Вычислить пределы используя правило лопиталя – .

Найти пределы, не применяя правило Лопиталя.

 

21.а) ; б)

 

в) ; г)

 

д) ;е) .

 

22. а) ; б) ;

 

в) ; г) ;

 

д) ; е) .

 

23. а) ; б) ;

 

в) ; г) ;

 

д) ; е) .

 

24. а) ; б) ;

 

в) ; г) ;

 

д) ; е) .

 

25. а) ; б) ;

 

в) ; г) ;

 

д) ; е) .

 

26. а) ; б) ;

 

в) ; г)

 

д) ; е) .

 

27. а) ; б) ;

 

в) ; г)

 

д) ; е) .

 

28. а) ; б);

 

в) ; г) ;

 

д) ; е) .

 

29. а) ; б) ;

 

в) ; г) ;

 

д) ; е) .

 

30. а) ; б) ;

 

в) ; г) ;

 

д) ; е) .

 

31-40. Найти производные указанных функций.

31. а) ; в) ;

б) ; г)

32. а) ; в) ;

б) ; г)

33. а) ; в) ;

б) ; г)

34. а) ; в) ;

б) ; г)

35. а) ; в) ;

б) ; г)

36. а) ; в) ;

б) ; г)

37. а) ; в) ;

б) ; г)

38. а) ; в) ;

б) ; г)

39. а) ; в) ;

б) ; г)

40. а) ; в) ;

б) ; г)

41-50. Найти частные производные , функции .

 

41. . 46. .

 

42. . 47. .

 

43. . 48. .

 

44. . 49. .

 

45. . 50. .

51-60. Найти неопределенные интегралы. Результаты интегрирования проверить дифференцированием.

51. а) ; б) .

52. а) ; б) .

53. а) ; б) .

54. а) ; б) .

55. а) ; б) .

 

56. а) ; б) .

 

57. а) ; б) .

 

58. а) ; б) .

 

59. а) ; б) .

 

60. а) ; б) .

Вопросы к экзамену

Элементы линейной алгебры

1. Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами.

2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей. Методы вычисления определителей. Понятие минора и алгебраического дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.

3. Решение и исследование систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

4. Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.

5. Решение и исследование систем линейных уравнений методом Гаусса.

 

Векторная алгебра

1. Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), их свойства.

2. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Модуль вектора.

3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис векторов. Разложение вектора по базису.

4. Действия с векторами в координатной форме. Условие коллинеарности двух векторов.

5. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление скалярного произведения в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов. Угол между векторами.

6. Векторное произведение векторов, его свойства. Геометрический смысл векторного произведения. Векторное произведение в координатной форме.

7. Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, вычисление в координатной форме. Условие компланарности трех векторов.

 

Введение в математический анализ

1. Зависимые и независимые переменные. Определение функции. Область определения.

2. Последовательность. Монотонные ограниченные и неограниченные последовательности.

3. Предел последовательности (определение, геометрическая иллюстрация).

4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.

5. Теоремы о пределах (предел суммы, произведения, частного двух последовательностей).

6. Предел функции. Определение, геометрическая иллюстрация. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их пределы.

7. Односторонние пределы. Признак существования предела функции в точке.

8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

9. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины. Таблица эквивалентности.

10. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва, их классификация.

 



infopedia.su

12. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти

и при обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке и, следовательно, представляет собой неопределенность типа или соответственно. Поскольку это отношение в точке может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило Лопиталя Бернули),

И имеет место следующее равенство:

, если и .

1. (здесь имеет место неопределенность типа )=

=.

Аналогичное правило имеет место, если и , т. е. .

2. (неопределенность типа )

=

=.

Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа и . Для вычисления , где – бесконечно малая, а – бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду

(неопределенность типа ) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.

3.

Для вычисления , где и – бесконечно большие при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду , затем раскрыть неопределенность типа . Если , то .

Если же , то получается неопределенность типа (), которая раскрывается аналогично примеру 12).

4. .

Так как , то получим в итоге неопределенность типа и далее имеем

.

Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа . В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения , где в случае Есть бесконечно малая, в случае – бесконечно большая, а в случае – функция, предел которой равен единице.

Функция В первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.

Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т. е. если , то , затем находят предел , и после чего находят предел . Во всех перечисленных случаях является неопределенностью типа , которую раскрывают аналогично примеру 12).

5.

(воспользуемся правилом Лопиталя)=

=.

В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:

и тогда .

6.

=;

.

7. ;

=;

.

8. ;

=;

.

matica.org.ua

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Количество просмотров публикации Вычислить предел, используя правило Лопиталя – 497

Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:

Пример 3

Вычислить предел по правилу Лопиталя

Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателœе использовано обычное правило дифференцирования произведения .

Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

Пример 4

Вычислить предел по правилу Лопиталя

Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)

Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:

Пример 5

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию: После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

Пример 6

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Пример 7

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, чересчур уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. В случае если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.

И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённостьне устранена.

Пример 8

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Поехали:

Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого ʼʼподходаʼʼ устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , в связи с этим в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

На днях мне попалось любопытное задание:

Пример 9

Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

В случае если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, ʼʼиксʼʼ более высокого порядка роста͵ чем логарифм, но ʼʼперетянетʼʼ ли он логарифм в кубе? Постарайтесь узнать самостоятельно, за кем будет победа.

Да, правила Лопиталя – ϶ᴛᴏ не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….

В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .

Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урокаМетоды решения пределов. Давайте для проформы ещё один:

Пример 10

Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.

Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

Пример 11

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика ʼʼклассическогоʼʼ логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала крайне важно разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз: Готово.

Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам: Но, во-первых, производная в знаменателœе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к ʼʼнулю на нольʼʼ или к ʼʼбесконечности на бесконечностьʼʼ.

В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:

Пример 12

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :

На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, ʼʼсносимʼʼ синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всœего, к верхнему этажу).

Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:

Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость ʼʼноль на нольʼʼ. В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия состоит по сути в том, чтобы никто ни до чего не докопался. По этой причине сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:

В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :

Пример 13

Вычислить предел по правилу Лопиталя

Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:

В итоге:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 14

Вычислить предел по правилу Лопиталя

Полное решение и ответ в конце урока.

Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, в случае если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:

Пример 15

Вычислить с помощью правила Лопиталя

Решайте =)

В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: ʼʼ…не пользуясь правилом Лопиталяʼʼ. С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы.

Пример 4

Пример 6

Пример 7

Пример 9

Пример 14 Используем основное логарифмическое тождество и преобразование: Вычислим предел показателя: Таким образом:

Пример 15 Используем основное логарифмическое тождество: Вычислим предел показателя: Таким образом:

2-4

referatwork.ru