Теория пределы – Элементы высшей математики: Раздел 1. Теория пределов

Содержание

Теория пределов Лекция 2

Определение
предела последовательности

Обозначим через Nмножество натуральных чисел. Итак,N=.

Определение 2.Последовательностью
действительных чиселназывается
закон, согласно которому каждомуNставится в соответствие действительное
число,
называемое элементом последовательности.
Элементназывается общим членом последовательности.

Последовательность чаще всего задается
своим общим членом
.
Более подробно последовательностьвыписывают так:.

Пример 2.1) Расположим элементы
последовательности с общим членомна действительной прямой:

Мы видим, что
элементы этой последовательности с
ростом nприближаются
к точке 0 на сколь угодно малое расстояние.
Говорят также, что последовательность»сгущается» около точки 0, или
«стремится» к точке 0. Мы увидим,
что в соответствие с точным определением,
которое будет дано чуть позже, число 0
является пределом последовательности.

2) Рассмотрим теперь следующую
последовательность:
.
Имеем:.
Нанесем эти элементы на числовую прямую:

Нечетные
элементы этой последовательности
сгущаются вокруг точки –1, а четные –
вокруг точки 1. То есть не существует
однойтакой точки, вокруг которой
сгущались бы все члены данной
последовательности с ростомn.
О такого сорта последовательностях
говорят, что они не имеют предела
(расходятся).

3) Члены последовательности
с ростомnуходят все
дальше и дальше вправо на числовой
прямой:

О такой
последовательности мы будем говорить,
что ее предел равен
,
или что она расходится к.
Аналогично, о последовательности,
члены которой с ростомnуходят все дальше и дальше влево на
числовой прямой, говорят, что ее предел
равен,
или что она расходится к.

4) Члены последовательности
,
перескакивая с одной стороны осиOxна другую, с ростомnтакже удаляются на все большее и большее
расстояние от начала координат:

Так как
элементы
не сохраняют определенный знак, то в
этом случае будем говорить, что предел
данной последовательности равен(то есть перед символомне будем ставить никакой знак).

Перед тем, как перейти к строгим
определениям, напомним обозначения
двух логических символов, с помощью
которых сокращают некоторые записи. А
именно, вместо фраз «для любого»,
«для всякого», «для каждого»
часто записывают символ
;
вместо слов «существует», «существуют»
записывают символ.
Кроме того, греческими буквамиимы будем всегда обозначать положительные
переменные, могущие принимать сколь
угодно малые значения.

Определение 3.
окрестностью точкиназывается множество точек,
удовлетворяющих неравенству(которое, как известно, равносильно
двойному неравенству).

Геометрически

окрестность точкипредставляет собой открытый интервалчисловой прямой:

Определение 4.1) Числоназывается пределом последовательности,
если(N– натуральное
число), такое, чточислопопадает в-
окрестность точкиa,
то есть выполняется неравенство:

.

(2)

Тот факт, что
aесть пределобозначается следующим образом:.

2) В случае,
если не существует числа
,
удовлетворяющего пункту 1) данного
определения, говорят что последовательностьрасходится (не имеет конечного предела).

3) Если
(M– сколь угодно
большое число),
такое, что(соответственно,),
то говорят, что последовательностьрасходится к(соответственно, расходится к),
и этот факт обозначают следующим образом:(соответственно,).

4) Если
(M– сколь угодно
большое число),
такое, что,
то говорят, что последовательностьрасходится к,
и этот факт обозначают следующим образом:.

Читателю предлагается доказать, что
последовательности, взятые из пунктов
1)–4) примера 2, соответственно удовлетворяют
пунктам 1)–4) определения 4, то есть, что
,не существует,.

Свойства
предела последовательности

1. Предел
константы равен самой этой константе,
то есть если
N
,
то

.

2. Предел суммы
двух последовательностей равен сумме
пределов этих последовательностей, то
есть если
исуществуют, то

3. Постоянный
множитель можно вынести за знак предела,
то есть если
исуществует, то

.

4. Предел
произведения двух последовательностей
равен произведению пределов этих
последовательностей, то есть если
исуществуют, то

.

5. Предел
частного двух последовательностей
равен частному пределов этих
последовательностей, то есть если
исуществуют и,
то

.

6. Если члены
одной последовательности не превышают
соответствующих членов другой
последовательности, то и предел первой
последовательности не превышает предела
второй последовательности, то есть если
Nи пределыисуществуют, то

.

Заметим, что если выполняется строгое
неравенство
,
то после перехода к пределу может
получится равенство. Например, если,
а,
то,
однако.
Таким образом, в общем случае следствием
неравенстваявляется нестрогое неравенство.

7. Если
==aиN
,
то предел последовательностисуществует и

.

8. Если
последовательность
ограничена (то есть,
такое, чтоN,
а,
то

.

Доказательства свойств 1–6 мы опускаем.
Их можно найти в любом учебнике по
математическому анализу. Докажем лишь
свойства 7 и 8.

Доказательствосвойства 7.
Пользуясь определением 4, распишем тот
факт, что:.
Точно то же сделаем для:.
Положим.
Тогда при
два полученные двойные неравенства
выполняются одновременно и, следовательно,
имеем:

.

Доказательствосвойства 8. Прежде
всего отметим, что равенстворавносильно равенству.
Имеем:.
Так как,
то по свойству 7.

Монотонные
последовательности

Определение 5.Последовательностьназывается монотонно возрастающей
(соответственно, монотонно убывающей),
еслиN(соответственно,).
ЕслиNвыполняются соответствующие строгие
неравенства, то говорят о строгом
возрастании и строгом убывании
последовательности.

Например, в примере 2 последовательность
1) строго монотонно убывает, последовательность
из пункта 3) строго монотонно возрастает,
а последовательность 2) не является
монотонной. Для монотонных последовательностей
справедлива следующая теорема,
доказательство которой выходит за рамки
нашей программы.

Теорема 1.1) Если последовательностьмонотонно возрастает и ограничена
сверху (то есть,
такое, чтоN,
то данная последовательность имеет
предел, причем.

2) Если последовательность
монотонно убывает и ограничена снизу
(то есть,
такое, чтоN,
то данная последовательность имеет
предел, причем.

Пример 3.Рассмотрим последовательность.
Используя формулу бинома Ньютона и
формулу суммы геометрической прогрессии,
можно доказать (доказательство не
слишком простое), что эта последовательность
монотонно возрастает и ограничена
сверху числомM=3. По
теореме 1 данная последовательность
имеет предел, который, следуя Л.Эйлеру,
обозначают буквойe.
Приближенное значение числаeтаково:.

Определение 6.Число

.

(3)

называется
числом Эйлера. 

При изучении понятия предела функции
нам понадобится следующее

Определение 7.Говорят, что
последовательностьстрогостремится к числу,
еслииNвыполняется неравенство.

Например, последовательность
из пункта 1) примера 2 стремится к нулю
строго. Предел же последовательности,
как это следует из свойства 8 пределов
последовательностей, равен нулю. Однаконе стремится к нулю строго, так как при
нечетныхn.

studfiles.net

3 Становление теории предела. Зарождение и создание теории действительного числа

Похожие главы из других работ:

Аксиоматический метод

1.2 Понятие аксиоматической теории

Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем…

Дифференциальные свойства гиперболических функций

2.2 Замена переменного при вычислении предела

Теорема 1. Если существуют причем для всех из некоторой проколотой окрестности точки выполняется условие , то в точке существует предел сложной функции и справедливо

Согласно определению предела, функции и определены соответственно в и…

Жизнь и научная деятельность Андрея Николаевича Колмогорова

2.2 СТУДЕНЧЕСКИЕ ГОДЫ КОЛМОГОРОВА. СТАНОВЛЕНИЕ В НАУКЕ

Когда в 1920 году Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Время было голодное и тревожное. Юноше хотелось получить не только знания, но и профессию, ремесло…

Линейное программирование

2. Становление линейного программирования

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему получения наибольшего эффекта, при затрате ограниченных средств. К сожалению, наши средства и ресурсы всегда ограничены, приходится действовать очень обдуманно, ответственно…

Математика в современном мире

2. Аксиоматический метод построения научной теории. Начала Евклида как образец аксиоматического построения научной теории. История создания неевклидовой геометрии

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых…

Математические методы и модели в решении задач по экономике

Задание 3. Элементы теории игр

Найти решение игры заданной матрицей:

Нижняя цена игры: Верхняя цена игры:

Матрица игры имеет седловую точку V = 4. Из систем уравнений:

Таким образом…

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

1.3 Определение предела числовой последовательности

Понятие предела — фундаментальное понятие математического анализа.

Геометрический смысл понятия предела: известно, что неравенство < е задает часть числовой оси, лежащую между точками a — е и a + е…

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

1.4 Свойства предела последовательности

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Пусть последовательность xn сходится. Предположим, что её предел не является единственным, то есть что одновременно верны равенства:

xn = b иxn = c, где bc…

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

Глава II. Практическое приложение предела последовательности, свойств предела, теоремы Штольца

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

2.1 Примеры вычисления предела последовательности

числовой последовательность предел штольц

Пример 1. Доказать, что = .

Решение. Рассмотрим последовательность an = -. Имеем

an = =.

Поскольку an = — бесконечно малая последовательность. Это означает, что

= .

Ответ: = .

Пример 2. Вычислить предел .

Решение…

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

2.3 Применение предела последовательности в физике и геометрии

Нам знакомы приложения теории пределов в геометрии. Например, площадь круга, объем цилиндра, конуса и шара были определены, а затем и вычислены как соответствующие пределы.

Укажем другой способ использования понятия предела в решении задач…

Применение методов дискретной математики в экономике

2. Применение теории графов

Различные определения интеграла Римана и их сравнения

§1. Определение интеграла как предела интегральных сумм Римана

Разбиением множества Mпринято называть совокупность его подмножествсо свойствами:

1) ;

2) .

В дальнейшем роль множества Mу нас будет играть промежуток , а разбиения мы будем рассматривать только некоторого специального типа. А именно…

Теория вероятности

3. Аксиомы теории вероятности

Суммой двух событий А и В называется событие АВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно)…

Теория нумераций

О теории нумераций

Представляется желательным, чтобы все исследования в теории алгоритмов и ее приложениях проводились на основе «общего знаменателя» — класса всех частично рекурсивных функций…

math.bobrodobro.ru

Теория пределов и непрерывность




⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Числовая последовательность.

Переменная, пробегающая числовую последовательность

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число xn, т. е.

1, 2, 3, 4, …, n, …

x1, x2, x3, x4, …, xn, …

 

то говорят, что задана числовая последовательность с общим членом xn. В дальнейшем будем говорить, что задана переменная x, пробегающая числовую последовательность с общим членом xn. В этом случае эту переменную будем обозначать xn. Значения переменной xn изображаются точками на числовой оси.

Например, даны переменные:

: или ;

 

    
 
 
  

 

 

: 1, 4, 6, …, 2n ..

 

 

Число а называется пределом переменнойxn, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое натуральное число N, что все значения переменной xn, у которых номер n больше числа N, удовлетворяют неравенству .

Этот факт символически записывается так:

или

 

Геометрически это означает, что точки, изображающие значения переменной xn, сгущаются, накапливаются около точки а.

Отметим, что если переменная имеет предел, то он единственный. Предел постоянной, есть сама постоянная, т.е. , если c=const. Переменная может вовсе не иметь предела.

Например, переменная xn=(-1)n не имеет предела, т.е. нет единственного числа, около которого накапливаются значения переменной. Геометрически это очевидно .

 

Ограниченная переменная

Переменная xn называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что |xn| < M для всех номеров n.

Дана переменная . В качестве числа М можно взять, например, 3. Очевидно, что для всех номеров n. Следовательно, – ограниченная переменная.

Переменная xn = 2n является неограниченной, т.к. с ростом номера n ее значения увеличиваются и нельзя подобрать такое число M > 0, чтобы |2n| < M для всех номеров n.

 

Теорема. Если переменная имеет конечный предел, то она ограничена.

Обратная теорема неверна.

Бесконечно малые величины

Переменная xn называется бесконечно малой, если ее предел равен 0.

Например, бесконечно малыми являются величины:


, так как ;

, так как

Величина не является бесконечно малой, это величина конечная.

Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой на постоянную величину или на бесконечно малую или на величину, имеющую конечный предел, есть величина бесконечно малая.

 

 

Бесконечно большие величины

Переменная xn называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа A>0, найдется такое натуральное число N, что все значения переменной xn, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству .

В этом случае пишут или .

Например, бесконечно большими являются переменные:

xn = n2 : 1,4,9,16,…; xn = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

xn= (-1)n×n : -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

Видно, что модули значений этих переменных неограниченно возрастают.

, , .

 

Произведение бесконечно большой на бесконечно большую или на величину, имеющую предел, есть бесконечно большая величина.

Сумма бесконечно больших одного знака есть бесконечно большая.

Величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая.

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая.

 

Замечание.

Если , а – число, то говорят, что xn имеет конечный предел.

Если , то говорят, что xn имеет бесконечный предел.

 

 

Арифметические действия над переменными величинами

Если переменные xn и yn имеют конечные пределы, то их сумма, разность, произведение и частное также имеют конечные пределы, причем, если и , то

(4.1)

(4.2)

(4.3)

 

Замечание: , c = const.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Функция

 

Пусть даны две переменные x и y.

Переменная y называется функциейот переменной x , если каждому значению x из некоторого множества по определенному закону соответствует определенное значение y.



При этом x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимая переменная или функция. Обозначается: y = f(x) или y=y(x).

Множество значений x, для которых определяются значения функции y, называется областью определения функции. На числовой оси – это какой-то промежуток: отрезок [a,b], если ; интервал (a,b), если , , если .

Множество значений, которые принимает функция, называется областью значений (изменения функции).

Предел функции

 

Пусть функция y = f(x) задана в некотором промежутке, за исключением может быть точки а этого промежутка. Пусть , при этом x может принимать значения любой переменной xn, стремящейся к а, .

Число А называется пределом функции f(x) при , если при любом способе стремления x к а, соответствующие значения функции f(x) стремятся к А.

Обозначается так: или при .

Вся теория пределов, построенная для переменной xn, распространяется и на функцию.

 

Примеры.

1)

 

по формуле (4.1)

 

 

При вычислении предела функции вместо x подставили его предельное значение 2.

 

2)

 

Отметим, что .

 



Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Теория пределов — это… Что такое Теория пределов?

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Число называется пределом последовательности , если , , : . Предел последовательности обозначается . Куда именно стремится , можно не указывать, поскольку , оно может стремиться только к .

Свойства:

Предел функции

Основная статья: Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если существует , такое что выполняется .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, , если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть  — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности (например, метрическое пространство). Пусть  — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки лежат почти все члены последовательности то есть

dic.academic.ru

Теория пределов Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История

Основной источник: [1]

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в
основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Предел последовательности

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…} , если

∀{\displaystyle \forall } ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} , ∃{\displaystyle \exists } N(ϵ){\displaystyle N(\epsilon )} , ∀{\displaystyle \forall } n>N(ϵ){\displaystyle n>N(\epsilon )}: |xn−a|<ϵ{\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon }.

Предел последовательности обозначается limn→+∞xn{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}. Куда именно стремится n{\displaystyle n}, можно не указывать, поскольку n{\displaystyle n} ∈N{\displaystyle \in \mathbb {N} }, оно может стремиться только к +∞{\displaystyle +\infty }.

Свойства:

Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L{\displaystyle L}.

Функция f(x){\displaystyle f(x)} имеет предел A{\displaystyle A} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, если для всех значений x{\displaystyle x}, достаточно близких к x0{\displaystyle x_{0}}, значение f(x){\displaystyle f(x)} близко к A{\displaystyle A}.

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ϵ>0{\displaystyle \forall \epsilon >0} существует δ>0{\displaystyle \delta >0}, такое что ∀x,0<|x−a|<δ{\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется |f(x)−b|<ϵ{\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon }.

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, limx→x0(f(x)+g(x))=limx→x0f(x)+limx→x0g(x){\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}, если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть X{\displaystyle X} — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U{\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть xi∈X{\displaystyle x_{i}\in X} — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x∈X{\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x{\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀U(x)∃n∀i>nxi∈U(x){\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}

См. также

Примечания

  1. ↑ А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».

wikiredia.ru

Теория пределов Вики

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История[ | код]

Основной источник: [1]

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в
основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Предел последовательности[ | код]

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…} , если

∀{\displaystyle \forall } ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} , ∃{\displaystyle \exists } N(ϵ){\displaystyle N(\epsilon )} , ∀{\displaystyle \forall } n>N(ϵ){\displaystyle n>N(\epsilon )}: |xn−a|<ϵ{\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon }.

Предел последовательности обозначается limn→+∞xn{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}. Куда именно стремится n{\displaystyle n}, можно не указывать, поскольку n{\displaystyle n} ∈N{\displaystyle \in \mathbb {N} }, оно может стремиться только к +∞{\displaystyle +\infty }.

Свойства:

Предел функции[ | код]

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L{\displaystyle L}.

Функция f(x){\displaystyle f(x)} имеет предел A{\displaystyle A} в точке x0{\displaystyle x_{0}}, если для всех значений x{\displaystyle x}, достаточно близких к x0{\displaystyle x_{0}}, значение f(x){\displaystyle f(x)} близко к A{\displaystyle A}.

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ϵ>0{\displaystyle \forall \epsilon >0} существует δ>0{\displaystyle \delta >0}, такое что ∀x,0<|x−a|<δ{\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется |f(x)−b|<ϵ{\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon }.

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, limx→x0(f(x)+g(x))=limx→x0f(x)+limx→x0g(x){\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}, если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности[ | код]

Пусть X{\displaystyle X} — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U{\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть xi∈X{\displaystyle x_{i}\in X} — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x∈X{\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x{\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀U(x)∃n∀i>nxi∈U(x){\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}

См. также[ | код]

Примечания[ | код]

  1. ↑ А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».

ru.wikibedia.ru

Теория пределов Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История[ | ]

Основной источник: [1]

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в
основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Предел последовательности[ | ]

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число a{\displaystyle a} называется пределом последовательности x1,x2,…,xn,…{\displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…} , если

∀{\displaystyle \forall } ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} , ∃{\displaystyle \exists } N(ϵ){\displaystyle N(\epsilon )}

ru-wiki.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о