Системы дифференциальных уравнений, все формулы
Типы систем дифференциальных уравнений
Имеется два основных типа систем дифференциальных уравнений: линейные однородные и линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Для решения таких систем применяется два основных способа: метод исключения (в ходе решения система сводится к одному дифференциальному уравнению) и метод Эйлера (с помощью характеристического уравнения матрицы этой системы).
Рассмотрим далее линейные однородные системы дифференциальных уравнений (СДУ), которые в общем случае имеют вид
где – некоторые действительные числа, – неизвестные искомые функции.
Решением системы дифференциальных уравнений называются такие функции и , которые удовлетворяют всем уравнениям рассматриваемой системы.
Задачей Коши для СДУ называется такая задача, при которой необходимо найти частное решение этой системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим теперь линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Такая система имеет следующий вид:
то есть она отличается от однородной системы, описанной выше, лишь добавками-слагаемыми и .
Найдем решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений методом исключения.
Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)
Работу этого метода рассмотрим на примере.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Системы дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений бывают двух основных типов – линейные однородные и неоднородные. Решать системы дифференциальных уравнений можно также двумя основными способами решения:
- Метод исключения, суть которого в том, что в процессе решения система дифуравнений сводится всего лишь к одному дифференциальному уравнению.
- При помощи характеристического уравнения или метод Эйлера.
В основном системы дифференциальных уравнений решаются первым способом.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Простейшую однородную систему дифференциальных уравнений можно представить в следующем виде:
, где k, l, m, n – это обыкновенные числа, x(t) и y(t) – неизвестные функции. Переменная t играет роль независимой переменной (в обычном дифференциальном уравнении на ее месте обычно встречается х).
и – первые производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.
Решить систему дифференциальных уравнений – означает определить такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Как видно, все очень похоже на обычные системы линейных уравнений, разница лишь в том, что там корни уравнения – это числа, а здесь – функции.
Ответ запишем в виде общего решения системы дифуравнений:
Можно записать систему более компактно:
Самым распространенным является вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, где приняты следующие обозначения:
и – производные 1-го порядка;
и – производные 2-го порядка.
Пример.
Требуется найти решение задачи Коши для системы дифуравнений при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0.
При решении будем использовать метод исключения.
Возьмем второе уравнение системы и выразим из него х:
, знак * мы используем для быстрого поиска этого уравнения, т.к. оно нам понадобится в дальнейшем.
Продифференцируем обе части полученного уравнения по t:
По-другому это выглядит следующим образом:
Подставляем и в первое уравнение системы :
Максимально упростим это уравнение:
Как видите, мы получили обыкновенное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. С производными оно выглядит следующим образом:
.
Далее необходимо составить и решить характеристическое уравнение:
– мы получили различные действительные корни, поэтому:
.
Одна функция найдена. Теперь приступим к поиску x(t).
Найдем производную найденной функции .
Дифференцируем по t:
Теперь подставим и в уравнение (*):
Упростим полученное уравнение:
Итак, мы нашли обе функции.
Общее решение системы будет:
Теперь займемся поиском частного решения, соответствующего начальным условиям x(0) = 3 и y(0) = 0. Для этого почленно вычитаем из первого уравнения второе.
Подставим найденные коэффициенты:
Это и будет частное решение системы.
Остается провести проверку найденного результата:
Проверим выполнение начальных условий x(0) = 3 и y(0) = 0:
x(0) = 4 – 1 = 3
y(0) = 1 – 1 = 0
Проверка прошла успешно.
Возьмем функцию и найдем её производную:
Подставим , в первое уравнение системы:
Равенство верно, следовательно проверка прошла успешно.
Проверим найденный ответ на удовлетворение второму уравнению системы
Возьмем функцию и найдем её производную:
Подставим , и во второе уравнение системы:
Равенство верно, следовательно и эта проверка прошла успешно.
Итак, мы убедились, что выполнение начальные условия выполняются и что найденное частное решени
удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом
Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами
Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,
где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:
- матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
- матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
- матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.
Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$.
Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами
Пусть имеется матрица некоторых чисел $\alpha =\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_{1} =\alpha _{1} \cdot e^{k\cdot x} $, $y_{2} =\alpha _{2} \cdot e^{k\cdot x} $, \dots , $y_{n} =\alpha _{n} \cdot e^{k\cdot x} $. В матричной форме: $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=e^{k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Отсюда получаем:
Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:
Полученное уравнение можно представить так:
Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.
Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.
Это уравнение называется характеристическим.
Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. Для каждого значения $k_{i} $ из системы $\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)=0$ может быть определена матрица значений $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(i\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(i\right)} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(i\right)} } \end{array}\right)$.
Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.
Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:
$\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{k_{1} \cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{k_{2} \cdot x} } \\ {\ldots } \\ {C_{n} \cdot e^{k_{n} \cdot x} } \end{array}\right)$,
где $C_{i} $ — произвольные постоянные.
Задача
Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =5\cdot y_{1} +4y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +5\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.
Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)$.
В матричной форме данная СОДУ записывается так: $\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dt} } \\ {\frac{dy_{2} }{dt} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)$.
Получаем характеристическое уравнение:
$\left|\begin{array}{cc} {5-k} & {4} \\ {4} & {5-k} \end{array}\right|=0$, то есть $k^{2} -10\cdot k+9=0$.
Корни характеристического уравнения: $k_{1} =1$, $k_{2} =9$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{1} =1$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{1} } & {4} \\ {4} & {5-k_{1} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)=0,\]то есть $\left(5-1\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +\left(5-1\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(1\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(1\right)} =-1$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{2} =9$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{2} } & {4} \\ {4} & {5-k_{2} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)=0, \]то есть $\left(5-9\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +\left(5-9\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(2\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(2\right)} =1$.
Получаем решение СОДУ в матричной форме:
\[\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{1\cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right).\]В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {y_{1} =C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \\ {y_{2} =-C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right. $.
spravochnick.ru
21.Дифференциальное уравнение
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением.[
Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.
Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид
или
где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной штрих означает дифференцирование по Число называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
Порядок дифференциального уравнения
Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.
Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:
где функции и определены и непрерывны в некоторой области .
Дифференциальные уравнения в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:
где — независимые переменные, а — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.
Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:
где pi(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.
Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y.
studfiles.net
Дифференциальные уравнения высших порядков
Определение и формулы дифференциальных уравнений высших порядков
Решение дифференциальных уравнений высших порядков
Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если она обращает это уравнение в тождество.
Решение включает в себя n произвольных постоянных и имеет следующий вид:
Задача Коши для дифференциального уравнения (1) заключается в следующем: найти такое решение (функцию) дифференциального уравнения (1),чтобы эта функция и ее производные до порядка включительно при заданном значении аргумента принимали бы заданные значения. То есть указанное решение должно удовлетворять условиям
Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) называется краевой, если значения искомого решения – функции и, возможно, ее производных задаются при различных значениях независимой переменной, на концах некоторого фиксированного интервала.
Понижение порядка в ДУ высших порядков
Некоторые уравнения высших порядков допускают понижение порядка.
1) Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную:
Если это уравнение удается разрешить относительно производной , то оно принимает вид:
Общее решение этого уравнения
то есть для нахождения искомого решения функцию необходимо n раз проинтегрировать.
2) Уравнения, не содержащие искомой функции . Уравнения такого типа имеют вид:
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой
где – новая неизвестная функция. Тогда
В результате получим уравнение
то его порядок можно понизить на k единиц, сделав подстановку
После нахождения неизвестной функции уравнение (4) будет сведено к уравнению вида (2).
3) Уравнения, не содержащие независимой переменной x. Подобные уравнения в общем случае имеют следующий вид:
Порядок такого дифференциального уравнения можно понизить на единицу заменой
где – новая искомая функция, при этом в качестве независимой переменной понимается переменная y, а не x. Тогда
Итак, после замены уравнение (7) принимает вид:
После решения последнего уравнения относительно неизвестной функции , делаем обратную замену
Записанное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, из которого определяется искомая функция .
ru.solverbook.com