Задачи на метод гаусса – Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уровнений). Правила, примеры

Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»

Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»

Цели работы:

• расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Гаусса;

• развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;

• воспитывать у студентов культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.

Основной теоретический материал.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной. Пример такой системы – на рисунке сверху.

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса. Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент  равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей – три первых:

Все элементы третьей строки делим на два

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3: Умножив третью строку на 0,5 , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

    Ответ. 

Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1

Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:

. в)

ВАРИАНТ 2

Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:

а)

в)

Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если: записано решение примера и выполнена проверка решения системы;

самостоятельно методом Гаусса верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены три системы.

infourok.ru

Метод Гаусса

(метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. a_ij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

(а₁₁ а₁₂ … а_1k … a_1n | b₁)

(0 a₂₂ … a_2k … a_2n | b₂)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_kk … a_kn | b_k)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_nk … a_nn | b_n)

Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте а_nk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен c_nk=a_nk/a_kk. Элемент а_kk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.

• Формулы прямого хода

c_mk=a_mk/a_kk где 1<=k<n

b_m=b_m-c_mkb_k, k<m<=n

a_ml=a_ml-c_mka_kl, k<=l<=n

Последовательное вычисление значения неизвестных x_n, x_n-1,…, х₁ (именно в таком порядке) для полученной после прямого хода верхнетреугольной системы называется обратным ходом.

для k=n,n-1,…,1.

• Описание метода Гаусса для вырожденных систем.

Хочется еще раз подчеркнуть, что метод Гаусса приспособлен и для решения вырожденных систем. Отличия при этом невелики. Приведение системы происходит описанным выше методом, но не обязательно к верхнетреугольному виду, а к более общему -ступенчатому. Если на каком-то шаге прямого хода встречается ситуация, когда в столбце не только разрешающий элемент, но и все элементы ниже него равны нулю (переменная как-бы исключилась сама по себе), то мы просто начинаем из этого же уравнения исключать сразу следующую переменную, т.е. переходим к следующему столбцу, не переходя к следующей строке. После окончания прямого хода возможны два варианта:

• либо мы видим, что полученная система несовместна, когда в одной из последних ненулевых строк все коэффициенты левой части равны 0, а свободный член – нет

• либо система имеет бесконечное множество решений, которые можно получать следующим общим способом – задать произвольные значения всем «свободным» переменным, которые были пропущены в процессе исключения, т.е. «исключились сами по себе» и вычислить значения всех остальных переменных по формулам обратного хода.

studfiles.net

Глава 11. Метод Гаусса | Решение задач по математике и другим предметам

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) состоит в том, что посредством последовательного исключения неизвестных данная система

(1.11.1)

Превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему

(1.11.2)

Последняя система равносильна данной, но решать ее намного проще. Переход системы (1.11.1) к равносильной ей системе (1.11.2) называется Прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (1.11.2) – Обратным ходом.

Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение

Исключим x1 из 2–го т 3–го уравнений. Для этого 1–е уравнение умножим на (–2) и прибавим его ко 2–му, а затем 1–е уравнение умножим на (–3) и прибавим его к 3–му уравнению:

Новая система равносильна данной. Исключим из 3–го уравнения x2 для чего 2–е уравнение вычтем из 3–го:

Из последней системы находим x3 = –1, x2 = (56 + x3)/11 = (56 – 1)/11 = 55/11 = 5, x1 = –22 +4×2 – 3×3 = –22 + 4×5 – 3×(–1) = 1.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение

Умножим 2–е уравнение на (–2), а 1–е – на 3 и сложим, а затем 2–е уравнение умножим на (–5), а 3–е – на 3 и тоже сложим. Получим Исключим x2 из 3–го уравнения, умножив 2–е уравнение на (–2) и прибавив его к 3–му уравнению:

Последнее уравнение превратилось в неверное равенство. Это говорит о том, что система несовместна, т. е. решений не имеет.

Пример

Решить систему методом Гаусса:

Решение

Исключим x1 из 2–го и 3–го уравнений. Для этого умножим 1–е уравнение на (–1) и прибавляем его ко 2–му, далее умножим 1–е же на (–4) и прибавляем к 3–му уравнению:

Так 2–е и 3–е уравнения одинаковы, одно из них отбрасываем:

Число уравнений – два – меньше числа неизвестных – три. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Пусть x3 = 13k, где k – произвольное число. Тогда x2 = (16/13)x3 = 16k, x1 = 3×2 – 5×3 = –17k.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самой системой уравнений, а с матрицей ее коэффициентов. Введем матрицу

(1.11.3)

Называемую Расширенной матрицей системы (1.8.1) размера M´(N

+1), так как матрица А дополнена столбцом свободных членов.

Пример

Найти решение системы уравнений методом Гаусса.

Решение

Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода Гаусса.

Шаг 1. Умножим первую строку матрицы AB на –2 и прибавим ее ко второй и третьей строке. Затем умножим первую строку матрицы AB на –3 и прибавим ее к четвертой строке. Получим

.

Поскольку две последние строки являются линейно зависимыми, то одну из них можно отбросить.

Шаг 2. Умножим вторую строку полученной матрицы на –7/5 и прибавим ее к третьей строке. Получим

.

Заключительный вид расширенной матрицы соответствует совместной системе трех уравнений с четырьмя неизвестными, ранг которой меньше числа неизвестных. Полагая X4 свободной переменной, получаем

Из этой системы получаем обратным ходом метода Гаусса

.

Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, так как X4 может принимать любые значения.

Отметим Достоинства метода Гаусса по сравнению с методом обратной матрицы и методом Крамера:

– метод является значительно Менее трудоемким;

– метод дает возможность однозначно Установить, совместна система или нет, а в случае

Совместности, найти ее решения;

– метод дает возможность Найти максимальное число линейно независимых уравнений, т. е. определить ранг матрицы системы.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua