Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»
Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»
Цели работы:
расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Гаусса;
развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;
воспитывать у студентов культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.
Основной теоретический материал.
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной. Пример такой системы – на рисунке сверху.
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса. Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей – три первых:
Все элементы третьей строки делим на два
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3: Умножив третью строку на 0,5 , получаем:
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
Полученной матрице соответствует система
Ответ.
Задания для самостоятельного решения:
ВАРИАНТ 1
Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:
. в)
ВАРИАНТ 2
Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:
а)
в)
Критерии оценивания:
Работа оценивается на «3»,если: записано решение примера и выполнена проверка решения системы;
самостоятельно методом Гаусса верно решена одна из систем.
Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены любые две системы.
Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены три системы.
infourok.ru
Метод Гаусса
(метод последовательного исключения переменных)
Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. aij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.
Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.
Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:
(0 a22 … a2k … a2n | b2)
(0 … … … … … )
(0 0 … akk … akn | bk)
(0 … … … … … )
(0 0 … ank … ann | bn)
Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте аnk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен cnk=ank/akk. Элемент аkk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.
Формулы прямого хода
cmk=amk/akk где 1<=k<n
bm=bm-cmkbk, k<m<=n
aml=aml-cmkakl, k<=l<=n
Последовательное вычисление значения неизвестных xn, xn-1,…, х1 (именно в таком порядке) для полученной после прямого хода верхнетреугольной системы называется обратным ходом.
для k=n,n-1,…,1.
Описание метода Гаусса для вырожденных систем.
Хочется еще раз подчеркнуть, что метод Гаусса приспособлен и для решения вырожденных систем. Отличия при этом невелики. Приведение системы происходит описанным выше методом, но не обязательно к верхнетреугольному виду, а к более общему -ступенчатому. Если на каком-то шаге прямого хода встречается ситуация, когда в столбце не только разрешающий элемент, но и все элементы ниже него равны нулю (переменная как-бы исключилась сама по себе), то мы просто начинаем из этого же уравнения исключать сразу следующую переменную, т.е. переходим к следующему столбцу, не переходя к следующей строке. После окончания прямого хода возможны два варианта:
либо мы видим, что полученная система несовместна, когда в одной из последних ненулевых строк все коэффициенты левой части равны 0, а свободный член – нет
либо система имеет бесконечное множество решений, которые можно получать следующим общим способом – задать произвольные значения всем «свободным» переменным, которые были пропущены в процессе исключения, т.е. «исключились сами по себе» и вычислить значения всех остальных переменных по формулам обратного хода.
studfiles.net
Глава 11. Метод Гаусса | Решение задач по математике и другим предметам
Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) состоит в том, что посредством последовательного исключения неизвестных данная система
(1.11.1) |
Превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему
(1.11.2) |
Последняя система равносильна данной, но решать ее намного проще. Переход системы (1.11.1) к равносильной ей системе (1.11.2) называется Прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (1.11.2) – Обратным ходом.
Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.
Пример
Решить систему методом Гаусса:
Решение
Исключим x1 из 2–го т 3–го уравнений. Для этого 1–е уравнение умножим на (–2) и прибавим его ко 2–му, а затем 1–е уравнение умножим на (–3) и прибавим его к 3–му уравнению:
Новая система равносильна данной. Исключим из 3–го уравнения x2 для чего 2–е уравнение вычтем из 3–го:
Из последней системы находим x3 = –1, x2 = (56 + x3)/11 = (56 – 1)/11 = 55/11 = 5, x1 = –22 +4×2 – 3×3 = –22 + 4×5 – 3×(–1) = 1.
Пример
Решить систему методом Гаусса:
Решение
Умножим 2–е уравнение на (–2), а 1–е – на 3 и сложим, а затем 2–е уравнение умножим на (–5), а 3–е – на 3 и тоже сложим. Получим Исключим x2 из 3–го уравнения, умножив 2–е уравнение на (–2) и прибавив его к 3–му уравнению:
Последнее уравнение превратилось в неверное равенство. Это говорит о том, что система несовместна, т. е. решений не имеет.
Пример
Решить систему методом Гаусса:
Решение
Исключим x1 из 2–го и 3–го уравнений. Для этого умножим 1–е уравнение на (–1) и прибавляем его ко 2–му, далее умножим 1–е же на (–4) и прибавляем к 3–му уравнению:
Так 2–е и 3–е уравнения одинаковы, одно из них отбрасываем:
Число уравнений – два – меньше числа неизвестных – три. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Пусть x3 = 13k, где k – произвольное число. Тогда x2 = (16/13)x3 = 16k, x1 = 3×2 – 5×3 = –17k.
Преобразования Гаусса удобно проводить не с самой системой уравнений, а с матрицей ее коэффициентов. Введем матрицу
(1.11.3) |
Называемую Расширенной матрицей системы (1.8.1) размера M´(N
Пример
Найти решение системы уравнений методом Гаусса.
Решение
Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода Гаусса.
Шаг 1. Умножим первую строку матрицы AB на –2 и прибавим ее ко второй и третьей строке. Затем умножим первую строку матрицы AB на –3 и прибавим ее к четвертой строке. Получим
.
Поскольку две последние строки являются линейно зависимыми, то одну из них можно отбросить.
Шаг 2. Умножим вторую строку полученной матрицы на –7/5 и прибавим ее к третьей строке. Получим
.
Заключительный вид расширенной матрицы соответствует совместной системе трех уравнений с четырьмя неизвестными, ранг которой меньше числа неизвестных. Полагая X4 свободной переменной, получаем
Из этой системы получаем обратным ходом метода Гаусса
.
Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, так как X4 может принимать любые значения.
Отметим Достоинства метода Гаусса по сравнению с методом обратной матрицы и методом Крамера:
– метод является значительно Менее трудоемким;
– метод дает возможность однозначно Установить, совместна система или нет, а в случае
Совместности, найти ее решения;
– метод дает возможность Найти максимальное число линейно независимых уравнений, т. е. определить ранг матрицы системы.
< Предыдущая | Следующая > |
---|