Указать знак производных функций – Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Исследование функций

Исследование функций. В этой статье мы поговорим о задачах, в которых рассматриваются функции и в условии стоят вопросы связанные с их исследованием. Рассмотрим основные теоретические моменты, которые необходимо знать и понимать для их решения.

Это целая группа задач входящих в ЕГЭ по математике. Обычно ставится вопрос о нахождении точек максимума (минимума) или определения наибольшего (наименьшего) значения функции на заданном интервале. Рассматриваются:

— Степенные и иррациональные функции.      

— Рациональные функции.     

— Исследование произведений и частных.    

— Логарифмические функции.         

— Тригонометрические функции.

Если вы поняли теорию пределов, понятие производной, свойства производной  для исследования графиков функций и её геометрический смысл, то такие задачи  никакого затруднения у вас  не вызовут и  вы решите их с лёгкостью.

Информация ниже — это теоретические моменты, понимание которых позволит осознать, как решать подобные задачи. Постараюсь изложить их именно так, чтобы даже тот, кто эту тему пропустил или изучил слабо, смог без особых затруднений решать подобные задачи.

В задачах данной группы, как уже сказано, требуется найти либо точку минимума (максимума) функции, либо наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале.

Точки минимума, максимума. Свойства производной.

Рассмотрим график функции:

Точка А – это точка максимума, на интервале от О до А  функция возрастает, на интервале от А до В  убывает.

Точка В – это точка минимума, на интервале от А до В  функция убывает,  на интервале от В до С возрастает.

В данных точках (А и В) производная обращается в нуль (равна нулю).  

Касательные в этих точках параллельны оси   ox.

Добавлю, что точки, в которых функция меняет своё поведение с возрастания на убывание (и наоборот, с убывания на возрастание), называются экстремумами.

Важный момент:

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (при подстановке значения из интервала в производную получается положительное число).

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (при подстановке значения из интервала в выражение производной получается отрицательное  число). 

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение,  то график функции на этом интервале убывает. 

Это надо чётко уяснить!!!

Таким образом, вычислив производную и приравняв её к нулю, можно найти точки, которые разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов  можно определить знак производной и далее сделать вывод о её возрастании или убывании.

*Отдельно следует сказать о точках, в которых производая не существует. Например, можем получить производную, знаменатель которой при определённом х обращается в нуль. Понятно, что при таком х производная не существует. Так вот, данную точку также необходимо учитывать при определени  интервалов возрастания (убывания).

Функция в точках, где производная  равна  нулю меняет свой знак не всегда. Об этом будет отдельная статья. На самом ЕГЭ таких задач не будет.

Вышеизложенные свойства необходимы для исследования поведения функции на возрастание и убывание.

Что ещё необходимо знать для решения оговоренных задач: таблицу производных  и  правила дифференцирования. Без этого никак. Это базовые знания, в теме производной. Производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Вычисляя производную сложной функции f(g(x)), представьте, что функция g(x)  это переменная и далее вычисляйте производную f’(g(x)) по табличным формулам как обычную производную от переменной. Затем полученный результат умножьте на производную функции g(x).

 Посмотрите видеоурок Максима Семенихина о сложной функции:

Исследование функций

Задачи на нахождение точек максимума и минимума

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции: 

1.  Находим производную функции f’(x).

2. Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f’(x)=0  и решаем полученное уравнение). Также находим точки в которых производная не существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).

3.  Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в выражение производной.

4.  Далее делаем вывод.

Вывод будет один из двух:

1. Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с положительного на отрицательное.

2. Точка минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного на положительное.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения

функции на интервале.

В другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1. Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f’(x), затем решаем f’(x)=0  (пункты 1 и 2 из предыдущего алгоритма).

2.  Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и записываем  лежащие в его пределах.

3.  Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную  в условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в пределах интервала (п.2).

4.  Вычисляем значения функции.

5.  Выбираем из полученных наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от того, какой  вопрос был поставлен в задаче и  далее записываем ответ.

Вопрос: для чего в задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции необходимо искать точки максимума (минимума)?

Ответ лучше всего это проиллюстрировать, посмотрите схематичное изображение  графиков, задаваемых функций:

 

В случаях 1 и 2 достаточно подставить границы интервала, чтобы определить наибольшее или наименьшее значение функции. В случаях 3 и 4 необходимо найти нули функции (точки максимума-минимума). Если мы подставим границы интервала (не находя нули функции),  то получим неверный ответ, это видно по графикам.

И всё дело в том, что мы по заданной функции не можем увидеть как выглядит график на интервале (имеет ли он максимум или минимум в пределах интервала). Потому находите нули функции обязательно!!!

Если уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения, это значит, что точек максимума-минимума  нет (рисунок 1,2), и для нахождения поставленной задачи в данную функцию подставляем только границы интервала.

Ещё один важный момент. Помните, что ответом должно быть целое число или конечная десятичная дробь. При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции вы будете получать выражения с числом е и Пи, а также выражения с корнем. Запомните, что до конца вам их вычислять не нужно, и так понятно, что результат  таких выражений ответом являться не  будет. Если возникнет желание  вычислить такое значение, то  сделайте это  (числа:  е ≈ 2,71   Пи ≈ 3,14 ).

Много написал, запутал наверное? По конкретным примерам  вы увидите, что всё просто.

Далее хочу открыть вам маленький секрет. Дело в том, что многие задания можно решить без знания свойств производной и даже без правил дифференцирования. Об этих нюансах я вам обязательно расскажу и покажу как это делается? не пропустите!

Но тогда зачем же я вообще изложил теорию и ещё сказал, что её нужно знать обязательно. Всё верно – знать надо.  Если её поймёте, тогда никакая задача в этой теме в тупик вас не поставит.

Те «хитрости», о которых вы узнаете, помогут вам при решении  конкретных (некоторых) прототипов задач. Как дополнительный инструмент эти приёмы использовать, конечно, удобно. Задачу можно решить в 2-3 раза быстрее и сэкономить время на решение части С.

Всего доброго!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

График производной функции

С помощью графика производной функции можно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции Для этого достаточно помнить, что:

1. функция возрастает на промежутках, где производная
2. функция убывает на промежутках, где производная
3. функция имеет критические точки, где производная или не существует.

   Замечание. Это верно только для внутренних точек области определения, точки на концах области определения не рассматриваются.

4. функция имеет точки экстремума там, где производная меняет свой знак. В частности, функция имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус; и точки минимума – там, где производная меняет знак с минуса на плюс.

Примеры работы с графиками производной

Замечание. Таким образом, точками экстремума на графике производной являются те точки, в которых график не касается, а пересекает ось абсцисс.

По графику производной можно не только исследовать поведение функции , но и попытаться схематически построить ее график. Поскольку для одной функции первообразных существует бесконечное множество, график функции по графику производной можно построить лишь схематично: точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции можно определить можно, а нули функции и экстремумы – нет.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике – Элементы математического анализа

Выпуклые вверх функции

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вверх на интервале   (a, b),  если для любых двух точек таких, что   x₁ x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен выше отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале   (a, b) .

Рис.1

      Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на , является функция   y = – x²   (рис. 2).

Рис.2

Выпуклые вниз функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вниз на интервале   (a, b),   если для любых двух точек таких, что   x₁ x₂ ,   график функции   y = f (x)   расположен ниже отрезка, соединяющего точки   A₁ = (x₁;  f (x₁))   и   A₂ = (x₂;  f (x₂)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале   (a, b) .

Рис.3

      Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на , является функция   y = x²   (рис. 4).

Рис.4

Вторая производная функции

      Определение 3. Если у функции   y = f (x)   существует производная в некоторой точке   x₀ ,   то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Пусть у функции   y = f (x)   существует производная во всех точках . Тогда, вычисляя в каждой точке производную   f ‘ (x),   мы получим функцию   y = f ‘ (x).   Если у функции   y = f ‘ (x)   существует производная в некоторой точке   x₀   интервала   (a, b),   то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции   y = f (x)   в точке   x₀ .

      Для производной второго порядка   y = f (x)   используются обозначения:

      Например,

      Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции   f (x),   можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

      При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

      Утверждение 1. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f ” (x) > 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вниз на интервале   (a, b).

      Утверждение 2. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех выполнено условие

f ” (x) < 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вверх на интервале   (a, b).

      Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

      Пример 3. Функция   y = ln x   на интервале удовлетворяет условию

      В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция   y = ln x   выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения .

Рис.5

      Пример 4. Функция   y = e ^x   на интервале удовлетворяет условию

и, в силу утверждения 1, функция   y = e ^x   выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения .

Рис.6

Точки перегиба

      Определение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ .   Говорят, что при переходе через точку   x₀   функция   f (x)   меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

(a, x₀)   и   (x₀,  b)

функция выпукла вверх, а на другом – выпукла вниз.

      Определение 5. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , а у графика функции   в точке   (x₀;  f (x₀))   существует касательная. Если функция   f (x)   при переходе через точку   x₀   меняет направление выпуклости, то точку   x₀   называют точкой перегиба функции   f (x) .

      Замечание 1 . Если   x₀   – точка перегиба функции   y = f (x),   то график функции   y = f (x)   при переходе через точку   x₀   переходит с одной стороны от касательной в точке   (x₀;  f (x₀))   на другую сторону от касательной, то есть «перегибается» через касательную.

      Пример 5. Рассмотрим функцию   y = x³,   график которой изображен на рисунке 7.

Рис.7

      Поскольку

y (0) = 0,   y’ (0) = 0,

то прямая   y = 0   (ось абсцисс   Ox )   является касательной к графику функции   y = x³   в точке   (0; 0).

      Кроме того,

      Поэтому   y” > 0   при   x > 0   и   y” < 0   при   x < 0 .   Таким образом, функция   y = x³   выпукла вверх при   x < 0   и выпукла вниз при   x > 0 ,   и точка   x = 0   является точкой перегиба графика функции   y = x³.   График функции   y = x³   при переходе через точку   x = 0   переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную   y = 0 .

Необходимые условия для существования точки перегиба

      Утверждение 3. Если точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   то в точке   x₀   либо вторая производная   f ” (x) = 0 ,   либо   f ” (x)   не существует.

      Замечание 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

      Действительно, рассмотрим функцию   y = x⁴,   график которой изображен на рисунке 8.

Рис.8

      Вычисляя вторую производную этой функции

замечаем, что   y ” (0) = 0 ,   однако точка   x = 0   не является точкой перегиба графика функции   y = x⁴,   так как функция   y = x⁴   выпукла вниз, как при   x < 0 ,   так и при   x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

      Утверждение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x₀ , имеет первую производную в каждой точке интервала   (a, b)   и имеет вторую производную в каждой точке интервала   (a, b)   за исключением, быть может, самой точки   x₀ .

      Если для точек выполнено условие:

f ” (x) > 0   при   x < x₀   и   f ” (x) < 0   при   x > x₀ ,

либо выполнено условие:

f ” (x) < 0   при   x < x₀   и   f ” (x) > 0   при   x > x₀ ,

то точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x).

      Другими словами, точка   x₀   является точкой перегиба графика функции   f (x),   если при переходе через точку   x₀   вторая производная функции меняет свой знак.

      Пример 6. Найти интервалы, на которых функция

y (x) = x⁴ – 6x³ + 12x²

выпукла вверх, а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

      Решение. Вычислим вторую производную функции:

y’ (x) = 4x³ – 18x² + 24x ,

y” (x) = 12x² – 36x + 24 = 12(x² – 3x + 2) = 12(x – 1) (x – 2) .

y” (x) = 12x² – 36x + 24 =
= 12(x² – 3x + 2) =
= 12(x – 1) (x – 2) .

      Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках и обращается в нуль в точках   x = 1   и   x = 2 . Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y” (x)

Рис.9

      При переходе через точку   x = 1   вторая производная функции   y” (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно,   x = 1   – точка перегиба графика функции.

      При переходе через точку   x = 2   вторая производная функции   y” (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 2   также является точкой перегиба графика функции.

      При и при вторая производная функции   y” (x) > 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вниз на этих интервалах.

      При вторая производная функции   y” (x) < 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вверх на интервале   (1, 2) .

    &nbsp ;На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Применение производной для исследования функции

Без производной невозможно определить промежутки возрастания и убывания функции, точки перегиба, если таковые существуют. Суть таких исследований – облегчить построение графика функции, ведь если Вы нашли указанные промежутки то на их границах функция имеет локальные экстремумы и остается найти в них значения и построить график функции. Правила нахождение интервалов возрастания функции достаточно просты и понятны каждому.

Признак возрастания функции

Если производная функции больше нуля f ‘(x)> 0 на некотором промежутке то функция f (x) возрастает на этом промежутке.

И обратное утверждение.

Признак убывания функции

Если производная функции отрицательная f ‘(x) <0 на некотором интервале то функция f (x) приходит в данном интервале.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
f(x)=x^3-6*x ^ 2 – 15x.
Решение: Вычисляем производную функции по переменной

Приравняем производную к нулю и определяем стационарные точки

По теореме Виета корни квадратного уравнения равны x = 1; x = 5.
Точки разбивают числовую ось на три интервала

Знак производной определяем подстановкой точки из интервала.

Запомните: для быстрого определения знака производной всегда выбирайте ноль если он не является стационарной точкой или иную точку, в которой легко вычислить значение производной.

В нуле производная меньше нуля

следовательно на интервале (-1; 5) функция убывает, а на двух соседних растет.

График функции имеет вид

Пример 2. Исследовать функцию f (x) = x ^ 4-8 * x ^ 2 – 5 и найти промежутки возрастания.
Решение: Заданная функция парная

Найдем интервалы монотонности функции. Для этого вычислим производную


Получили три точки которые разбивают числовую ось на 4 интервала

Знак производной определяем подстановкой единицы

Таким образом интервале (0, 2) функция убывает, на соседних интервалах знаки производной чередуются

В ответе получим 2 интервала возрастания функции

Для наглядности график функции приведен ниже

Другое применение производной относится к нахождению интервалов выпуклости и вмятины графика функции. При этом нужно находить вторую производную и выполнять соответствующий анализ.

yukhym.com

знак производной – это… Что такое знак производной?



знак производной

мат. derivative sign

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• знак произведения
• знак пропорциональности

Смотреть что такое “знак производной” в других словарях:

• дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения Δу = у1 – у0 функции к приращению Δх = x1 – х0 аргумента при Δх …   Энциклопедический словарь

• ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 y0 функции к приращению ?x = x1 x0 аргумента при ?x,… …   Большой Энциклопедический словарь

• ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств ф ций. Производной ф ции у = f(x) наз. предел отношения приращения дельта y = у1 y0 ф ции к приращению дельта х = х1 х0 аргумента при дельта х …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Дифференциальное исчисление — Дифференциальное исчисление. Проведение касательной к графику функции y=f(x) в точке M. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

• Дифференцирование функции — [ derivation  ] — операция определения производной рассматриваемой функции. Например, производная линейной функции (bx + a )’ = b, то есть является константой; производная  степенной функции ( xn)’ =  axn 1  ( х>0), то есть… …   Экономико-математический словарь

• дифференцирование функции — Операция определения производной рассматриваемой функции. Например, производная линейной функции (bx+a)?=b, то есть является константой; производная степенной функции (xn)?=axn 1 (х>0), то есть дифференцирование степенной функции уменьшает ее… …   Справочник технического переводчика

• Сопло Лаваля — Истечение сверхзвуковой струи из сопла ракетного двигателя RS 68 на огневых испытаниях. NASA, США. Сопло Лаваля  техническое приспособление, разгоняющее проходящий по нему га …   Википедия

• Сверхзвуковое сопло — Истечение сверхзвуковой струи из сопла ракетного двигателя RS 68 на огневых испытаниях. NASA, США. Сопло Лаваля техническое приспособление, которое служит для ускорения газового потока проходящего по нему до скоростей, превышающих скорость звука …   Википедия

• ОСМОС — (от греч. толчок, давление), самопроизвольный перенос в ва через полупроницаемую мембрану, разделяющую два р ра разл. концентрации или чистый р ритель и р р. Наиб. часто происходит переход р рителя через полупроницаемую мембрану, не пропускающую… …   Химическая энциклопедия

• Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… …   Физическая энциклопедия

dic.academic.ru