Умножение матриц, формулы и примеры
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Произведением матрицы размером на матрицу размером называется матрица () размером элементы которой определяются формулой:
Иначе говоря, элемент матрицы стоящий в -той строке и -том столбце, равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы Таким образом, умножение осуществляется по правилу умножения строки на столбец.
Не всякие две матрицы можно перемножить. Произведение двух матриц возможно только в том случае, если число столбцов матрицы совпадает с числом строк в матрице . Для того чтобы перемножить две квадратные матрицы необходимо, чтобы они были одного порядка. При этом в результате получится матрица того же порядка, что и перемножаемые матрицы.
Как умножать матрицы, примеры
ПРИМЕР 1Задание | Найти произведение матрицы и вектора-столбца .
|
Решение |
Заметим, что произведение этих матриц в обратном порядке невозможно. |
Ответ |
Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, то есть оно не коммутативно:
ПРИМЕР 2
Задание | Заданы матрицы и . Найти их произведения и
|
Решение | Матрица имеет размерность а матрица – размерность тогда размерность произведения будет . Действительно, умножая по принципу, строка первой матрицы на столбец второй, получим
Произведение так же будет существовать и его размерность будет .
|
Ответ |
Но бывают матрицы, для которых выполняется равенство
такие матрицы называются перестановочными или коммутирующими. Такие матрицы будут обязательно квадратными.
ПРИМЕР 3Задание | Проверить являются ли перестановочными матрицы и , если
|
Решение |
Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство поэтому они являются перестановочными. |
Ответ | Матрицы и перестановочные. |
Определитель матрицы и способы вычисления
Обратная матрица и способы вычисления
Ранг матрицы
Транспонирование матрицы
Сложение матриц
Единичная матрица
ru.solverbook.com
Умножение матрицы на матрицу онлайн
Умножение матрицы на матрицу
Операция умножения двух матриц А
и В
представляет собой вычисление
результирующей матрицы С
, каждый элемент cij
которой равен сумме произведений
элементов в соответствующей строке первой матрицы aik
и элементов в столбце второй матрицы
bkj
.
Две матрицы можно умножать между собой только тогда, когда количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством
строк во второй матрице. Другими словами первая матрица обязательно должна быть согласованной со второй матрицей.
Таким образом, результатом операции умножения матрицы размера
на матрицу размером n×k
является матрица размером m×k
.
Итак, произведение матрицы Аm×n
на матрицу Вn×k
– это матрица
Сm×k
, элемент cij
которой, находящийся в i-ой
строке и
j-ом
столбце, равен сумме произведений i-ой
строки матрицы А
на соответствующие
элементы j-ого
столбца матрицы В
.
Каждый элемент матрицы
равен:
где k
принимает значение от 1
до n
.
Рассмотрим пример умножения двух матриц.
Даны две матрицы А
и В
.
Найти произведение матриц А × В
.
Решение.
Свойства умножения матриц (свойства справедливы, если матрицы подходящего порядка):
-
Ассоциативность
(А × В) × С = А × (В × С)
-
Дистрибутивность
А × (В+С) = А×В + А×С
(А+В) × С = А×С + В×С
-
Ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число
(k×A) × B = k × (A×B) = A × (k×B)
-
В общем случае умножение матриц не коммутативно
А×В ≠ В×А
-
Произведение коммутативно в случае умножения на единичную матрицу
Em × Am×n = Am×n × En = Am×n
Вы также можете
в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также
2x
, или sin(x)
, или даже ((x+2)^2)/lg(x)
).
Полный список доступных функций можно найти в справке.
www.yotx.ru
Умножение матриц
Каталин Дэвид
Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.
Алгоритм умножения матриц
Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.
- Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
- Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
- Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
- Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
- Складываем полученные произведения.
- Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
- Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
- Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
- Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
- Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
- Складываем полученные произведения.
- Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
- Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
- Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
- Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.
Пример 7
$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ 1 & 5\\ \end{pmatrix}$
Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.
$A \cdot B=$ $\begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{blue}2 & \color{green}2\\ \color{red}3 &\color{blue}1 & \color{green}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \\ \color{green}1 & \color{green}5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} \color{red}{1\cdot4}+\color{blue}{2\cdot3}+\color{green}{2\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}+\color{green}{2\cdot5}\\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot3}+\color{green}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}+\color{green}{1\cdot5} \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 12 & 14\\ 16 & 12\\ \end{pmatrix}$$B \cdot A = \begin{pmatrix} \color{red}4 &\color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \\ \color{red}1 & \color{blue}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{red}2 & \color{red}2\\ \color{blue}3 &\color{blue}1 & \color{blue}1 \end{pmatrix}=$
$\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot1}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1}\\ \color{red}{3\cdot1}+\color{blue}{1\cdot3} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1} & \color{red}{3\cdot2}+\color{blue}{1\cdot1}\\ \color{red}{1\cdot1}+\color{blue}{5\cdot3} & \color{red}{1\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} & \color{red}{1\cdot2}+ \color{blue}{5\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 6 & 7 & 7 \\ 16 & 7 & 7 \end{pmatrix}$
Заметим, что $A \cdot B \neq B \cdot A$
Пример 8
$A= \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{blue}2 \\ \color{red}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{red}6 \\ \color{blue}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{5\cdot4}+\color{blue}{2\cdot5} & \color{red}{5\cdot6}+\color{blue}{2\cdot2} \\ \color{red}{3\cdot4}+\color{blue}{1\cdot5} & \color{red}{3\cdot6}+\color{blue}{1\cdot2} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 30 & 34\\ 17 & 20 \end{pmatrix}$
$B \cdot A= \begin{pmatrix} \color{red}4 & \color{blue}6 \\ \color{red}5 & \color{blue}2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{red}2 \\ \color{blue}3 & \color{blue}1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \color{red}{4\cdot5}+\color{blue}{6\cdot3} & \color{red}{4\cdot2}+\color{blue}{5\cdot1} \\ \color{red}{5\cdot5}+\color{blue}{2\cdot3} & \color{red}{5\cdot2}+\color{blue}{2\cdot1} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 38 & 14\\ 31 & 12 \end{pmatrix}$
Опять-таки $A \cdot B \neq B \cdot A$.
Пример 9
$A= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$
$A \cdot B = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blu
www.math10.com
Как перемножить матрицы между собой
Произведением матрицы(условно обозначим ее буквой А), является произведение двух матриц, имеющих порядки(размер), равные у первой матрицы m × n и у второй матрицы n × p. Если, дорогой читатель, ты заметил, переменаня “n” присутствует в порядках обеих матриц. А это значит, что для перемножения двух матриц количество столбцов одной матрицы должно быть равно количеству строк другой матрицы. Например порядки первой матрицы 1 × 2, а второй 2 × 3, или 3 × 2 и 2 × 2. Если таковое отсутствует, то, к сожалению, умножить матрицы не получится. Можно конечно поменять матрицы местами, но это будет будет уже другое выражение.
Так. С условием успешного перемножения мы разобрались. Приступим к самому вкусному, а именно к алгоритму умножения. Сначала приведу парочку формул, но если ты с ними на Вы, а то и того хуже, ничего страшного. После пары подробно разобранных примеров, умножать матрицы будет не сложнее обчного умножения чисел.
Каждый элемент получаемой матрицы находится по формуле
или если проще
где
- a – элемент первой матрицы
- b – элемент второй матрицы
- c – элемент получаемой матрицы
- i – номер строки получаемого элемента
- j – номер столбца получаемого элемента
- n – количество столбцов первой матрицы и строк второй
Найдем произведение матриц А и В.
Можно начать умножать любой элемент, но мы начнем с первого верхнего т.е. . Мы делаем вот что. Раз наш элемент находится на 1-й строке и 1-м столбце, значит, берем 1-й элемент матрицы А “лежащий” на 1-й строке матрицы А и умножаем на 1-й элемент лежащий на 1-м столбце матрицы В.
Теперь прибавляем к этому произведению произведение двух следующих элементов на этих строке/столбце матрицы А/В соответственно.
Первый элемент готов. Как становится понятно, каждый элемент получается путем сложения произведений элементов строки на элементы столбца.
Найдем оставшиеся элементы матрицы С.
Вроде разобрались(если нет жми сюда) и теперь попробуем на числовых матрицах.
Примеры умножения матриц:
Разобрались? Вы восхитительны!
kak-reshit.su
Перемножение матриц | Формулы и расчеты онлайн
Произведением матрицы
\[ A = a_{i,j} = (a_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;) \]имеющей порядки m и n на матрицу
\[ B = b_{i,j} = (b_{i,j})(i=1,2,…,n; j=1,2,…,p;) \]
имеющую порядки n и p называется матрица
\[ С = с_{i,j} = (с_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,p;) \]
имеющая порядки m и p и элементы определяемые формулой
\[ с_{i,j} = \sum\from{k=1}\to{n}a_{i,k}·b_{k,j} (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p;) \]
Иначе: Элемент ci,j стоящий на пересечении i строки и j столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы A и j столбца матрицы B
Пример:
\[
C = \lbig
a_{11} a_{12} a_{13}
a_{21} a_{22} a_{23}
\rbig · \lbig
b_{11} b_{12}
b_{31} b_{32} \rbig = \]
Здесь A (m=2 строки, n=3 столбца), B (n=3 строки, p=2 столбца), Новая матрица С (m=2 строки, p=2 столбца),
\[ C = \]
$ \lbig
(a_{11}·b_{11} + a_{12}·b_{21} + a_{13}·b_{31}) (a_{11}·b_{12} + a_{12}·b_{22} + a_{13}·b_{32})
(a_{21}·b_{11} + a_{22}·b_{21} + a_{23}·b_{31}) (a_{21}·b_{12} + a_{22}·b_{22} + a_{23}·b_{32})
\rbig $
Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используется запись
\[ C = A·B \]
Перемножение (произведение) матриц, есть операция составления произведения матрицы A на матрицу B.
Условие перемножения (произведения) матриц
Матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B. Необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B
Оба произведения A·B и B·A можно определить только в том случае, когда число столбцов A совпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы A·B и B·A будут квадратными, но порядки их будут разными.
Чтобы оба произведения A·B и B·A были определены и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы A и B были квадратными матрицами одного порядка.
Свойства перемножения (произведения) матриц
\[ (A·B)·C = A·(B·C) \]
2. Распределительное свойство произведения матриц относительно суммы матриц
\[ (A + B)·C = A·С + B·C \]
2. Перестановочное свойство произведения матриц справедливо и меет место лишь в исключительных частных случаях. В общем случае произведение матриц не обладает таким свойством, т.е.:
\[ A·B ≠ B·A \]
Частный случай выполнения перестановочного свойства для произведения матриц
Если в диагональной матрице D все элементы главной диагонали равны друг другу, т.е.
\[ d_1 = d_2 = … = d_n = d \]
то для любой квадратной матрицы A порядка n справедливо равенство
\[ A·D = D·A \]
В помощь студенту
Перемножение матриц |
стр. 131 |
---|
www.fxyz.ru
Как умножать матрицы?
Наверное, не один студент в наше время испытывает трудности по высшей математике и в частности задается вопросом о том, как умножать матрицы. Разумеется, что в наше прогрессивное время практически все можно сделать во всемирной сети. В интернете сейчас можно без проблем выполнить большинство действий высшей математики, в том числе и умножить матрицы онлайн. На множестве современных ресурсов и сервисов для решения обсуждаемой задачи необходимо будет всего лишь ввести конкретные условия и сделать еще пару кликов. Но в нашей статье мы попытаемся осветить данную тему с более традиционной точки зрения.
Отличие умножений
Умножение матриц в некоторой степени отличается от обыкновенного умножения переменных или чисел. Причиной этому является структура элементов, которые принимают участие в операциях, а потому здесь свои особенности и правила.
Наиболее просто и кратко сформулировать сущность данной операции можно следующим образом: необходимо умножать строки матрицы на их столбцы. Поговорим об этом правиле немного подробнее, а также укажем некоторые особенности и возможные ограничения.
Умножение на единичные матрицы
Как умножить матрицу на матрицу в том случае, когда одна из них единична? При такой операции исходная матрица переходит в саму себя. Соответственно умножение любой произвольной матрицы на нулевую даст в результате также нулевую матрицу. При этом не особенно даже надо задумываться о том, как умножить матрицу на строку.
Классическое умножение
Главным условием, накладываемым на матрицы, участвующие в операции, является соответствие количества строк в одной матрице количеству столбцов в другой. Ведь догадаться не трудно, что в противных случаях просто не на что будет умножать.
Следует отдельно отметить немаловажный момент. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности («перестановочности» множителей). Выражаясь более просто, произведение А на В не будет равно произведению В на А. Не путайте с правилам
elhow.ru
Умножение матриц.
Определение.
Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + … + ain · bnj
Замечание.
Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.Пример 1.
Найти матрицу C равную произведению матриц A = 4290 и B = 31-34Решение:
С = A · B = 4290· 31-34 = 612279Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 – 6 = 6
c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12
c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27
c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9
Пример 2
Найти матрицу C равную произведению матриц A = 21-304-1 и B = 5-16-307.Решение:
C = A · B = 21-304-1· 5-16-307 = 7-219-153-1823-417Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 – 3 = 7
c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2
c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19
c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15
c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3
c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18
c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23
c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4
c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 – 7 = 17
ru.onlinemschool.com