Собственный интеграл – Собственные интегралы. Признаки сходимости. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов

Содержание

Виды интегралов

Неопределенный и определенный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных некоторой функции :

   

Например.

Подробнее про неопределенные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Определённый интеграл от функции на отрезке – предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

   

Например.

Подробнее про определенные интегралы читайте по ссылке.

Собственный и несобственный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Собственный интеграл – это определенный интеграл, для которого ограниченной является как подынтегральная функция, так и область интегрирования.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Несобственный интеграл – определенный интеграл, для которого неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе.

Например.

Пусть функция определена на полуоси и интегрируема на любом отрезке . Предел интеграла при называется несобственным интегралом первого рода функции от a до и обозначается :

   

Например.

Подробнее про несобственные интегралы читайте по ссылке.

Сходящийся и расходящийся интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся.

Например.

В противном случае несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если предел конечен, то несобственный интеграл первого рода называется
сходящимся
.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Кратным или многократным интегралом называется множество интегралов, взятых от переменных:

   

Например.

Криволинейные и поверхностные интегралы

Например. , где

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если на кривой определены функции и , то криволинейным интегралом второго рода называется интеграл вида .

Например. , где

Подробнее про криволинейные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Поверхностным интегралом первого рода от функции по некоторой поверхности называется интеграл .

Например. , где − часть плоскости , лежащая в первом октанте.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Поверхностным интегралом второго рода по фиксированной стороне двусторонней поверхности называется интеграл вида .

Например. , где − часть внутренней поверхности эллипсоида

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для функции , непрерывной на отрезке функция называется интегралом с переменным верхним пределом
.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра .

Например.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

∫ Решение несобственного интеграла – Калькулятор Онлайн

Введите функцию, для которой необходимо вычислить несобственный интеграл

Найдём решение несобственного интеграла с заданными пределами интегрирования.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

x*arcsin(x)

Арккосинус

x*arccos(x)

Применение логарифма

x*log(x, 10)

Натуральный логарифм

ln(x)/x

Экспонента

exp(x)*x

Тангенс

tg(x)*sin(x)

Котангенс

ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

x*arctg(x)

Арккотангенс

x*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция – арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция – арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от
x
e
e число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция – экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
pi
Число – “Пи”, которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция – Синус от x
cos(x)
Функция – Косинус от x
sinh(x)
Функция – Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция – Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция – квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция – Квадрат x
tg(x)
Функция – Тангенс от x
tgh(x)
Функция – Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция – кубический корень из x
floor(x)
Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
sign(x)
Функция – Знак x
erf(x)
Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
– умножение
3/x
– деление
x^3
– возведение в степень
x + 7
– сложение
x – 6
– вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Несобственный интеграл, формулы и примеры

Несобственный интеграл первого рода

Таким образом, по определению

   

Если такой предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае, если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл является расходящимся.

Аналогичным образом задается несобственный интеграл на промежутке .

Несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

   

Такой несобственный интеграл сходится только в том случае, когда оба несобственных интеграла в правой части являются сходящимися.

Примеры решения задач

Несобственный интеграл второго рода

Пусть некоторая функция непрерывна на промежутке , а в точке имеет разрыв второго рода. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается , то есть

   

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся. В случае, когда предел не существует или равен бесконечности, несобственный интеграл является расходящимся.

Аналогично, если в точке подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв, то несобственный интеграл второго рода определяется равенством:

   

Если подынтегральная функция терпит разрыв в некоторой внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

   

Интеграл, стоящий в левой части равенства, называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части приведенного равенства.

ru.solverbook.com

Несобственные интегралы

Сегодня я подготовил для вас подробную статью о несобственных интегралах

Определенные интегралы , для которых отрезок [a; b] конечен, а функция f(x) – непрерывна на этом отрезке, называют собственными.

С целью обобщения понятия интеграла рассмотрим:

1) определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечными пределами интегрирования;
2) определенные интегралы с конечными пределами интегрирования, но от функций, имеющих бесконечный разрыв на промежутке интегрирования. Такие определенные интегралы называют несобственными.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция  f(x) определена на промежутке [a; +∞) и пусть f(x) интегрирована на любом отрезке [a; b]  (b> a– произвольные действительные числа).

Определение 1.1. Предел  интеграла при b→+∞  называется несобственными интегралом функции f(x) от а до +∞ и обозначается символом

 

Если предел (1.1) есть конечное число, то несобственный интеграл   называют сходящимся. Если предел (1.1) не существует или равен бесконечности, то несобственный  интеграл называют расходящимся.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Вычислим определенный интеграл

Имеем

Следовательно, заданный интеграл сходится и он равен

Из рассмотренного следует, что вопрос о сходимости (расходимости) несобственных интегралов решается с помощью первоначальной функции для подынтегральной функции. Это обстоятельство сильно сужает круг практического использования понятия несобственного интеграла. В отдельных случаях вопрос о сходимости (расхождении) несобственного интеграла можно решить, не находя первообразной для подынтегральной функции. При этом пользуются так называемыми признаками сходимости несобственных интегралов. Простейшим признаком сходимости является признак сравнения.

Теорема 1.1. Пусть для всех x ≥ a функции f(x) и g(x) определены и выполняются неравенства 0 ≤ f(x) g(x). Тогда:

Для функции f(x), непрерывной на бесконечном промежутке -∞ < x ≤ b, определяется несобственный интеграл 

Для функции f(x), непрерывной на всей числовой оси, несобственный интеграл  определяется равенством:

где с – произвольное действительное число. 

2. Интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция f(x) такая, что для произвольного малого ɛ>0  она определена, ограничена и интегрирована на отрезке [a+ɛ; b] и неограниченна на (a; b].

Определение 1.2. Предел определенного интеграла  при ɛ→0  называется несобственным интегралом функции f(x) на отрезке [a; b]  и обозначается символом

Аналогично для функции f(x), определенной, непрерывной и интегрированной на отрезке [a; b- ɛ] и неограниченной на [a; b) обозначается несобственный интеграл:

Если пределы (1.4), (1.5) есть конечные числа, то несобственные интегралы называются сходящимися, а если эти пределы не существуют, то несобственные интегралы называются расходящимися.

В конце отметим, что для функции f(x), которая имеет на промежутке (a; b) точку с, в окрестности которой f(x) неограниченная, но является ограниченной и интегрированной на каждом из отрезков [a; c- ɛ] и [ñ + ɛ; b], интеграл определяется равенством.

Аналогично обозначается несобственный интеграл на отрезке [a; b] от функции, которая непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.

Пример 1.2.Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

а) функция  
 
ограничена и непрерывна, а потому и интегрируемая. Предельное значение

 

существует; таким образом,


ограничена и непрерывна, но

 расходится.

Пример 1.3Исследовать сходимость интегралов. Для сходящихся интегралов найти их значение

Решение.

если α > 0, интеграл сходится; если α ≤ 0, то интеграл расходится;

 

если α > 1; если 0 < α ≤ 1, интеграл расходится как и при α = 1:

так и при 0 < α < 1:

Пример 1.4.

Найти несобственный интеграл

Решение. Функция  непрерывна при 0 ≤ x < 2 и имеет бесконечный разрыв в точке x=2, поэтому имеем

Поэтому данный интеграл сходится и равен 2√2.

Пример 1.5. Исследовать сходимость интегралы. Для сходящихся интегралов найти их значение:

Решение.

то есть, несобственный интеграл  расходится

то есть, несобственный интеграл I2 сходится и равен .

Пример 1.5. Исследовать на сходимость интегралы:

Решение.

Если у Вас есть ко мне вопросы, или нужна помощь, консультация по решению несобственных интегралов, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь. 

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Сходимость интегралов, формулы и примеры

Теорема (Признак сравнения). Пусть на промежутке функции и непрерывны, а в правом конце указанного промежутка, то есть в точке , терпят разрыв второго рода. Пусть для указанных функций справедливо следующее неравенство: . Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

ru.solverbook.com

2. Несобственные интегралы

Несобственный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

может существовать (т.е. иметь определенное конечное значение) лишь при выполнении условий

  1. отрезок интегрирования [a; b] конечный;

  2. подынтегральная функция непрерывная (или хотя бы кусочно-непрерывная) и, следовательно, ограниченная на этом отрезке.

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то определение теряет смысл. Действительно, в случае бесконечного отрезка, например [a; ) его нельзя разбить на п частей конечной длины , которая к тому же с увеличением количества отрезков стремилась бы к нулю. В случае же неограниченной в некоторой точкес[a; b] нарушается требование произвольного выбора точки на частичных отрезках – нельзя выбрать=с, поскольку значение функции в этой точке не определено. Однако и для этих случаев можно обобщить понятие определенного интеграла, введя еще один предельный переход. Интегралы по бесконечным промежуткам и от разрывных (неограниченных) функций называют

несобственными.

Определение.

Пусть функция определена на промежутке [a; ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a; b], т.е. существует для любого b > a. Предел вида называютнесобственным интегралом первого рода (или несобственным интегралом по бесконечному промежутку) и обозначают .

Таким образом, по определению, =.

Если предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл называютсходящимся. Если этот предел бесконечен, или не существует вообще, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции по промежутку (–; b]:

=.

А несобственный интеграл от функции по промежутку (–; +) определяется как сумма введенных выше интегралов:

=+,

где а – произвольная точка. Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно из слагаемых.

С геометрической точки зрения, интеграл,, определяет численное значение площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, слева – прямой, снизу – осью ОХ. Сходимость интеграла означает существование конечной площади такой трапеции и равенство ее пределу площади криволинейной трапеции с подвижной правой стенкой.

На случай интеграла с бесконечным пределом можно обобщить и формулу Ньютона-Лейбница:

= =F(+) – F(a),

где F(+) = . Если этот предел существует, то интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Мы рассмотрели обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка.

Рассмотрим теперь обобщение для случая неограниченной функции.

Определение

Пусть функция определена на промежутке [a; b), неограниченна в некоторой окрестности точки b, и непрерывна на любом отрезке , где>0 (и, следовательно, интегрируема на этом отрезке, т.е. существует). Предел виданазываетсянесобственным интегралом второго рода (или несобственным интегралом от неограниченной функции) и обозначается .

Таким образом, несобственный интеграл от неограниченной в точке b функции есть по определению

=.

Если предел справа существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если конечного предела не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл от функции имеющей бесконечный разрыв в точкеа:

=.

Если функция имеет бесконечный разрыв во внутренней точкес, то несобственный интеграл определяется следующим образом

=+ = +.

Этот интеграл сходится, если сходятся оба слагаемых, и расходится, если расходится хотя бы одно слагаемое.

С геометрической точки зрения, несобственный интеграл от неограниченной функции также характеризует площадь неограниченной криволинейной трапеции:

Поскольку несобственный интеграл выводится путем предельного перехода из определенного интеграла, то все свойства определенного интеграла могут быть перенесены (с соответствующими уточнениями) на несобственные интеграла первого и второго рода.

Во многих задачах, приводящих к несобственным интегралам, не обязательно знать, чему равен этот интеграл, достаточно лишь убедиться в его сходимости или расходимости. Для этого используют признаки сходимости. Признаки сходимости несобственных интегралов:

1) Признак сравнения.

Пусть для всех х. Тогда, еслисходится, то сходится и, причем. Еслирасходится, то расходится и.

2) Если сходится , то сходится и(последний интеграл в этом случае называетсяабсолютно сходящимся).

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны сформулированным выше.

Примеры решения задач.

Пример 1.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а) ; б); в)

г) ; д).

Решение.

а) По определению имеем:

,

Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

б) Аналогично

.

Следовательно, данный интеграл сходится и равен .

в) По определению =+, причем,а – произвольное число. Положим в нашем случае , тогда получим:

.

Данный интеграл сходится.

г)

Значит, данный интеграл расходится.

д) Рассмотрим. Чтобы найти первообразную подынтегральной функции, необходимо применить метод интегрирования по частям. Тогда получим:

Поскольку ни , нине существуют, то не существует и

.

Следовательно, данный интеграл расходится.

Пример 2.

Исследовать сходимость интеграла в зависимости от п.

Решение.

При имеем:

.

Если , тои. Следовательно, интеграл расходится.

Если , то, а, тогда

,

=,

Следовательно, интеграл сходится.

Если , то

,

следовательно, интеграл расходится.

Таким образом,

Пример 3.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а) ; б); в) .

Решение.

а) Интегралявляется несобственным интегралом второго рода, поскольку подынтегральная функцияне ограничена в точке. Тогда, по определению,

.

Интеграл сходится и равен .

б) Рассмотрим. Здесь также подынтегральная функция не ограничена в точке. Поэтому, данный интеграл – несобственный второго рода и по определению,

.

Следовательно, интеграл расходится.

в) Рассмотрим. Подынтегральная функциятерпит бесконечный разрыв в двух точках:и, первая из которых принадлежит промежутку интегрирования. Следовательно, данный интеграл – несобственный второго рода. Тогда, по определению

==

.

Следовательно, интеграл сходится и равен .

studfiles.net

Как вычислить несобственный интеграл и выяснить сходимость

Несобственные интегралы первого рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов с бесконечным верхним или нижними пределами интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.

Несобственные интегралы второго рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не существует, обращаясь в бесконечность.

Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.

Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f(x) находится выше оси Ox, определённый интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс и ординатами x = a, x = b. В свою очередь несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f(x) (на рисунке ниже – красного цвета), x = a и осью абсцисс.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

,

.

Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае – расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.

Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом

Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке от a до называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт, т.е.

.

Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла находим

Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.

В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса – не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (нижний предел интегрирования больше нуля).

Решение. Предположим сначала, что , тогда

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при имеет место . Если , то и не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница , можно вывести следующую очень похожую на неё формулу:

.

Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. С помощью метода замены переменной можно получить очень полезную формулу:

Доказывать эту формулу нет необходимости, но запомнить стоит – пригодится. Итак, применяя эту формулу для нахождения первообразной получим

Итак, несобственный интеграл сходится и равен 1.

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Находим

.

Но предел не существует, т. е. данный несобственный интеграл расходится.

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке, поэтому определённый интеграл от неё на отрезке [0, b] существует при всяком b. Находим этот интеграл:

.

Находим предел этого интеграла:

.

По определению, значение данного несобственного интеграла:

.

Несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, обозначаемый символом , а именно

.

Если этот предел существует (и, значит, конечен, то есть, равен некоторому числу, а не бесконечности), то данный несобственный интеграл называется сходящимся.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом(если он сходится).

Решение. Находим предел данного интеграла:

Вывод: данный несобственный интеграл сходится, а его значение равно -1/2.

Несобственные интегралы с двумя бесконечными пределами

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования, обозначаемый символом , нужно предварительно представить в виде суммы двух несобственных интегралов, один из которых с конечным верхним пределом интегрирования, другой – с конечным нижним пределом интегрирования, т.е.

.

По определению,

,

причём этот несобственный интеграл считается сходящимся, если оба предела существуют, когда a и b независимо друг от друга неограниченно возрастают по абсолютной величине.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами (если он сходится).

Решение. На основании определения несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами представляем данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов:

.

Преобразуем подынтегральное выражение к форме , с помощью выделения полного квадрата:

По формуле находим:

(Эта формула, которой мы воспользовались, а также другие формулы, пригодные для интегрирования дробей, приведены в уроке Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей).

Предел этого интеграла существует:

Второй интеграл, составляющий сумму, выражающую исходный интеграл:

Предел этого интеграла также существует:

.

Находим сумму двух интегралов, являющуюся и значением исходного несобственного интеграла с двумя бесконечными пределами:

.

Пусть функция f(x) задана на отрезке от a до b и неограниченна на нём. Предположим, что функция обращается в бесконечность в точке b, в то время как во всех остальных точках отрезка она непрерывна.

Определение. Несобственным интегралом функции f(x) на отрезке от a до b называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования c, если при стремлении c к b функция неограниченно возрастает, а в точке x = b функция не определена, т.е.

.

Если этот предел существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, выводим:

.

Это также обобщённая формула Ньютона-Лейбница. Именно она применяется в решении задач на вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Пример 8. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция при неограниченно возрастает, а в точке x = 0 функция не определена, то есть, не существует. Применяем обобщённую формулу Ньютона-Лейбница:

(так как при x = 0 первообразная непрерывна). Вывод: данный несобственный интеграл сходится и равен -3/2.

Пример 9. Вычислить несобственный интеграл (если он сходится).

Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке полуотрезка [0, 1]. В точке x = 1 функция обращается в бесконечность. Если взять , то на [0, c] подынтегральная функция непрерывна и, следовательно, существует интеграл.

.

Найдём предел этого интеграла:

Результат предыдущих действий: несобственный интеграл сходится и его значение мы нашли.

Пример 10. Исследовать на сходимость несобственный интеграл (верхний предел интегрирования больше нижнего).

Решение. Подынтегральная функция обращается в бесконечность при x = b, в остальных точках она непрерывна. Предположим сначала, что , тогда для :

В полученном выражении перейдём к пределу при :

Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда , то есть , и не существует, когда , то есть .

В первом случае, то есть при

.

Если , то

.

не существует.

Вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходится при .

Начало темы “Интеграл”

Продолжение темы “Интеграл”

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Оставить комментарий