Уравнения физические – Физические законы и уравнения | Физика. Закон, формула, лекция, шпаргалка, шпора, доклад, ГДЗ, решебник, конспект, кратко

Уравнения математической физики, с примерами

Дифференциальные уравнения математической физики

Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики.

Каждое уравнение математической физики описывает бесконечное множество качественно аналогичных явлений или процессов, так как дифференциальные уравнения, которыми занимается математическая физика, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий.

Общий вид дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестной искомой функции таков:

   

Если F является линейной функцией относительно старших производных, то есть:

   

   

данное уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением.

Если функции не зависят от u, а зависимость P от u линейна, то есть , тогда уравнение (2) называется линейным. Если , то уравнение (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

Решений уравнений математической физики

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

   

Для получения общего решения уравнения (3) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

   

Если с=0, то система сводится к одному уравнению .

Если общий интеграл уравнения, тогда – общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка

Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных. Методы решения уравнений математической физики зависят от типа к которому принадлежит рассматриваемое уравнение. Выделяют три основных типа дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, поиск решения которых имеют качественные различия: уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов.

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:

   

где a, b, c некоторые функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.

Уравнение (5) принадлежит в точке (x, y)

  1. параболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

       

    где — независимые переменные. Кроме того — дважды дифференцируемая функция в рассматриваемой области. Уравнение (6) так же как и уравнение теплопроводности имеет только один член высшей производной.

  2. гиперболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

    первая каноническая форма:

       

    где — независимые переменные,

    вторая каноническая форма:

       

    где . Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения.

  3. эллиптическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

       

    где — независимые переменные. Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения Лапласа.

Для того чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, надо записать так называемое характеристическое уравнение (10):

   

которое распадается на два уравнения:

   

   

и найти их общие интегралы.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

   

где

   

   

Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся тепловые, диффузионные процессы, которые зависят от времени.

Уравнение (13) называют однородным, если =0.

Довольно часто при решении уравнения (13) ставят так называемую задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (13) (при -эвклидово пространство) и начальном условии w=f(x) при t=0 и граничному условию:

   

В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка по пространственным переменным, коэффициенты которого зависят от x и t.

Начальное условие называют однородным, если f(x)=0. Граничное условие называют однородным, если .

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

   

где линейный дифференциальный оператор определен формулам (14). Уравнениями гиперболического типа описываются неустановившиеся волновые процессы, зависящие от времени.

При решении уравнения (15) ставят задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (15) (при и начальным условиям:

   

   

Граничные условия задаются (14).

Уравнения эллиптического типа

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка эллиптического типа с n независимыми переменными можно записать в виде:

   

где

   

   

Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся тепловые, диффузионные и другие процессы, которые не зависят от времени. Уравнение (18) называется однородным, если

Граничные условия для эллиптического уравнения записывают так:

   

В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка.

Наиболее часто в прикладных примерах при описании различных процессов, происходящих в изотропных средах коэффициенты

   

таковыми и мы будем считать коэффициенты .

Для любых уравнений в частных производных второго порядка в зависимости от вида граничных условий принято выделять четыре типа краевых задач.

Первая краевая задача. На границе области S функция w(x,t) принимает заданные значения:

   

Вторая краевая задача. На границе области S задается производная по (внешней) нормали:

   

Третья краевая задача. На границе области S задана линейная связь между искомой функцией и ее производной по нормали:

   

Чаще всего В задачах массопереноса, где w – концентрация, граничное условие (22) при описывает поверхностную химическую реакцию.

Смешанные краевые задачи. В этом случае на различных участках границы S задают различные граничные условия.

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения уравнений математической физики можно разделить на две большие группы:

  1. аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
  2. численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Среди аналитических методов решения уравнений следует выделить:

  1. Метод характеристик.
  2. Метод разделения переменных.
  3. Метод Фурье.
  4. Метод Деламбера.
  5. Метод интегральных преобразований.
  6. Преобразование Лапласа.
  7. Представление решений через функцию Грина.

Среди численных методов решения уравнений математической физики следует выделить:

  1. метод сеток;
  2. метод конечных разностей;
  3. методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов;
  4. методы Эйлера;
  5. методы Рунге-Кутта;
  6. метод Адамса;
  7. символьно-численный метод.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Физическое уравнение – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Физическое уравнение

Cтраница 1

Физические уравнения выражают работу материала стержней в упругой области ( см. гл.  [1]

Физические уравнения для этапов до образования трещин и пофте их образования совместно с уравнениями равновесия, геометрическими уравнениями и граничными условиями составляют замкнутую систему уравнений для расчета железобетонного элемента в условиях плосконапряженного состояния и температурных воздействий. Расчет железобетонного элемента выполняется на ЭВМ в форме метода конечных элементов, метода конечных разностей, метода ортогонализации и др. МКЭ обладает рядом преимуществ, что делает его применение предпочтительным. Метод имеет наглядную механическую трактовку, удачно сочетает матричную форму расчета с удобствами использования ЭВМ. Помимо этого, после образования трещин модель железобетона имеет вид элемента конечных размеров.  [2]

Физическое уравнение (2.64) при этом теряет смысл.  [3]

Физические уравнения в форме (1.36) сохраняются до появления в процессе разгрузки новых ( вторичных) пластических деформаций.  [4]

Физические уравнения (1.42) выражают следующее: поле деформаций 3ij в данный момент времени определяется не только мгновенным напряжением s j ( связанными с деформациями обобщенным законом Гука), но и предшествующими значениями напряжений с помощью некоторой наследственной функции. Объемное деформирование в принимается упругим, так как объемная ползучесть мала по сравнению со сдвиговой. Заметим, что наследственная функция имеет своим аргументом разность ( i – – т), то есть уравнения (1.42) инвариантны относительно начала отсчета времени.  [5]

Физические уравнения связывают напряжения с деформациями.  [6]

Физические уравнения ( соотношения упругости) для оболочек имеют такую же структуру, как и для пластин, поскольку, в технической теории пластин и оболочек рассматривается плоское напряженное состояние.  [7]

Физические уравнения могут быть как определениями физических величин, так и формулировками физических законов. Впрочем, это деление не всегда можно провести достаточно четко.  [8]

Любое физическое уравнение устанавливает зависимость не только между входящими в него величинами, но и их размерностями. Все члены физического уравнения, являющиеся комбинациями различных величин, имеют одинаковую размерность.  [9]

Приведенные физические уравнения ( обобщенный закон Гу-ка), выражающие зависимость между напряжениями и деформациями, справедливы только в пределах упругости, когда не возникают пластические деформации.  [10]

Физические уравнения теории пластичности зависят от того, какая теория рассматривается. В настоящее время существуют две основные теории пластичности.  [11]

Составим физическое уравнение для безынерционной фильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде.  [12]

Предложено физическое уравнение процесса струйной кольма-таиии, собрана экспериментальная установка. Приведена зависимость для определения Р, от Кд, , t t в виде полинома первой степени.  [13]

Используя физическое уравнение связи напряжения и скоростей деформации, а также условие трения (3.5), выразим множители при вариациях таким образом: напряжения – через скорости движения, а скорости – через напряжения.  [14]

Поэтому физические уравнения установившейся ползучести характеризуют связь между пластическими деформациями и напряжениями.  [15]

Страницы:      1    2    3

www.ngpedia.ru

Физические законы и уравнения | Физика. Закон, формула, лекция, шпаргалка, шпора, доклад, ГДЗ, решебник, конспект, кратко

Законы классической механикиТемаКлассТип
Второй закон Ньютона. ИмпульсЗаконы НьютонаКонспект
Закон сложения скоростейКонспект
Первый закон НьютонаЗаконы НьютонаКонспект
Преобразования ГалилеяКонспект
Третий закон Ньютона (кратко)Законы НьютонаКонспект
Законы сохраненияТемаКлассТип
Закон сохранения электрических зарядовЭлектрические заряды10Конспект
Закон сохранения энергииЗакон сохранения энергииКонспект
Законы сохранения в ядерных реакцияхКонспект
Примеры закона сохранения энергии (поле в пустоте, электромотор)Закон сохранения энергииКонспект
Законы термодинамикиТемаКлассТип
Второе начало термодинамики (№2)Конспект
Второй закон термодинамики (№1)10Конспект
Закон Бойля-Мариотта. Газовые законы. Изотерма10Конспект
Закон Гей-Люссака. Изобара10Конспект
Закон Дюлонга-ПтиКонспект
Закон Шарля (второй закон Гей-Люссака). Изохора10Конспект
Законы Авогадро и Дальтона10Конспект
Нулевое начало термодинамикиКонспект
Первое начало термодинамики (№2)Конспект
Первый закон (начало) термодинамики (№1)10Конспект
Теория теплородаКонспект
Третье начало термодинамики (тепловые теоремы Нернста и Планка)Конспект
Законы электродинамикиТемаКлассТип
Закон Джоуля-Ленца10Конспект
Законы электромагнетизма‎
Закон Кулона10Конспект
Закон Ома для полной цепи10Конспект
Закон Ома для полной цепи при параллельном и смешанном соединении источников тока10Конспект
Закон Ома для полной цепи при последовательном соединении источников тока10Конспект
Закон Ома для участка цепи10Конспект
Открытие закона Кулона (закон взаимодействия заряженных тел)10Конспект
Принцип суперпозиции (кратко, №2)Конспект
Принцип суперпозиции электрических полей (№1)10Конспект
Уравнения Максвелла
Второе уравнение Максвелла (закон Гаусса для магнитного поля)Конспект
Первое уравнение Максвелла (закон Гаусса)Конспект
Третье и четвертое уравнения Максвелла (закон индукции Фарадея и теорема о циркуляции магнитного поля)Конспект
Физические теоремыТемаКлассТип
Теорема КарноКонспект
Физические уравненияТемаКлассТип
Уравнения состояния
Уравнение Менделеева-Клапейрона10Конспект
Уравнение состояния идеального газа10Конспект
Уравнения состоянияКонспект

worldofschool.ru

Уравнения и формулы математической физики

Определение 1

Математическая физика (МФ) – это гипотеза математических моделей физических явлений, которые изучают сложные задачи на математическом уровне, а результаты исследований представляются в виде графиков, теорем и таблиц.

В математической физике характерно, что практически все общие методы, используемые для решения задач МФ, развились из способов решения физических заданий и в своем первоначальном виде не имели достаточной завершенности и математического обоснования. Все это относится к таким известным принципам решения задач МФ, как методы Галеркина и Ритца. Эффективное использование данных методов является причиной для их математического обобщения и обоснования.

Основным уравнением в математической физике принято считать дифференциальные показатели с частным производимым второго порядка. Например, формула волновой теории будет записываться следующим образом: $ \LARGE \frac {d^2 u}{dt^2}=a^2 \frac {d^2 u}{dx^2}$.

Уравнение теплопроводности ученые обозначают так: $\LARGE \frac {du}{dt}=a^2 \frac {d^2 u}{dx^2}$.

В создании формул физики изначально тщательно рассматривают элементы электромагнитного поля, а также его стационарное тепловое состояние.

Постановка задач в МФ заключается в построении математических моделей, которые описывают основные закономерности изучаемого класса физических явлений. Хорошим примером этого явления выступает уравнение Лапласа: $\LARGE \frac {d^2 u}{dx^2 } + \frac {d^2 u}{dy^2} = 0$.

Подобная постановка состоит из формул (интегральных, дифференциальных, алгебраических или интегро-дифференциальных), которые удовлетворяют величины, более тщательно характеризующие физический процесс.

Уравнения математической физики

Уравнения с частными производными первого порядка включают в себя: нелинейные уравнения с производными первого порядка; квазилинейные уравнения с производными первого порядка.

Линейные уравнения МФ:

  • линейные задачи МФ для уравнений параболического типа;
  • некоторые формулы, определения, решения и методы;
  • линейные задачи МФ для уравнений эллиптического типа;
  • линейные задачи МФ для уравнений гиперболического типа.

Нелинейные уравнения МФ:

  • преобразования уравнений МФ;
  • автомодельные решения и решения типа бегущей волны;
  • метод подобия;
  • метод функционального разделения переменных МФ;
  • метод обобщенного разделения переменных МФ;
  • классический метод исследования симметрий уравнений МФ;
  • решение дифференциальных уравнений при помощи инвариантов;
  • метод дифференциальных связей.

В целом, обобщённые функции в математической физике обладают рядом важных свойств, расширяющих возможности классического анализа.

Пример 1

Любая целостная функция оказывается бесконечно дифференцируемой и сходится в ряды из обобщённых понятий, которые возможно по отдельности дифференцировать бесконечное количество раз. Преобразование этого процесса всегда существует, поэтому применение техники комплексных функций существенно расширяет круг исследуемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Влияние математической физики на науку

Воздействие математической физики на разные разделы математики проявляется в том, что общее развитие математической физики, которая отражает в своих идеях требования естественных наук и часто меняющееся запросы практики, автоматически влечет за собой переориентацию направленности научных исследований в сложившихся разделах математики. Правильная постановка задач изучаемого течения в науке напрямую связана с разработкой новых моделей реальных физических процессов, и привела к кардинальному изменению главной проблематики гипотезы дифференциальных формул в стабильных производных. В результате появилась теория краевых задач, которая позволила ученым связать интегральные уравнения и вариационные методы, а также дифференциальные уравнения в частных производных.

Исследование математических моделей физики различными способами не только позволяет получить основные характеристики физических явлений, а еще и рассчитать с максимальной точностью ход реальных процессов, которые глубоко проникают в самую суть скрытых закономерностей, предсказания уникальных эффектов.

Стремление к более детализированному изучению физических явлений приводит физиков ко все большему усложнению математических моделей, которые способны описать происходящие процессы с помощью применения аналитических методов построения этих моделей. Это возможно объяснить еще и тем, что модели реальных физических процессов являются нелинейными. Для проведения точного исследования таких концепций успешно используются прямые количественные способы с применением компьютеров. Для типичных физических задач изучение численных методов сводится к частичной замене уравнений математической физики для обобщенных функций непрерывного аргумента посредством сеточных показателей, заданных на дискретном множестве точек. Другими словами, вместо непрерывной и стабильной модели внешней среды вводится ее дискретный аналог.

Применение таких методов в ряде случаев позволяет заменить трудоемкий и дорогостоящий эксперимент значительно более экономичным исследованием. Результативное математическое изучение является базой для выбора наиболее подходящих условий реального физического опыта, выбора правильных параметров сложных физических установок, выявление подходящих условий ля новых научных эффектов. Таким образом, численные методы в уравнениях математической физики расширяют сферу эффективного применения моделей физических явлений.

Решения уравнений математической физики

Для решения уравнений математической физики сначала необходимо рассмотреть структуру квазилинейной формулы в частных производных: $\LARGE a \frac {(х, у)(d^2w)}{dx^2 } + 2b(х,у)$ $\LARGE \frac {d^2w}{dxdy}=F (x,y,w dw/dx)$

Для получения общего и правильного решения уравнения исследователи рассматривают характеристическую концепцию обыкновенных дифференциальных уравнений: $\LARGE \frac {dx}{a} = \frac {dy}{b} = \frac {du}{c}$.

Если с=0, то система сводится к одному уравнению $\LARGE \frac {dх}{a}=\frac {dy}{b}$. Если $\LARGE f (х, у)=C$ общий интеграл уравнения, тогда $\LARGE u=w (f (х, у))$ – общее решение.

Сама дифференциальная формула содержит в себе только самую общую информацию об исследуемом процессе. Необходимо заранее получить задание граничных и начальных условий, для общей конкретизации.

На сегодняшний день ученые выделяют три основных типа дифференциальных уравнений, для которых поиск решения имеет существенные различия: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов.

Большое количество физических процессов и явлений можно описать посредством дифференциальных уравнений в исследуемых частных производных. Это непосредственно связано с тем, что фундаментальные законы современной физики – принципы сохранения – записываются в определениях вторых производных. Способы решения задач математической физики зависят от конкретного типа, которому принадлежит само рассматриваемое уравнение.

spravochnick.ru

2. Уравнения математической физики

2.1. Классификация уравнений и постановка задач математической физики

Большинство физических процессов различной природы модели­руется дифференциальными уравнениями в частных производных. Наи­более часто при этом встречаются линейные уравнения второго по­рядка. Их изучение и составляет предмет математической физики.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется соотношение между искомой функцией нескольких переменных, её частными производными и независимыми переменными.

Для двух независимых переменных x и y дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем случае имеет вид

.

Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения.

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех её производных. Линейное дифференци­альное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет следующий вид

. (2.1)

Коэффициенты линейного уравнения могут зависеть от переменных x, y. Тогда говорят, что уравнение (2.1) является уравнением с переменными коэффициентами. Если f(x, y) = 0, то уравнение (2.1) называется линейным однородным. В противном случае оно бу­дет линейным неоднородным.

Все многообразие уравнений математической физики может быть разделено на три класса. Уравнения каждого класса обладают общими свойствами ре­шений. В каждом из этих классов есть простейшее уравнение, назы­ваемое каноническим.

Принадлежность уравнения тому или иному классу определяется соотношением между коэффициентами при старших производных.

Если в некоторой области плоскости x0y дискриминант уравнения (2.1) , то говорят, что уравнение (2.1) будет в этой области уравнениемгиперболического типа.

Если в некоторой области плоскости x0y дискриминант то в этой области уравнение относится кпараболическому типу. Наконец, если в некоторой об­ласти то уравнение в этой области будет уравнениемэллиптического типа.

Основными уравнениями математической физики являются:

1). Волновое уравнение

.

Это однородное уравнение гиперболического типа. Оно описывает процессы поперечных колебаний струн, продольные колебания стержней, крутильные колебания валов, колебания тока и напряже­ния в проводах и другие динамические процессы (здесь и далее x ­– пространственная координата, t – время).

2). Уравнение теплопроводности

.

Это однородное уравнение параболического типа. Оно описыва­ет процессы распространения тепла в стержнях, задачи фильтрации жидкостей и газов в пористых средах и др.

3). Уравнение Лапласа

.

Это однородное уравнение эллиптического типа. Уравнение Лапласа не содержит времени (x и y – пространственные координа­ты) и описывает стационарные процессы в электрических и магнит­ных полях, задачи стационарной теплопроводности, многие стацио­нарные задачи гидродинамики, диффузии, прочности и др.

Любое дифференциальное уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Для получения единственного решения необходимо задание дополнительных условий, которые поз­воляют однозначно описать конкретный физический процесс. Коли­чество и вид этих условий зависят от характера и порядка произ­водных, входящих в уравнение, от формы области, в которой ищется решение уравнения, от характера взаимодействия рассматриваемого тела (или процесса в выделенном теле) с окружающей средой.

В общем случае дополнительными условиями могут быть начальные и граничные условия.

Начальные условия описывают состояние системы в начальный момент времени. Для уравнения гиперболического типа ставятся два начальных условия соответственно второму порядку производной по времени, входящей в уравнение. Они характеризуют величины откло­нений и скоростей точек тела (струны, стержня и др.) в началь­ный момент времени. Для уравнения параболического типа ставится одно начальное условие, что соответствует первому порядку произ­водной по времени (если искомая функция в уравнении теплопро­водности u(x, t) – температура в произвольном сечении стержня в лю­бой момент времени t, то начальным условием задается распределе­ние температуры по длине стержня в начальный момент времени t = 0).

Граничные условия для волнового уравнения (если оно описы­вает, например, поперечные колебания струны конечных размеров) характеризуют поведение концов струны в процессе колебаний и за­висят от характера их закрепления.

Для уравнения теплопроводности стержня граничные условия имеют существенно различный вид в зависимости от характера теп­лообмена концов стержня с окружающей средой.

Для уравнения эллиптического типа, как и для уравнения па­раболического типа, также различают разные краевые задачи в за­висимости от условий на контуре рассматриваемой области.

Так, если на границе Г области задано значение искомой функции:

,

то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена первая краевая задача (задача Дирихле).

Если на границе области задано значение производной искомой функции по направлению нормали к границе:

,

то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена вторая краевая задача (задача Неймана).

Если на границе области задано условие, связывающее искомую функцию и её производную

,

то поставлена третья или смешанная краевая задача. Здесь u0, u1, u2, – непрерывные функции, определённые на границе.

Итак, постановка задачи математической физики включает в себя задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего исследуемый процесс, а также в общем случае граничных и начальных условий, позволяющих получить единственное решение.

Если задача математической физики поставлена корректно, то её решение существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных.

Ниже рассмотрены примеры решения основных уравнений матема­тической физики различного типа, аналогичных тем, которые встре­чаются в расчётно-графической работе. Решение задач строится ме­тодом Фурье (методом разделения переменных). Этот метод является одним из наиболее общих методов математической физики, пригодным для решения уравнений гиперболического, параболического и эллип­тического типов в различных областях.

studfiles.net

Уравнения математической физики – это… Что такое Уравнения математической физики?

        дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см. Математическая физика).

         Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:

        

        , (1)

         где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,…, хп (n ≥ 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно λ) уравнения

        

         = 0, (2)

         и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,…, хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,…, хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

         Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.

         Основные примеры уравнений математической физики.

                  – простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – Телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.                   – простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение – Пуассона уравнение. Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний. Теплопроводности уравнение:         

         – простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.

         Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

                  Для этого уравнения полуплоскость у у = 0 – зоной параболичности.          Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям (См. Интегральные уравнения) различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение (См. Интегро-дифференциальные уравнения).          Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д’Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения (см. Краевые задачи, Коши задача).          Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений (см. Ритца и Галёркина методы. Сеток метод). При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.

         Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Годунове. К., Уравнения математической физики, М., 1971; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

dic.academic.ru

физические уравнения – это… Что такое физические уравнения?


физические уравнения

Makarov: constitutive equations

Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.

  • физические упражнения укрепляют тело
  • физические условия

Смотреть что такое “физические уравнения” в других словарях:

  • Уравнения Эйлера — Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… …   Википедия

  • Уравнения Прока — Уравнения Прока  обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде , где   антисимметричный тензор электромагнитного поля …   Википедия

  • Уравнения Рауса — Уравнения Рауса  дифференциальные уравнения движения механической системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом (англ.)русск. в 1867 г. Для системы с s степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, уравнения… …   Википедия

  • Физические постоянные —         физические константы, фундаментальные постоянные, мировые постоянные, численные коэффициенты, входящие в уравнения физических законов и являющиеся в ряде случаев масштабными характеристиками физических процессов и микрообъектов. К Ф. п.… …   Большая советская энциклопедия

  • Уравнения Максвелла —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Уравнения мелкой воды —     Механика сплошных сред …   Википедия

  • Уравнения Навье —     Механика сплошных сред …   Википедия

  • Уравнения Гамильтона — (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике  система дифференциальных уравнений: где точкой над p и q обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) …   Википедия

  • Уравнения Эйлера (механика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Уравнения. В физике, Уравнения Эйлера описывают вращение твердого тела в системе координат, связанной с самим телом. Вывод В системе отсчёта… …   Википедия

  • Уравнения Аппеля — В классической механике уравнения Аппеля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 [1]. Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям,… …   Википедия

  • Уравнения Эйлера — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Уравнения. В физике, Уравнения Эйлера описывают вращение твердого тела в системе координат, связанной с самим телом. Вывод В системе отсчёта… …   Википедия

Книги

  • Неголономные, фрактальные и связанные структуры в релятивистских сплошных средах, электродинамике, квантовой механике и космологии. Книга 2, Подосенов С.А.. В книге, состоящей из трех томов, рассмотрено взаимодействие голономных, неголономных, фрактальных и связанных структур с различными полями, используемыми в современных задачах физики. Во… Подробнее  Купить за 757 руб
  • Неголономные, фрактальные и связанные структуры в релятивистских сплошных средах, электродинамике, квантовой механике и космологии. Книга 2. Силовые поля в связанных и неголономных структурах, С. А. Подосенов, А. А. Потапов, Дж. Фоукзон, Е. Р. Менькова. В книге, состоящей из трех томов, рассмотрено взаимодействие голономных, неголономных, фрактальных и связанных структур с различными полями, используемыми в современных задачах физики. Во… Подробнее  Купить за 607 грн (только Украина)
  • Физика. Кванты. Строение и физические свойства вещества, Юрий Рахштадт. Настоящее пособие соответствует программе учебного курса «Физика» факультета информатики и экономики. Оно призвано помочь студентам освоить теоретический курс, выработать навыки решения задач… Подробнее  Купить за 576 руб электронная книга
Другие книги по запросу «физические уравнения» >>

universal_ru_en.academic.ru

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *