201610

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ;

· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – «p «. Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p :

N = an pn +an-1 pn-1 +… +a1 p+a0+a-1 p-1 +a-2 p-2 +… (1.1)

здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p >1 ). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = an an -1 a 1 a . a -1 a -2

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16 .

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.

1. Переведем целую часть:2. Переведем дробную часть:3. Таким образом:

2310 = 101112 ;

0.12510 = 0.0012 .

Результат:

23.12510 = 10111.0012 .

Системы счисления называются кратными, если выполняется соотношение: S = RN, где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).

Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S .

Таблица

Перевести 1101111001.11012«8» с.с.Перевести 11111111011.1001112«16» с.c.

Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00 512) и младших (15,124000 ) разрядах.

Перевести 305.48«2» с.с.Перевести 7B2.E16«2» с.с.

Если требуется выполнить перевод из системы счисления S в R , при условии что они не являются кратными, тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = K N и R = K N .

Перевести 175.248«16» с.с.

Результат: 175.248 = 7D.516 .

Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следует выполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную систему счисления.

Для всего этого примеры

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:

Сложение в различных системах счисления

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Вычитание в различных системах счисления

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

www.ronl.ru

Реферат

Федеральное
агентство по образованию

Государственное
образовательное учреждение

высшего
профессионального образования

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра
Геоинформационных систем

по дисциплине
Информатика

Системы счисления. Описание понятия. Позиционные и непозиционные системы. Принципы перевода из одной системы счисления в другую.

Выполнили:

студенты гр. ИСТ-111

Абрамов С. А.

Проверил
преподаватель:

Васильева М.И.

Уфа 2007

Содержание.

1
Введение_____________________________________________________3

2 Непозиционные
системы счисления______________________________3

3 Позиционные
системы счисления________________________________3

3.1
Введение___________________________________________________3

3.2 Преобразование
чисел________________________________________4

3.3 Шестидесятеричная
система счисления__________________________6

4 Двоичная система
счисления____________________________________7

5 Восьмеричная и
шестнадцатеричная системы
счислений____________10

6 Перевод из одной
системы счисления в другую____________________12

7 Список используемой
литературы_______________________________14

Введение.

Для начала проведем
границу между числом и цифрой. Число
это некоторая абстрактная сущность для
описания количества. Цифры это знаки
используемые для записи чисел. Цифры
бывают разные, самыми распространенными
являются арабские цифры, они представляются
известными знаками от нуля (0) до девяти
(9), еще распространены римские цифры,
мы их можем иногда встретить на циферблате
часов или в обозначении века (IXX век).

Итак запомним:
число, это абстрактная мера количества,
цифра это знак для записи числа.

Существует множество
способов записи чисел с помощью цифр.
Эти способы грубо можно разделить на
две части:

Позиционные системы
счислений мы рассмотрим более подробно
ниже. Расскажем вкратце о непозиционных
системах счислениях.

Непозиционные системы счислений.

В непозиционной
системе счисления величина числа не
зависит от положения цифры в представлении
числа. Если бы мы перемешали цифры в
числе 603121200000, то мы бы не смогли понять
сколько стоит пылесос, в непозиционной
системе такого не случиться. Ярким
примером непозиционной системы счисления
является римская система.

Позиционные системы счислений. Введение.

Чем хороши
позиционные системы счисления? Тем, что
они позволяют легко производить
арифметические расчеты. Попробуйте
считать используя, например римские
цифры. Сколько будет
?
То-то, а вот достаточно представить эти
числа арабскими цифрами и мы легко
сможем посчитать в столбик.

Представление
чисел с помощью арабских цифр самая
распространенная позиционная система
счисления, она называется «десятичной
системой счисления». Десятичной системой
она называется потому, что использует
десять цифр. Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 и 9. Внимательно их пересчитайте –
их ровно десять. Замете: максимальная
цифра (9) на единичку меньше количества
цифр (10).

Компьютер, в отличии
от человека, хорошо разбирается в
двоичной системе, он использует цифры:
0 и 1. Обратите внимание, что и здесь:
система двоичная, а максимальная цифра
1.

Программисты
пользуются, для упрощения себе жизни,
еще восьмеричной и шестнадцатеричной
системами счисления.

Количество цифр
используемых в системе счисления
называется «основанием». В десятичной
системе основание равно десяти, в
двоичной системе основание равно двум,
ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной
соответственно восьми и шестнадцати.

В общем случае в
позиционной системе счисления числа
представляются следующим образом: (anan
− 1
a0)f,
где a0,a1,…,an
— цифры, а f
— основание системы счисления. Если
используется десятичная система, то f
– можно опустить.

Примеры чисел:

  • 110012
    — число в двоичной системе счисления,
    a0
    = 1,a1
    = 0,a2
    = 0,a3
    = 1,a4
    = 1;

  • 2213
    — число в троичной системе счисления,
    a0
    = 1,a1
    = 2,a2
    = 2;

  • 318
    — число в восьмеричной системе счисления,
    a0
    = 1,a1
    = 3;

  • 2510
    — число в десятичной системе счисления,
    a0
    = 5,a1
    = 2;

studfiles.net

Реферат — Позиционные системы счисления

РАБОТАПО

ИНФОРМАТИКЕ

ТЕМА «Позиционныесистемы счисления»

 

 

 

 

 

Ученицы

11 класса «А»

Калашниковой Анны

 

 

 

 

 

 

 

МОСКВА 2004 год

План

1)  Арифметические основы построения ЭВМ

2)  Непозиционные и позиционные системы счисления

3)  Непозиционные системы счисления

4)  Позиционные системы счисления

5)   Системысчисления

6)  Десятичная система счисления

7)  Двоичная система счисления

8)  Восьмеричная система счисления

9)  Шестнадцатиричная система счисления

10) Переводиз одной системы счисления в другую

11) Переводцелых чисел

12) Переводправильных дробей

13) Правилаперевода из системы счисления в систему счисления

14) Представлениечисел в различных системах счисления

15) Вопросыи задачи. Ответы и решения.

16) Средствапроцессора Word, используемые в данной работе.

17) Списоклитературы.

Арифметические основы построения ЭВМ

Непозиционные и позиционные системы счисления

Системой счисления называетсясовокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощьюцифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используетсянекоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1 ,а2, а3,…., аn. При этом каждой цифре аi в записи числаставится в соответствие определенный количественный эквивалент.Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры,входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры вряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различныхцелых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающиесоответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985.Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в нихдостаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкаязапись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМприменяют только позиционные системы счисления, в которых количественныйэквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и отее местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вескаждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр,изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием.Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков илисимволов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основаниеможно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д.Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где онапоявилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифрастоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играютчисло 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числапоказывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — числосотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичнойсистеме счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякоечисло в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различныхцелых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита даннойсистемы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 +5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых ссоответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 *100+ a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры — 0 и1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая праваяцифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любоенатуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. Вдвоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию:тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодированиепривлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точкизрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например,электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — каки в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разрядеозначает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное,как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611(восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкойцифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа ввосьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменитькаждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системесчисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается вшестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифрвзяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1,записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 вследующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F,указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод изшестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому,как это делается для восьмеричной системы.

Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для перевода целых чисел изодной системы счисления с основанием S в другую соснованием S1 надо это число последовательно делить наоснование S1 новой системы счисления до тех пор, покане получится частное меньше S1. Число в новой системезапишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частоедает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют висходной системе счисления. Например:

37710=1011110012

/>

Перевод правильных дробей

Для перевода правильнойдроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательноумножать на основание той системы, в которую она переводится, перемножаютсятолько дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частейполучающихся произведений, начиная с первого. Например:

 0,6875                                               0,67510=0,100112

*          2

 1,3750

*           2

 0,7500

*           2

 1,5000

*           2

 1,0000

При переводе неправильныхдесятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнитьотдельно перевод целой и дробной частей.

Правила перевода из системы счисления в системусчисления

1)  Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основаниестарой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)Результат опять умножить на основание старой системысчисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавленияпоследней самой младшей цифры исходного числа

2)  Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимоделить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор покапоследнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результатскладывается из остатков деления, начиная с последнего.

3)  Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходноечисло перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением),полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу(деление).

4)  Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойкинеобходимо:

А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа вдвоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-хразрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числанеобходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.

Представление чисел в различных системах счисления Системы счислений Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатиричная 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 А 11 1011 13 В 12 1100 14 С 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F /> /> /> /> /> /> />

Вопросыи задачи. Ответы и решения

1)  Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойствасистемы счисления.

2)  Какие символы используются для записи чисел в двоичной системесчисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

3)  Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные(восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

4)  Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010,1011, 11101, 0111, 0101.

5)  Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные:777, 375, 111, 1015.

6)  Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их вдесятичные: 15, A6, 1F5, 63.

7)  2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 0000012;1000011111,01012; 1216,048; 29A,516

8)  Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а)46410; б) 380,187510; в) 115,9410

·    10000012=1× 26+0× 25+0×24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1×20= 64+1=6510.

·    1000011111,01012=1×29 + 1×24+ 1×23 + 1×22 + 1×21 +1×20+ 1×2-2 + 1×2-4 = 512 +16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510.

·    1216,048=1×83+2×82+1×81+6×80+4×8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510.

·    29A,516= 2×162+9×161+10×160+5×16-1= 512+144+10+0,3125 = 656,312510.

·    а) 46410 »1110100002; б) 380,187510 »101111100,00112; в) 115,9410» 1110011,11110(2)

Средства процессора Word,используемые в данной работе.

·    Главным средством процессора Word,использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текстрасположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные частитекста – «по левому краю» или «по правому краю».

·    В данной работе было применено форматирование абзацев, изменениешрифтов и стилей, использование списков и использование границ.

·    Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ болееудобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.

·    В данный реферат включен рисунок. Он был нарисован в самомпростом редакторе Paint. После этого вставлен в текст.

·    В эту работу были вставлены некоторые символы.

Список литературы

·    Л.З.Шауцукова, «Основы информатики в вопросах иответах», Издательский центр «Эль-Фа», Нальчик, 1994

·    Введение в информатику.Лабораторные работы. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999

·    Теоретический материал из лекций по информатике в МГАПИ.

www.ronl.ru

Доклад Системы счисления по информатике 5, 8 класс сообщение

Мы привыкли к цифрам, которые называются арабскими. Называются они так, потому что впервые были обоснованны и напечатаны на арабском языке. Это несложно и не составляет проблем для понимания. В системе счисления эти же самые цифры будут называться десятичными. Почему? Ответ на этот вопрос также не труден. Всё потому, что при счёте мы используем всего 10 цифр от 0 до 9, а затем они начинают повторяться.

Но десятичная система счисления – не единственная. Их существует множество. Рассмотрим самые популярные из них:

Двоичная система счисления

В этой системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Единица представляет собой степень двойки. Чем больше единиц в записи, тем больше число. На двоичной системе вычисления построена работа многих современных вычислительных машин. Например, число 1001 в двоичной системе счисления, это тоже самое что 9 в десятичной. Расчёт ведётся так: справа – налево в двоичном числе проставляются степени, затем единицы «заменяются» на двойки возводятся в степень и складываются между собой. Так, если мы проведём эту процедуру с числом 1001. То мы получим: 2 в 0 степени + 2 в третьей степени или 1 + 8 получим 9.

Пятеричная система счисления

В этой системе счисления существует всего пять цифр. Поэтому основанием данной системы является пятёрка. Чтобы возвести число из десятичной системы в пятеричную, необходимо делить это число на пять записывая остатки. После того, как при делении не останется целой части, деление прекращается, а остатки складываются снизу вверх. Например число 24( 10-чная система счисления) в пятеричной системе будет выглядеть как 44. 24/5 = 4 и 4 в остатке. 4/5 = 0 и 4 в остатке, остатки записываем считая снизу вверх. То есть, если бы при первом делении у нас получилось пять, то число выглядело бы как 45, а не 54.

Восьмеричная система счисления

В ней действуют все те же законы и правила, что и в пятеричной. Единственным отличием является только то, что основанием системы здесь является восьмёрка, тот же принцип, существует и во всех остальных системах счисления, для наглядности, переведём число 45 десятичной системы в восьмеричную: 45/8 = 5 и 5 остаток. 5/8 = 0 и 5 остаток. В итоге получается число 55. В шестнадцатеричной системе это число будет выглядеть как 2D( после 9 все числа заменяются на буквы английского алфавита по порядку A – 10 B -11 C – 12 и так далее).

Вариант №2

Системы счисления (СС) – это последовательность цифр и английских букв, записанная по определенным правилам.  СС бывают позиционными и непозиционными. Позиционные системы – это такие системы, в которых определенный символ числа имеет различное значение, находясь на различных позициях. Например, десятичная система является позиционной. Число 25 не равно числу 52, так как определенный символ, например 5, зависит от местоположения. В непозиционных системах счисления символ не зависит от расположения в числе.

Самые распространенные системы: десятичная, восьмеричная, двоичная, шестнадцатеричная. В десятичной системе алфавит состоит из цифр от 0 до 9. Можно производить над числами этой системы такие операции, как сложение, вычитание, деление и умножение.

Алфавит восьмеричной системы имеет 8 символов и состоит из цифр от 0 до 7; алфавит двоичной – из двух цифр: 0 и 1. Самая необычная СС – шестнадцатеричная. В ее алфавит входят арабские цифры от 0 до 9, а так же английские большие буквы от A до F. Операции над числами можно проводить такие же, как с числами десятичной системы счисления.

Самая неклассическая СС – это троичная система. Это позиционная СС с основанием 3. Она бывает двух видов: несимметричная и симметричная троичная система. В несимметричную систему входят цифры: 0,1,2. Симметричная система состоит из цифр -1,0,1. Такая система встречается в физике. Например, ток может течь как в одну сторону, так и в другую. В первом случае можно использовать цифру 1, во втором случае -1, а отсутствия тока можно обозначить цифрой 0.

Таким образом, системы счисления – это очень важный раздел в информатике. Одно и то же число в разной системе может быть представлено по-разному. В информатике самая распространенная система – двоичная. Компьютер работает с двоичным кодом, поэтому двоичная СС – одна из интересных и сложных тем в информатике.

5, 8 класс по информатике

Системы счисления

Популярные доклады

  • Рыбы
  • Доклад-сообщение Уголь полезные ископаемые 3, 4, 5 класс

    Уголь – полезное ископаемое, образовавшееся вследствие разложения погибших растений. Углём пользовались ещё наши предки. И до сих пор это полезное ископаемое широко используется. Образно считают, что в чёрном камне законсервирована солнечная энергия.

  • Доклад Потребители и разрушители экосистемы

    Любая природная система является совокупностью живых и неживых организмов, способов их взаимодействия в пределах среды обитания. Для функционирования каждой системы нужно поддерживать беспрерывный круговорот веществ.

more-dokladov.ru

Реферат — Позиционные системы счисления

РАБОТА ПО

ИНФОРМАТИКЕ

ТЕМА «Позиционные системы счисления»

Ученицы

11 класса «А»

Калашниковой Анны

МОСКВА 2004 год

План

1) Арифметические основы построения ЭВМ

2) Непозиционные и позиционные системы счисления

3) Непозиционные системы счисления

4) Позиционные системы счисления

5) Системы счисления

6) Десятичная система счисления

7) Двоичная система счисления

8) Восьмеричная система счисления

9) Шестнадцатиричная система счисления

10) Перевод из одной системы счисления в другую

11) Перевод целых чисел

12) Перевод правильных дробей

13) Правила перевода из системы счисления в систему счисления

14) Представление чисел в различных системах счисления

15) Вопросы и задачи. Ответы и решения.

16) Средства процессора Word, используемые в данной работе.

17) Список литературы.

Арифметические основы построения ЭВМ

Непозиционные и позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1, а2, а3,…., аn. При этом каждой цифре аi в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Системы счисления

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 * 100 + a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод целых чисел

Для перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием S в другую с основанием S1 надо это число последовательно делить на основание S1 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше S1. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частое дает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют в исходной системе счисления. Например:

37710=1011110012

Перевод правильных дробей

Для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится, перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого. Например:

0,6875 0,67510=0,100112

* 2

1,3750

* 2

0,7500

* 2

1,5000

* 2

1,0000

При переводе неправильных десятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.

Правила перевода из системы счисления в систему счисления

1) Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)Результат опять умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавления последней самой младшей цифры исходного числа

2) Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимо делить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат складывается из остатков деления, начиная с последнего.

3) Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходное число перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением), полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу (деление).

4) Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойки необходимо:

А) из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа в двоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-х разрядным двоичным значением.

Б) из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числа необходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением.

Представление чисел в различных системах счисления

Системы счислений

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатиричная

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

А

11

1011

13

В

12

1100

14

С

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

Вопросы и задачи. Ответы и решения

1) Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

2) Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

3) Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

4) Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

5) Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

6) Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

7) 2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: 0000012; 1000011111,01012; 1216,048; 29A,516

8) Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) 46410; б) 380,187510; в) 115,9410

· 10000012 =1× 26 +0× 25 +0× 24 +0× 23 +0× 22 + 0× 21 +1× 20= 64+1=6510.

· 1000011111,01012 =1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20+ 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,312510 .

· 1216,048 =1×83 +2×82 +1×81 +6×80+4× 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,062510 .

· 29A,516 = 2×162 +9×161 +10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,312510 .

· а) 46410 » 1110100002; б) 380,187510 » 101111100,00112; в) 115,9410 » 1110011,11110(2)

Средства процессора Word, используемые в данной работе.

· Главным средством процессора Word, использованный в этой работе, является форматирование текста. Основной текст расположен «по ширине», заголовки – выравнивание «по центру», остальные части текста – «по левому краю» или «по правому краю».

· В данной работе было применено форматирование абзацев, изменение шрифтов и стилей, использование списков и использование границ.

· Также в тексте присутствует таблица, созданная в программе Excel, а затем копированная в данный текст. Этот способ более удобен, чем создание таблиц непосредственно в Word’е.

· В данный реферат включен рисунок. Он был нарисован в самом простом редакторе Paint. После этого вставлен в текст.

· В эту работу были вставлены некоторые символы.

Список литературы

· Л.З.Шауцукова, «Основы информатики в вопросах и ответах», Издательский центр «Эль-Фа», Нальчик, 1994

· Введение в информатику. Лабораторные работы. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999

· Теоретический материал из лекций по информатике в МГАПИ.

www.ronl.ru

Реферат — Системы счисления 6

В ведение.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами ), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = an Pn + an -1Pn -1+ … + a 1P 1+ a 0P 0+ a -1P -1+ … + a-m P-m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

Постановка задачи.

Программа должна считывать из файла вещественные числа с фиксированной точкой в десятиричной системе. Затем, следуя заданию, необходимо перевести числа в шестнадцатеричную систему счисления и вывести результат в файл. Далее осуществляется перевод в восьмеричную систему счисления и выполняются две операции: сложение и вычитание. Результаты этих действий перевести обратно в шестнадцатиричнуюсистему счисления, а затем в десятичную и вывести в файл.

Правила перевода чисел.

Правило перевода из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.

Оптимальный способ перевода числа из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления будет следующим. Т.к. шестнадцатеричное число имеет основание системы счисления 16=24, а восьмеричное 8=23, то шестнадцатеричное число переводим в двоичное: каждую цифру заменяем на группу из 4-х двоичных цифр ( тетраду ) соответственно данной таблице:

С и с т е м а с ч и с л е н и я

С и с т е м а с ч и с л е н и я

216216
000010008
0001110019
001021010A
001131011B
010041100C
010151101D
011061110E
011171111F
Таблица №1

Затем получившееся двоичное число разбиваем на группы по 3 цифры (триады). Далее заменяем эти триады цифры соответствующими восьмеричными цифрами. При необходимости добавить нули слева от числа для дробной части, и справа для целой части числа.

С и с т е м а с ч и с л е н и я

С и с т е м а с ч и с л е н и я

2828
0001004
00111015
01021106
01131117
Таблица №2

Правило перевода из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.

Данный перевод осуществляется аналогично описанному в п. 3.1. с тем отличием, что восьмеричное число переводится в двоичное: каждая восьмеричная цифра заменяется двоичной триадой согласно таблице №2.

Затем двоичное число разбивается на тетрады (при необходимости добавить нули справа и слева от числа) которые заменяются шестнадцатеричными цифрами согласно таблице №1

Правило перевода из десятичной в любую другую систему счисления.

Перевод числа из десятичной системы в другую осуществляется с помощью деления десятичного числа на основание системы счисления, в которую переводится число. Полученные остатки от деления необходимо записать в обратном порядке. Полученное из остатков от деления число и будет являтся передставленим данного числа в системы, на основание которой делили.

Укрупненная схема алгоритма.

www.ronl.ru

Реферат по информатике Системы счисления


 


Оглавление


Введение 2


Глава 1. История чисел и систем счисления 3


§1. Общая характеристика систем счисления. 3


§2. Зарождение чисел, счета и систем счисления. 3


§3. Системы счисления различных народов. 5


  • 3.1 Племени майя. 5

  • 3.2 Ацтеков и инков. 5

  • 3.3 Вавилонская. 6

  • 3.4 Египетская. 7

  • 3.5 Греческая. 8

  • 3.6 Арабская. 8

  • 3.7 Римская. 9

  • 3.8 Славянская. 10


Глава 2. Перевод чисел из одних систем счисления в другие и арифметические операции с ними 12


§1. Перевод десятичных чисел в системы счисления с основанием q. 12


  • 1.1. Алгоритм перевода целых чисел. 12

  • 1.2. Алгоритм перевода дробных чисел. 12

  • 1.3. Перевод смешанных чисел. 12


§2. Перевод чисел из систем счисления с основанием q в десятичную. 13


§3. Перевод двоичных чисел в системы счисления с основанием q=2n и обратно. 13


  • 3.1 Алгоритм перевода целых чисел. 13

  • 3.2 Алгоритм перевода дробных чисел. 14

  • 3.3 Алгоритм перевода произвольных чисел. 14

  • 3.4 Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2n в двоичную систему счисления. 14

  • 3.5 Использование калькулятора. 14


§4. Арифметика в позиционных системах счисления. 15


Заключение 16


Литература 17


Приложение 18


 


 


videouroki.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о