Таблица определенные интегралы – Большая таблица первообразных (интегралов). Интегралы от рациональных функций. Интегралы от трансцендентных функций. Интегралы от иррациональных функций. Интегралы от тригонометрических функций. - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Список интегралов элементарных функций

Правила интегрирования функций:

Интегралы элементарных функций:

Рациональные функции:

(первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

(“высокий логарифм”)

Логарифмы:

Экспоненциальные функции:

Иррациональные функции:

(«длинный логарифм»)

Тригонометрические функции:

Гиперболические функции:

также

Список интегралов от рациональных функций

для

Список интегралов от иррациональных функций

Интегралы с корнем из a²+x²:

Везде ниже: .

Интегралы с корнем из x

²-a²:

Везде ниже: .

Принято , для, смотрите следующий раздел.

Заметим, что , гдепринимает только положительные значения.

где

Интегралы с корнем из a²-x²:

Везде ниже:

Интегралы с корнем из общего квадратного трёхчлена:

Здесь обозначено:

Интегралы с корнем из линейной функции:

Список интегралов от экспоненциальных функций

Неопределённые интегралы:

для

где erf(…) — функция ошибок

Определённые интегралы:

для , что естьлогарифмическое среднее

(интеграл Гаусса)

(!! — двойной факториал)

(модифицированнаяфункция Бесселяпервого рода)

(Дзета-функция Римана)

Список интегралов от логарифмических функций

для

где Ei(x) — интегральная экспонента

для

Список интегралов от тригонометрических функций

Интегралы, содержащие только синус:

Интегралы, содержащие только косинус:

Интегралы, содержащие только тангенс:

Интегралы, содержащие только секанс:

Интегралы, содержащие только косеканс:

Интегралы, содержащие только котангенс:

Интегралы, содержащие только синус и косинус:

Интегралы, содержащие только синус и тангенс:

Интегралы, содержащие только косинус и тангенс:

Интегралы, содержащие только синус и котангенс:

Интегралы, содержащие только косинус и котангенс:

Интегралы, содержащие только тангенс и котангенс:

Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Арксинус:

Арккосинус:

Арктангенс:

studfiles.net

39 Таблица основных интегралов

40 Метод непосредственного интегрирования

Определение

Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

тождественное преобразование подынтегральной функции;
применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;
использование таблицы интегралов.

41Интегрирование по частям и подставновкой

Интегрирование по частям. Если функции u ( x ) и v ( x ) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v ( x ) du ( x ), тосуществует и интеграл u ( x ) dv ( x ) и имеет место равенство:

u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) • v ( x ) – v ( x ) du ( x )

или в более короткой форме:

u dv = u v – v du .

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями (проверьте!).

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Если функция f ( z ) определена и имеет первообразную при z Z , а функция z = g ( x )имеет непрерывную производную при x X и её область значений g ( X ) Z , то функция F ( x ) = f [ g ( x )] × g’ ( x ) имеет первообразную на Х и

F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g’ ( x ) dx

= f ( z ) dz .

42 Определен.Интеграл и его определение

Определённым интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиенияи выбора точек, то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой напо Риману.

Основные свойства определенного интеграла

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

43 Формула Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной.

Если непрерывна на отрезкеи— её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

44 Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

studfiles.net

Таблица первообразных. Таблица интегралов. Таблица неопределенных интегралов. Формулы интегралов. Формулы первообразных.

Интеграл степенной функции.	Интеграл степенной функции.
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.
–
Интеграл экспоненциальной функции.	Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.
Интеграл сложной экспоненциальной функции.	Интеграл экспоненциальной функции.
–
Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.	Интеграл : “Длинный логарифм”.
	Интеграл : “Длинный логарифм”.
Интеграл : “Высокий логарифм”.	Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала (константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать), в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.
Интеграл : “Высокий логарифм”.
–
Интеграл косинуса.	Интеграл синуса.
Интеграл, равный тангенсу.	Интеграл, равный котангенсу.
–
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу	Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.	Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл равный косекансу.	Интеграл, равный секансу.
Интеграл, равный арксекансу.	Интеграл, равный арккосекансу.
Интеграл, равный арксекансу.	Интеграл, равный арксекансу.
–
Интеграл, равный гиперболическому синусу.	Интеграл, равный гиперболическому косинусу.
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.	Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.
Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx – гиперболический синус в ангийской версии.	Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx – гиперболический синус в ангийской версии.
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.	Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.
Интеграл, равный гиперболическому секансу.	Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

www.dpva.ru

Математика для блондинок: Таблица интегралов

Не научный бред с элементами реализма на тему неопределенного интеграла.

Не просите маня в комментариях найти какой-нибудь интеграл. Я не умею находить интегралы, я могу только над ними по прикалываться. Прежде, чем здесь появится таблица неопределенных интегралов, нужно представить определение неопределенного интеграла. Прямо каламбур получился. Неопределенным интеграл называется так не потому, что определение для него никто не придумал, а потому, что с ним нельзя точно определиться. Математики меня заклюют за такое разъяснение.

Неопределенный интеграл и его свойства

Как видите, неопределенный интеграл представляет из себя совокупность первообразных для заданной функции. Дальше идет таблица основных неопределенных интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

Если вы любите по вечерам вместо семечек щелкать неопределенные интегралы, тогда большая таблица интегралов для вас. Если вы где-то учитесь, настоятельно рекомендую пользоваться большой таблицей интегралов в качестве ответов, которые обычно размещают в конце учебника. Помните, что вы не в детском садике и задачку без действий вам никто не задаст. Даже в задаче на одно действие между условием и ответом записывают это действие.

Вот большая таблица неопределенных интегралов (картинка 510 на 8 710 пикселей, формат JPG, объем файла 783 килобайта). Эта таблица интегралов содержит 147 представителей этой математической фауны. Я подозреваю, что коллекция эта далеко не полная, но некоторые самые популярные виды интегралов в ней присутствуют. Нажимаете на ссылку – откроется картинка, по виду очень похожая на размотанный рулон туалетной бумаги. Наводите курсор на эту ленту, курсор превращается в лупу со знаком “плюс”, жмете. Теперь вы в царстве интегралов. Сохранить память о столь увлекательном путешествии можно при помощи правой кнопки мыши и строчки меню “Сохранить изображение как…”. Всё, Третьяковская галерея интегралов переселилась в ваш компьютер.

Это для тех, кто не любит читать всё то, что я пишу. Столь солидную таблицу интегралов я самым бесстыдным образом позаимствовал с сайта Интегралы.ру (здесь же есть решение интегралов онлайн). Таблица интегралов разбита на 12 групп, все их мы рассмотрим более подробно на отдельных страницах.

Все эти формулы можно увидеть на отдельных страницах этого сайта.

Таблица интегралов 1 – приведены формулы с переменной в первой и второй степени из 1 и 2 разделов.

Таблица интегралов 2 – приведены формулы с квадратными корнями из разделов 3, 4, 5, 6 и 7.

Таблица интегралов 3 – приведены формулы интегрирования из разделов 8, 9 и 10.

Таблица интегралов 4 – приведены формулы интегрирования показательных, тригонометрических и логарифмических функций из разделов 11 и 12.

Как найти неопределенный интеграл? Очень просто. Тупо берете формулу, тупо подставляете в пример. Лично я так делал. Иногда можно чего-то там перегруппировать, упростить, вынести за знак интеграла… На звание самого лучшего в мире искателя интегралов я не претендовал, о чем нисколько не жалею. Вообще, живых интегралов я за свою жизнь так и не встретил. Все они для меня вымерли, как динозавры, сразу же после окончания учебы. Да, я ещё кое-что о них помню. Только и всего.

Теперь немного бла-бла-бла на тему неопределенных интегралов. Чистый бред. Прошу не путать с заявлением о приеме меня в математики.

Очень интересен каламбур, написанный буковками под таблицей основных неопределенных интегралов. На первый взгляд получается, что первообразная на первообразной сидит и первообразной погоняет. Ясно, что записанное выражение и дураку понятно. Но бывают ещё и особо одаренные представители рода человеческого, типа меня. У меня просто мозги отключаются, когда я вижу или читаю подобные фразы. Наверное, инстинкт самосохранения срабатывает – мозг боится собственного вывиха. Долго вспоминал, где у меня лево, где право.

Через пару дней напряженной умственной работы, я пришел к выводу, что в левой части описывается ситуация, когда мы точно знаем, от какой первообразной функции мы получили производную. В правой части мы пытаемся угадать, какой первообразной функции принадлежит производная. На динозаврах это гораздо понятнее. Если у нас есть живой динозавр, то мы точно знаем, как он выглядит, и точно можем сказать, как через десятки миллионов лет будут выглядеть его останки. Но вот когда мы сегодня находим останки динозавров, мы не можем точно сказать, как они выглядели – окраску, голос, запах по останкам определить не возможно. Знак равенства стоит на том основании, что из всех возможных вариантов один точно правильный. В отличии от динозавров, математические функции математики представляют в абстрактном виде, вне времени – одновременно и настоящее, и будущее, и прошлое.

Теперь эта же мысль, но языком математических формул. Используем определение и свойства неопределенных интегралов. Возьмем первообразную функцию с константой и посмотрим, что происходит.

Первообразная функция

Здесь на первое место выступает порядок выполнения математических действий. Если мы сперва дифференцируем первообразную функцию, то константа теряется. После интегрирования её нужно восстанавливать для сохранения равенства. Если применить свойства неопределенного интеграла и взаимно сократить интегрирование и дифференцирование, то первообразная останется в своем первоначальном виде, с константой.

Здесь получается фокус с тузом в рукаве. В определении неопределенного интеграла константа является частью первообразной функции F(x) и отдельно не выделяется – туз спрятан в рукаве. После интегрирования мы добавляем константу, потерявшуюся при дифференцировании – туз достаем из рукава на всеобщее обозрение. В этом случае главным является не сам фокус, а факт присутствия туза у фокусника как до, так и после демонстрации трюка.

Что такое константа? Это число. Геометрически при помощи изменения константы можно сместить график функции F(x) вдоль оси игреков вниз или вверх. В определении неопределенного интеграла указано, что совокупность всех этих первообразных и представляет из себя этот злополучный интеграл. Но это только одна сторона медали.

В определении не указывается, что вся совокупность первообразных рассматривается в одной, кем-то когда-то выбранной, системе координат. А если мы выберем одну первообразную, тогда изменение константы будет смещать систему координат. С точки зрения выбранной первообразной, неопределенный интеграл – это совокупность всех систем координат, в которых может рассматриваться данная первообразная функция.

Чудеса относительности. Если мы сидим попой на поверхности Земли, то мы видим, как Солнце бегает по небу. Если мы сидим попой на Солнце (не бойтесь поджариться, ведь математика – абстрактная наука и позволяет сидеть на чем угодно), то мы видим, как Земля вращается вокруг собственной оси. Всё зависит от выбранной нами точки зрения, что в математике соответствует выбору системы координат.

С учетом относительности влияния константы на сладкую парочку “функция – система координат”, первое предложение в определении неопределенного интеграла можно записать так:

Неопределенный интеграл для функции f(x) – это совокупность всех первообразных данной функции или совокупность всех систем координат данной первообразной функции.

Не знаю, как посмотрят на такое развитие сюжета математики, но получилось слишком заумно. Всё это дело можно упростить, если отказаться от пыток восстановить константу в первообразной функции. Ещё раз проконтролируем свои действия. Если у нас есть первообразная функция с константой или без, мы можем точно сказать, как выглядит её производная. Если у нас есть производная, мы не можем точно сказать, от какой именно первообразной она получена.

Всё дело заключается в том, что при взятии производной происходит изменение системы координат. Если мы рассматриваем производную f(x) в измененной системе координат, то восстановить первоначальную систему координат первообразной функции F(x) невозможно. Нельзя воскресить мертвое. Вместо математической точности у нас получается гадание на кофейной гуще. И это гадание выражается в прибавлении константы к скелету первообразной функции.

Задачу эту можно решить на уровне задних парт третьего класса. Почему задних парт? Они находятся дальше всех от испепеляющего светоча знаний, льющегося с классной доски. Почему третьего класса? У них ещё не выработан благоговейный трепет перед учебниками. Просто начинаем фантазировать. Придумываем какое-нибудь новое определение и при помощи него разруливаем ситуацию.

Функция в собственной системе координат Fo(x) – это функция, у которой константа приравнивается к нулю. Так сказать, функция в собственном соку. Классическим примером функций в собственной системе координат можно считать тригонометрические функции. При изучении они рассматриваются без константы.

Поскольку определение неопределенного интеграла уже написано и правила хорошего тона настоятельно не рекомендуют его рихтовать, придумаем еще одно определение какой-нибудь промежуточной фигни. Пусть эта фигня будет называться “определенная первообразная“. Теперь берем определение неопределенного интеграла и на его основе пишем свое определение определенной первообразной.

Определенная первообразная для функции f(x) – это первообразная данной функции в собственной системе координат Fo(x). Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) – её первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a меньше x меньше b

Определенная первообразная

От определенной первообразной можно двигаться налево к неопределенному интегралу путем добавления константы или направо к определенному интегралу путем обозначения пределов интегрирования. Выглядит это приблизительно так.

Свойства определенной первообразной

В геометрическом смысле определенная первообразная является формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f(x) и прямой х=х. В последнем равенстве с левой стороны находится просто буква икс, обозначающая переменную, с правой стороны – её численное значение.

Дальше ещё несколько слов о константе в неопределенном интеграле. При дифференцировании функции константа превращается в ноль. В математике существует первая, вторая, третья и так далее, производные. Можно предположить, что столько же существует и неопределенных интегралов. Берем результат интегрирования и снова интегрируем. Вот что может получиться…

Ветхий Завет от Матана.

Вначале ничего не было. Потом было слово. Точнее, два слова – Неопределенный Интеграл. И создал Неопределенный Интеграл константу. А потом Он создал переменную. И стала переменная плюс константа. А потом Неопределенный Интеграл создал…

Первообразная константы

Вот так и появился этот мир, в котором мы живем. Аминь. Пардон, плюс константа.

Если вас не устраивает такая история сотворения мира, эти же формулы можно трактовать как историю Большого Взрыва. Ведь ученые уверяют, что началось всё с точки, то есть с нуля.

Сергей Манулов, давний друг этого сайта, предлагал мне опубликовать в одной таблице интегралы рядом с производными. Так действительно будет нагляднее и понятней. Но здесь есть два момента. Во-первых, таблица получится такой широкой, что в этот сайт явно не влезет. Во-вторых, насколько я помню, таблица производных несколько меньше, чем таблица интегралов. Ну не любят математики играть в производные. Кого интересует исследование всяких каракуль, пусть даже и обличенных в математические формулы? А вот игры в интегралы среди математиков очень даже популярны. По своей популярности они могут уступать разве что играм в комплексные числа. Наверное, так получается потому, что при помощи определенных интегралов можно находить площади криволинейных трапеций или что-то там ещё. Математики играют в свои любимые игрушки и вроде как полезным делом заняты.

Что нужно помнить о неопределенных интегралах? Как молитва заканчивается словом “Аминь”, так любой неопределенный интеграл заканчивается словами “плюс константа”.

www.webstaratel.ru

Таблица первообразных (“интегралов”). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл степенной функции.

Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.

Интеграл сложной экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.

Интеграл : “Длинный логарифм”.

Интеграл : “Высокий логарифм”.

Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),
в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.

Интеграл : “Высокий логарифм”.

Интеграл косинуса.

Интеграл синуса.

Интеграл, равный тангенсу.

Интеграл, равный котангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл равный косекансу.

Интеграл, равный секансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арккосекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx
– гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx
– гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому секансу.

Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

tehtab.ru

53)Вывести таблицу интегралов из определения неопределенного интеграла .

Таблица интегралов.

1) ∫x^αdx = +C (α≠-1)

= =x^α

2) α=-1 => ∫x^-1dx = ∫=ln|x|+C

ln|x|=ln(x) при x>0 и ln(-x) при x<0

(ln|x|)’= 1/x при x>0 и 1/x при x<0

∫= arctgx + C или –arctgx + C
∫=
∫= arcsinx + C или –arcsinx + C
∫= ln|x+|+C = (+)Arshx + Cили (-) Archx + C
∫a^xdx = + C
∫e^xdx = e^x+ C
∫sinxdx = -cosx + C
∫cosxdx = sinx + C
∫= tgx + C
∫= ctgx + С
∫shxdx = chx + C
∫chxdx = shx + C
∫= thx + C
∫= -cthx + C

Дополнение к таблице интегралов.

1) ∫=

∫= ∫==

2) ∫=

∫= ===

∫=

∫= ==

4) = arcsin+ C

= == arcsin+ C

5) = ln|x +| + C

= ==+ C =+C= ln|x +| – lna + C = ln|x +| + C₁

6) = ±+ C

= ==+ C = =±+ C

= |x=asint, dx=acostdt,=acost| == ====+ C = =+ C =+ C =,при cos²t=, sint=x/a, cost=, t=arcsin(x/a).

8) dx =

________________________________________________________________________

54) Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема: пусть ф-я x=ϕ(t) определена и дифференцируема на (α;β), а мн-во ее значений есть (a,b).

Пусть для ф-и f(x) на (a,b) существует первообразная F(x), т.е. ∫f(x)dx= F(x)+C.Тогда всюду на (α;β) существует первообразная для ф-и f(ϕ(t))*ϕ’(t) и имеет место ф-ла

∫f(x)dx = ∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = F(ϕ(t)) + C

Док-во: F(x) – первообразная для f(x). найдем дифференциал d(F(ϕ(t))+C)=(F(ϕ(t))+C)_t’dt = =F’(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt => ∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = F(ϕ(t))+C (1)

d(F(ϕ(t))+C)=f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt=f(x)dx при x=ϕ(t), ϕ’(t)dt=x_t’dt=dx

∫f(x)dx=f(ϕ(t))+C (2)

Объединяя (1) и (2)б, получаем:

∫f(x)dx=∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt=F(ϕ(t))+C. полученная ф-ла назыв. ф-лой замены переменной в неопределенном интеграле.

В некоторых примерах, когда под знаком корня стоят выр-я, содержащие x²б аналогичные замены ен приводят к верному решению. Для интегралов такого вида сещуствуют спец. Замены:

∫R(x,)dx =>замена x=asint, dx=arccost+dt(a>0)

= === a|cost| = acost

x=asint => sint = => t=arcsin, tϵ[], cost>0

∫R(x,)dx = ∫R(asint, acost)*acostdt

∫R(x,)dx =>замена x=asht, dx=acht+dt(a>0)

= === a|cht| = acht

ch²t – sh²t = 1

∫R(x,)dx = ∫R(asht, acht)*achtdt

Либо: x=atgt, dx=

= ===

1 + tg²t = 1 + =

x=atgt => tgt = => t = arctg, tϵ[]

∫R(x,)dx = ∫R(atgt,)

∫R(x,)dx =>замена x=acht, dx=ashtdtб либо x=

= === a|sht| = asht

∫R(x,)dx = ∫R(acht, asht)*ashtdt

Либо: x=,dx=

= === a|ctgt|= actgt.

=== ctg²t

∫R(,actgt)actgtdt.

________________________________________________________________________

55)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Теор.: пусть каждая из ф-й u(x) и v(x) определены и диффер. на (a,b) и пусть на этом мн-ве сущ. первообразная для ф-и u(x)*v’(x). Тогда на (a,b) сущ. первообразная для ф-и v(x)*u‘(x) и имеет место ф-ла ∫u(x)*v’(x)dx = uv – ∫v(x)*u’(x)dx или ∫udv = uv – ∫vdu.

Док-во: рассмотрим дифференциал d(uv) = vdu + udv

udv = d(uv) – vdu |∫ => ∫udv = ∫d(uv) – ∫vdu

∫udv = uv – ∫vdu – формула интегрирования по частям

Для применения этой формулы подынтегральные выр-я нужно представить в виде одной ф-и на дифференциал другой ф-и.

Применяется к ∫ след вида:

∫f(x)dx, где f(x) – обратная ф-я

f(x) = {lnx, ,arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx}, f(x)=u, dx=dv

∫f(x)P(x)dx, где f(x)= {lnx, ,arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx}, f(x)=u, P(x)dx=dv, P(x) – рациональная или иррациональная ф-я.
∫P(x)f(x)dx, где P(x)-многочлен, f(x) = {e^x, a^x, sinx, cosx, tgx, ctgx}, P(x)=г
∫e^axcosbxdx и ∫e^axsinbxdx – круговые интегралы.

Эти интегралы вычисляются 2 раза по частям. В результате двукратного применения ф-лы интегрирования по частям, в правой части получаем такой же интеграл, что и в левой. Вычисляем этот интеграл, решая алгебраическое уравнение. В круговых интегралах не важно, какую из ф-й обозначить за u.

e^iϕ=cosϕ+isinϕ, cosϕ=Re e^iϕ, sinϕ=Im e^iϕ. Re-действительная часть, Im-мнимая часть.

________________________________________________________________________

studfiles.net

Таблица Интегралов, таблица неопределенных интегралов

Таблица интегралов – удобна для всех тех, кто часто сталкивается с решением и вычислением интегралов. Представленные ниже таблицы неопределенных интегралов позволят Вам быстро и качественно научиться решать неопределенные и определенные интегралы, двойные интегралы, кратные интегралы, криволинейные интегралы.

Ниже представлена таблица неопределенных интегралов.
(Источник: Справочник по Высшей Математике М. Я. Выгодского)

Сюда не жать

Таблица интегралов для Функций, содержащих a+bx в целой степени и функции, содержащие: a²+x²; a²-x²; a+bx²