Як множити матриці – Умножение матриц «на пальцах», примеры, правила и пошаговая схема перемножения матриц

Умножение матриц, формулы и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведением матрицы размером на матрицу размером называется матрица () размером элементы которой определяются формулой:

   

Иначе говоря, элемент матрицы стоящий в -той строке и -том столбце, равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы Таким образом, умножение осуществляется по правилу умножения строки на столбец.

Не всякие две матрицы можно перемножить. Произведение двух матриц возможно только в том случае, если число столбцов матрицы совпадает с числом строк в матрице . Для того чтобы перемножить две квадратные матрицы необходимо, чтобы они были одного порядка. При этом в результате получится матрица того же порядка, что и перемножаемые матрицы.

Как умножать матрицы, примеры

ПРИМЕР 1




ЗаданиеНайти произведение матрицы и вектора-столбца .

   

РешениеМатрица имеет размерность матрица имеет размерность значит размерность произведения будет Действительно,

   


   

Заметим, что произведение этих матриц в обратном порядке невозможно.

Ответ

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, то есть оно не коммутативно:

   

ПРИМЕР 2




ЗаданиеЗаданы матрицы и . Найти их произведения и

   

РешениеМатрица имеет размерность а матрица – размерность тогда размерность произведения будет . Действительно, умножая по принципу, строка первой матрицы на столбец второй, получим

   


   

Произведение так же будет существовать и его размерность будет .

   


   

Ответ

Но бывают матрицы, для которых выполняется равенство

   

такие матрицы называются перестановочными или коммутирующими. Такие матрицы будут обязательно квадратными.

ПРИМЕР 3




ЗаданиеПроверить являются ли перестановочными матрицы и , если

   

РешениеНайдем произведения этих матриц и .

   


   

   


   

Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство поэтому они являются перестановочными.

ОтветМатрицы и перестановочные.

Читайте также:

Определитель матрицы и способы вычисления

Обратная матрица и способы вычисления

Ранг матрицы

Транспонирование матрицы

Сложение матриц

Единичная матрица

ru.solverbook.com

Умножение матрицы на матрицу онлайн

Умножение матрицы на матрицу


Операция умножения двух матриц А и В представляет собой вычисление
результирующей матрицы С, каждый элемент cij которой равен сумме произведений
элементов в соответствующей строке первой матрицы aik и элементов в столбце второй матрицы
bkj.


Две матрицы можно умножать между собой только тогда, когда количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством
строк во второй матрице. Другими словами первая матрица обязательно должна быть согласованной со второй матрицей.
Таким образом, результатом операции умножения матрицы размера m×n на матрицу размером n×k
является матрица размером m×k.


Итак, произведение матрицы Аm×n на матрицу Вn×k – это матрица
Сm×k, элемент cij которой, находящийся в i-ой строке и
j-ом столбце, равен сумме произведений i-ой строки матрицы А на соответствующие
элементы j-ого столбца матрицы В.


Каждый элемент матрицы Сm×k равен:


где k принимает значение от 1 до n.

Рассмотрим пример умножения двух матриц.


Даны две матрицы А и В.


Найти произведение матриц А × В.

Решение.


Свойства умножения матриц (свойства справедливы, если матрицы подходящего порядка):


  1. Ассоциативность
    (А × В) × С = А × (В × С)

  2. Дистрибутивность
    А × (В+С) = А×В + А×С
    (А+В) × С = А×С + В×С

  3. Ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число
    (k×A) × B = k × (A×B) = A × (k×B)

  4. В общем случае умножение матриц не коммутативно
    А×В ≠ В×А

  5. Произведение коммутативно в случае умножения на единичную матрицу
    Em × Am×n = Am×n × En = Am×n
Вы также можете


в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x
(например, в ячейку матрицы можно ввести 2x, или sin(x), или даже ((x+2)^2)/lg(x)).


Полный список доступных функций можно найти в справке.

www.yotx.ru

Умножение матриц

Каталин Дэвид

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Алгоритм умножения матриц

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

  1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
    • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
    • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
    • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
    • Складываем полученные произведения.
    • Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
  2. Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
    • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
    • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
    • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
    • Складываем полученные произведения.
    • Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
  3. Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
  4. Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
  5. Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

Пример 7
$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 5\\ \end{pmatrix}$

Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

$A \cdot B=$ $\begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{blue}2 & \color{green}2\\ \color{red}3 &\color{blue}1 & \color{green}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \\ \color{green}1 & \color{green}5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot4}+\color{blue}{2\cdot3}+\color{green}{2\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}+\color{green}{2\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot3}+\color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}+\color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 12 & 14\\ 16 & 12\\ \end{pmatrix}$

$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}4 &\color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \\ \color{red}1 & \color{blue}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{red}2 & \color{red}2\\ \color{blue}3 &\color{blue}1 & \color{blue}1 \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot1}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}\\ \color{red}{1\cdot1}+\color{blue}{5\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+ \color{blue}{5\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 6 & 7 & 7 \\ 16 & 7 & 7 \end{pmatrix}$

Заметим, что $A \cdot B \neq B \cdot A$

Пример 8
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}6 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot4}+\color{blue}{2\cdot5} & \color{red}{5\cdot6}+\color{blue}{2\cdot2} \\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot5} & \color{red}{3\cdot6}+\color{blue}{1\cdot2} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 30 & 34\\ 17 & 20 \end{pmatrix}$

$B \cdot A= \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{blue}6 \\ \color{red}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot5}+\color{blue}{6\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} \\ \color{red}{5\cdot5}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{5\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 38 & 14\\ 31 & 12 \end{pmatrix}$

Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Пример 9
$A= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blu

www.math10.com

Как перемножить матрицы между собой

Произведением матрицы(условно обозначим ее буквой А), является произведение двух матриц, имеющих порядки(размер), равные у первой матрицы m × n и у второй матрицы n × p. Если, дорогой читатель, ты заметил, переменаня «n» присутствует в порядках обеих матриц. А это значит, что для перемножения двух матриц количество столбцов одной матрицы должно быть равно количеству строк другой матрицы. Например порядки первой матрицы 1 × 2, а второй 2 × 3, или 3 × 2 и 2 × 2. Если таковое отсутствует, то, к сожалению, умножить матрицы не получится. Можно конечно поменять матрицы местами, но это будет будет уже другое выражение.

Так. С условием успешного перемножения мы разобрались. Приступим к самому вкусному, а именно к алгоритму умножения. Сначала приведу парочку формул, но если ты с ними на Вы, а то и того хуже, ничего страшного. После пары подробно разобранных примеров, умножать матрицы будет не сложнее обчного умножения чисел.

Каждый элемент получаемой матрицы находится по формуле

или если проще

где

  • a — элемент первой матрицы
  • b — элемент второй матрицы
  • c — элемент получаемой матрицы
  • i — номер строки получаемого элемента
  • j — номер столбца получаемого элемента
  • n — количество столбцов первой матрицы и строк второй

Найдем произведение матриц А и В.

Можно начать умножать любой элемент, но мы начнем с первого верхнего т.е. . Мы делаем вот что. Раз наш элемент находится на 1-й строке и 1-м столбце, значит, берем 1-й элемент матрицы А «лежащий» на 1-й строке матрицы А и умножаем на 1-й элемент лежащий на 1-м столбце матрицы В.

Теперь прибавляем к этому произведению произведение двух следующих элементов на этих строке/столбце матрицы А/В соответственно.

Первый элемент готов. Как становится понятно, каждый элемент получается путем сложения произведений элементов строки на элементы столбца.

Найдем оставшиеся элементы матрицы С.

Вроде разобрались(если нет жми сюда) и теперь попробуем на числовых матрицах.

Примеры умножения матриц:

Разобрались? Вы восхитительны!

kak-reshit.su

Перемножение матриц | Формулы и расчеты онлайн

Произведением матрицы

\[
A = a_{i,j} = (a_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;)
\]

имеющей порядки m и n на матрицу

\[
B = b_{i,j} = (b_{i,j})(i=1,2,…,n; j=1,2,…,p;)
\]

имеющую порядки n и p называется матрица

\[
С = с_{i,j} = (с_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,p;)
\]

имеющая порядки m и p и элементы определяемые формулой

\[
с_{i,j} = \sum\from{k=1}\to{n}a_{i,k}·b_{k,j} (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p;)
\]

Иначе: Элемент ci,j стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы A и j столбца матрицы B

Пример:

\[
C =

\lbig
  a_{11}    a_{12}    a_{13}   
  a_{21}    a_{22}    a_{23}   
\rbig

·

\lbig
  b_{11}    b_{12}   
  b_{21}    b_{22}   
  b_{31}    b_{32}   
\rbig

=

\]

Здесь A (m=2 строки, n=3 столбца),
B (n=3 строки, p=2 столбца),
Новая матрица С (m=2 строки, p=2 столбца),

\[ C = \]
$

\lbig
(a_{11}·b_{11} + a_{12}·b_{21} + a_{13}·b_{31})   (a_{11}·b_{12} + a_{12}·b_{22} + a_{13}·b_{32})
(a_{21}·b_{11} + a_{22}·b_{21} + a_{23}·b_{31})   (a_{21}·b_{12} + a_{22}·b_{22} + a_{23}·b_{32})
\rbig

$

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используется запись

\[

C = A·B

\]

Перемножение (произведение) матриц, есть операция составления произведения матрицы A на матрицу B.

Условие перемножения (произведения) матриц

Матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B.
Необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B

Оба произведения A·B и B·A можно определить только в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B.
При этом обе матрицы A·B и B·A будут квадратными, но порядки их будут разными.

Чтобы оба произведения A·B и B·A были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.

Свойства перемножения (произведения) матриц

1. Сочетательное свойство произведения матриц

\[

(A·B)·C = A·(B·C)

\]

2. Распределительное свойство произведения матриц
относительно суммы матриц

\[

(A + B)·C = A·С + B·C

\]

2. Перестановочное свойство произведения матриц
справедливо и меет место лишь в исключительных частных случаях. В общем случае
произведение матриц не обладает таким свойством, т.е.:

\[

A·B ≠ B·A

\]

Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц

Если в диагональной матрице D все элементы главной диагонали равны друг другу, т.е.

\[

d_1 = d_2 = … = d_n = d

\]

то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство

\[

A·D = D·A

\]

В помощь студенту


Перемножение матриц
стр. 131

www.fxyz.ru

Как умножать матрицы?

Наверное, не один студент в наше время испытывает трудности по высшей математике и в частности задается вопросом о том, как умножать матрицы. Разумеется, что в наше прогрессивное время практически все можно сделать во всемирной сети. В интернете сейчас можно без проблем выполнить большинство действий высшей математики, в том числе и умножить матрицы онлайн. На множестве современных ресурсов и сервисов для решения обсуждаемой задачи необходимо будет всего лишь ввести конкретные условия и сделать еще пару кликов. Но в нашей статье мы попытаемся осветить данную тему с более традиционной точки зрения.

Отличие умножений

Умножение матриц в некоторой степени отличается от обыкновенного умножения переменных или чисел. Причиной этому является структура элементов, которые принимают участие в операциях, а потому здесь свои особенности и правила.

Наиболее просто и кратко сформулировать сущность данной операции можно следующим образом: необходимо умножать строки матрицы на их столбцы. Поговорим об этом правиле немного подробнее, а также укажем некоторые особенности и возможные ограничения.

Умножение на единичные матрицы 

Как умножить матрицу на матрицу в том случае, когда одна из них единична? При такой операции исходная матрица переходит в саму себя. Соответственно умножение любой произвольной матрицы на нулевую даст в результате также нулевую матрицу. При этом не особенно даже надо задумываться о том, как умножить матрицу на строку.

Классическое умножение

Главным условием, накладываемым на матрицы, участвующие в операции, является соответствие количества строк в одной матрице количеству столбцов в другой. Ведь догадаться не трудно, что в противных случаях просто не на что будет умножать.

Следует отдельно отметить немаловажный момент. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности («перестановочности» множителей). Выражаясь более просто, произведение А на В не будет равно произведению В на А. Не путайте с правилам

elhow.ru

Умножение матриц.

Определение.

Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + … + ain · bnj

Замечание.

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =
4290
и
B =
31-34

Решение:

С = A · B =
4290·
31-34 =
612279

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2

Найти матрицу C равную произведению матриц A =
21-304-1
и
B =
5-16-307.

Решение:

C = A · B =
21-304-1·
5-16-307 =
7-219-153-1823-417

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 — 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 — 7 = 17

ru.onlinemschool.com

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о