§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Модуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор d (рис. 7). Размерность угловой скорости dim=T-1, a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:
При этом модуль векторного произведения, по определению, равен
, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.
Если =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор
13
сонаправлен вектору (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).
Тангенциальная составляющая ускорения
Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а, нормальное ускорение аn) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается следующими формулами:
В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)
где 0 — начальная угловая скорость.
Контрольные вопросы
• Что такое система отсчета?
• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути,
пройденному точкой?
• Какое движение называется поступательным? вращательным?
• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости
и мгновенного ускорения. Каковы их направления?
• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая
ускорения? Каковы их модули?
ускорение? Приведите примеры.
• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?
• Какова связь между линейными и угловыми величинами?
Задачи
1.1. Зависимость
пройденного телом пути от времени
задается уравнением s
= A+Вt+Сt2+Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3).
Определить: 1) через какое время после
начала движения ускорение а тела будет
равно 2 м/с
1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]
1.3. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением = 2At+5Вt4 (A=2 рад/с2 и B=1 рад/с5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а = 8,5 м/с2; N = 0,48]
14
1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса r=4 м, задается уравнением аn=А+-Bt+Ct2 (A=1 м/с2, В=6 м/с3, С=3 м/с4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с. [ 1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]
1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1
1.6. Диск
радиусом R=10
см вращается вокруг неподвижной оси
так, что зависимость угла поворота
радиуса диска от времени задается
уравнением =A+Bt+Ct2+Dt3 (B = l рад/с, С=1 рад/с2, D=l
рад/с3).
Определить для точек на ободе колеса к
концу второй секунды после начала
движения: 1) тангенциальное ускорение
а;
2) нормальное ускорение аn;
3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с
studfiles.net
Формулы для равномерного движения по окружности. Центростремительное ускорение
Движение по окружности — движение тела (чаще всего с постоянной по модулю скоростью) вдоль траектории, имеющей форму окружности или части окружности.
Для движения по окружности вводятся свои кинематические характеристики, логическим образом похожие на характеристики поступательного (прямолинейного) движения (рис. 1). Попробуем ввести аналогию между этими двумя движениями:
- Если тело движется поступательно, то растёт параметр пути ()
- Если тело движется поступательно, то растёт параметр угла поворота ()
Рис. 1. Угловая скорость. Угол поворота
Если вводить скоростные характеристики движения:
- скорость движения (линейная скорость) — — быстрота изменения положения тела со временем
- средняя угловая скорость поворота — — быстрота изменения угла поворота со временем
Визуально, формы поиска скорости похожи, этим можно пользоваться.
Для большинства задач школьной физики, тело вращается с постоянной угловой скоростью, поэтому
.Кроме того, для вращательного движения вводится ряд уникальных характеристик:
Кроме того, существует связь между линейной и угловой скоростью вращения:
(1)Исходя из (1), можно записать:
(2) (3)Вывод: задачи на движение по окружности касаются нахождения параметров периода, частоты и центростремительного ускорения. Переход от вращательного движения к поступательному осуществляется соотношением (1).
www.abitur.by
Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями
Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями
«Физика – 10 класс»
Угловая скорость.
Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Так, АА1 > ВВ1 (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δφ.
Угол φ — угол между осью ОХ и радиус-вектором определяющим положение точки А (см. рис. 1.62).
Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы.
Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела υφ к промежутку времени υt, за который этот поворот произошёл.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению
Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с.
Угловую скорость можно связать с частотой вращения.
Частота вращения — число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с).
Если тело совершает ν (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/ν секунд.
Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т.
Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде
Полному обороту тела соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому согласно формуле (1.26)
Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени t0 = 0 угол φ0 = 0, то угол поворота радиус-вектора за время t согласно уравнению (1.26)
φ = ωt.
Если φ0 ≠ 0, то φ – φ0 = ωt, или φ = φ0 ± ωt.
Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57°17’48”. В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к её радиусу: φ = l/R.
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б).
Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями.
Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2πR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так:
Так как ω = 2πν, то
Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше её линейная скорость. Для точек земного экватора υ = 463 м/с, а для точек на широте Санкт-Петербурга υ = 233 м/с. На полюсах Земли υ = 0.
Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:
Следовательно,
ацс = ω2R.
Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения:
Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела — поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.
На основании закона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела.
Источник: «Физика – 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский
Кинематика – Физика, учебник для 10 класса – Класс!ная физика
Физика и познание мира — Что такое механика — Механическое движение. Система отсчёта — Способы описания движения — Траектория. Путь. Перемещение — Равномерное прямолинейное движение. Скорость. Уравнение движения — Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение» — Сложение скоростей — Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей» — Мгновенная и средняя скорости — Ускорение — Движение с постоянным ускорением — Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением» — Движение с постоянным ускорением свободного падения — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением свободного падения» — Равномерное движение точки по окружности — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями — Примеры решения задач по теме «Кинематика твёрдого тела»
class-fizika.ru