Производная функции. Геометрический смысл производной.
Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.
Запомним определение:
Производная — это скорость изменения функции.
На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается .
Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
.
Величина в этом уравнении называется
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.
В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция возрастает, ее производная положительна.
Если убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| + | 0 | – | 0 | + |
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая
В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.
Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.
Вспомним определение производной:
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции связана с графиком этой функции.
Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Итак.
Геометрический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции в точке равен производной функции в этой точке:
Заметим, что угол – это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
В этом уравнении:
– абсцисса точки касания,
– значение функции в точке касания,
– значение производной функции в точке касания.
Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.
Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абcцисcой . Найдите значение производной функции в точке .
Значение производной функции в точке равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами А и В – эти точки выделены на касательной:
Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В – параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:
Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Длины катетов считаем по количеству клеточек.
Ответ: 0,25
Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абцисоой . Найдите значение производной функции в точке .
Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:
Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:
Угол А треугольника ABC и угол – смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,
Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.
Ответ: -0,25
Пример 3. Задание В8 (№ 40129) На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке .
Соединим отрезком точку начала координат с точкой касания:
Производная функции в точке касания равна тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ:
Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:
Ответ: 1,25
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Производная функции. Геометрический и физический смысл
Категория: Справочные материалы
Елена Репина 2013-08-06 2014-01-11Определение производной
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует.
Пример:
Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…
Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.
Геометрический смысл производной
Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник , то заметим, что есть .
А при стремлении к нулю, точка будет приближаться к точке и секущая «превратится» в касательную к графику функции в точке .
Поэтому геометрический смысл производной таков:
Производная в точке () равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке:
,
где – угол наклона касательной (проведенной к в т. )
Физический смысл производной
Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону , то мгновенная скорость точки:
,
а ускорение:
Пример:
Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .
Решение:
м/с
Ответ: 60.
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику в точке :
Пример:
Составить уравнение касательной к графику функции в точке .
Решение:
1.
2.
3.
Ответ:
Смотрите также «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»
Автор: egeMax | Нет комментариев
egemaximum.ru
В какой точке значение производной набольшее
Дорогие друзья! В группу заданий связанных с производной входят задачи — в условии дан график функции, несколько точек на этом графике и стоит вопрос:
В какой точке значение производной наибольшее (наименьшее)?
Данные задачи очень просты, не требуется никаких вычислений, решаются устно. Главное что необходимо – это понимать геометрический смысл производной, свойства производной для исследования функций. По представленным ссылкам вы можете повторить (изучить) материал на сайте, также краткая информация есть в справочнике.
Кратко повторим:
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной проходящей через эту точку графика.
Угловой коэффициент касательной в свою очередь равен тангенсу угла наклона этой касательной.
*Имеется ввиду угол между касательной и осью абсцисс.
Далее:
1. На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение.
2. На интервалах её убывания производная имеет отрицательное значение.
Рассмотрим следующий эскиз:
В точках 1,2,4 производная функции имеет отрицательное значение, так как данные точки принадлежат интервалам убывания.
В точках 3,5,6 производная функции имеет положительное значение, так как данные точки принадлежат интервалам возрастания.
Как видим, со значением производной всё ясно, то есть определить какой она имеет знак (положительный или отрицательный) в определённой точке графика совсем несложно.
При чём, если мы мысленно построим касательные в этих точках, то увидим, что прямые проходящие через точки 3, 5 и 6 образуют с осью оХ углы лежащие в пределах от 0 до 90о, а прямые проходящие через точки 1, 2 и 4 образуют с осью оХ углы в пределах от 90о до 180о.
*Взаимосвязь понятна: касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам возрастания функции образуют с осью оХ острые углы, касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам убывания функции образуют с осью оХ тупые углы.
Теперь важный вопрос!
А как изменяется значение производной? Ведь касательная в разных точках графика непрерывной функции образует разные углы, в зависимости от того, через какую точку графика она проходит.
*Или, говоря простым языком, касательная расположена как бы «горизонтальнее» или «вертикальнее». Посмотрите:
Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 0 до 90о
Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 90о до 180о
Поэтому, если будут стоять вопросы:
— в какой из данных точек графика значение производной имеет наименьше значение?
— в какой из данных точек графика значение производной имеет наибольшее значение?
то для ответа необходимо понимать, как изменяется значение тангенса угла касательной в пределах от 0 до 180о.
*Как уже сказано, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси оХ.
Значение тангенса изменяется следующим образом:
При изменении угла наклона прямой от 0о до 90о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;
При изменении угла наклона прямой от 90о до 180о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно –∞ до 0.
Наглядно это видно по графику функции тангенса:
Говоря простым языком:
При угле наклона касательной от 0о до 90о
Чем он ближе к 0о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с положительной стороны).
Чем угол ближе к 90о, тем больше значение производной будет увеличиваться к +∞.
При угле наклона касательной от 90о до 180о
Чем он ближе к 90о, тем больше значение производной будет уменьшаться к –∞.
Чем угол будет ближе к 180о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с отрицательной стороны).
317543. На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам на которых функция убывает (это точки –1 и 1) и две интервалам на которых функция возрастает (это точки –2 и 2).
Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 1 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 2 она имеет положительное значение. Следовательно в данном случае необходимо проанализировать точки –2 и 2 и определить в какой из них значении будет наибольшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:
Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке –2 будет наибольшим.
Ответим на следующий вопрос: в какой из точек –2, –1, 1 или 2 значение производной является наибольшим отрицательным? В ответе укажите эту точку.
Производная будет иметь отрицательное значение в точках, принадлежащим интервалам убывания, поэтому рассмотрим точки –2 и 1. Построим касательные проходящие через них:
Видим, что тупой угол между прямой b и осью оХ находится «ближе» к 180о, поэтому его тангенс будет больше тангенса угла, образованного прямой а и осью оХ.
Таким образом, в точке х = 1, значение производной будет наибольшим отрицательным.
317544. На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки –2, –1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам, на которых функция убывает (это точки –1 и 4) и две интервалам, на которых функция возрастает (это точки –2 и 1).
Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 4 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 1 она имеет положительное значение. Следовательно, в данном случае, необходимо проанализировать точки –1 и 4 и определить – в какой из них значении будет наименьшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:
Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке х = 4 будет наименьшим.
Ответ: 4
Надеюсь, что «не перегрузил» вас количеством написанного. На самом деле, всё очень просто, стоит только понять свойства производной, её геометрический смысл и как изменяется значение тангенса угла от 0 до 180о.
Общие рекомендации:
1. Сначала определите знаки производной в данных точках (+ или -) и выберете необходимые точки (в зависимости от поставленного вопроса).
2. Постройте касательные в этих точках.
3. Пользуясь графиком тангесоиды, схематично отметьте углы и отобразите соответствующие им значения.
4. Далее в зависимости от поставленного вопроса в задаче, вы без труда определите точку.
*Если вы понимаете, как изменяется значение тангенса, то можно обойтись без графика.
На этом всё. Успехов Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
ПРОИЗВОДНАЯ | Энциклопедия Кругосвет
Содержание статьиПРОИЗВОДНАЯ – производной функции y = f(x), заданной на некотором интервале (a, b) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производную принято обозначать так:
.
Широко употребляются и другие обозначения:
Предел , где рассматривается только Dx > 0 или только Dx f в точке x. О функции f, заданной на отрезке [a, b] принято говорить, что она имеет на этом отрезке производную, если она имеет производную в любой точке интервала (a, b) и, кроме того, правую производную в точке a и левую в точке b.
Понятие производной возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой, о вычислении скорости неравномерного движения, задачи о вычислении площади криволинейной фигуры. В работах Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница эта деятельность получила определенное теоретическое завершение. Ньютон и Лейбниц создали общие методы дифференцирования и интегрирования функций и доказали важную теорему, носящую их имя, устанавливающую тесную связь между операциями дифференцирования и интегрирования. Однако современное изложение этих вопросов существенно отличается от того, как они излагались во времена Ньютона и Лейбница. Современный математический анализ базируется на понятии предела, которое было дано (наряду с другими важнейшими понятиями – непрерывность, интеграл и т.д.) в работах французского математика Огюстена Луи Коши.
Мгновенная скорость.
Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t: s = f(t). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис.).
Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds. В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds.
Отношение представляет собой среднюю скорость движения точки за время Dt:
.
Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t. Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t. Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt. Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:
.
Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt, когда приращение времени стремится к нулю. Так как
,
то.
Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.
Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления.
Пусть кривая есть график функции y = f(x) в прямоугольной системе координат (см. рис.).
При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M0(x, y). Если аргументу x дать приращение Dx, то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+Dy = f(x + Dx). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M1(x + Dx, y + Dy). Если провести секущую M0M1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что .
Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M0, и угол j изменяется с изменением Dx. При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:
.
Следовательно, f´(x) = tga
т.е. значение производной f´(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке M0(x,y) с положительным направлением оси Ox.
Дифференцируемость функций.
Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.
Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.
Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f(a) = f(b) = 0), то внутри отрезка [a,b] существует, по крайней мере одна, точка x = с, a c b, в которой производная fў(x) обращается в нуль, т.е. fў(c) = 0.
Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется по крайней мере одна точка с, a c b, что
f(b) – f(a) = f ў(c)(b – a).
Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на отрезке [a, b] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем gў(x) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка x = с, a c b, что
.
Производные различных порядков.
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a, b]. Значения производной f ў(x), вообще говоря, зависят от x, т.е. производная f ў(x) представляет собой тоже функцию от x. При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f(x), которая обозначается f ўў (x).
Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первого порядка) от производной n-1–го и обозначается символом y(n) = (y(n – 1))ў.
Дифференциалы различных порядков.
Дифференциал функции y = f(x), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x)dx, некоторая функция от x, но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x), второй же сомножитель (dx) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x, то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y:
d(dx) = d2y = f ўў(x)(dx)2.
Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n-1–го порядка:
dny = d(dn–1 y) = f(n)(x)dx(n).
Частная производная.
Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов xi (i изменяется от 1 до n, i = 1, 2,… n), f(x1, x2,… xn), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, xi . Частная производная 1-ого порядка по xi определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме xi, сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения
fxn, или
Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.
Анна Чугайнова
www.krugosvet.ru
Значение – производная функция – Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Значение – производная функция
Cтраница 1
Значение производной функции y f ( x) при данном численном значении аргумента х называется частным значением производной. [1]
Найдем графически значения производной функции в точках, делящих пополам каждый частичный интервал. Средние точки интервалов выгодны потому, что при этом в качестве касательных можно, как правило, с достаточно большой точностью брать просто прямые, параллельные хордам, соединяющим конечные точки каждой частичной4 дуги графика. [2]
Найдем графически значения производной функции в точках, делящих пополам каждый частичный интервал. Средние точки интервалов выгодны потому, что при этом в качестве касательных можно, как правило, с достаточно большой точностью брать просто прямые, параллельные хордам, соединяющим конечные точки каждой частичной дуги графика. [3]
На вычисление значения производной функции fW с помощью любой из двух интерполяционных формул Грегори-Ньютона ( в начале или в конце таблицы) в одной точке X требуется 1 65л2 7 65n rtW / условных арифметических операций, где н – число арифметических операций аналитического выражения функции. [4]
При каких значениях х значение производной функции у ( х – 3) 5 ( 2 Ьх) 6 равно О. [5]
Точно так же мы можем заменять значения производных функций значениями производных других многочленов интерполяционного типа, например Бесселя. [6]
Найти значения х, при которых значение производной функции f ( х) ( х – 1) 9 ( л: 2) 6 равно нулю. [7]
Найти значения х, при которых значение производной функции f ( х) 2: 1) положительно; 2) отрицательно. [8]
Найти значения х, при которых значение производной функции / ( х) х2 – 2 In х равно нулю; положительно; отрицательно. [9]
Найти значения х, при которых значения производной функции ( ( х) х3 – 1 5л: 2 – 18A – V3 отрицательны. [10]
В табл. 2 – 7 приведены значения производных функций, необходимых для определения Jy ( x) по ( 2 – 83) с учетом ( 2 – 80), При составлении этой таблицы отобран практический диапазон чисел Шмидта. [11]
Из формулы (5.9) следует, что значение производной функции вычисляется для середины участка значений аргумента. Значение производной функции для других точек в пределах данного промежутка определяется интерполяцией. При численном дифференцировании производная функция определяется с гораздо меньшей точностью, чем заданная первообразная. При этом, в отличие от численного интегрирования, уменьшение шага дифференцирования ведет к увеличению погрешности. Поэтому для сложной функции более целесообразно определять производную, подбирая аппроксимирующий многочлен и применяя аналитические методы. [12]
В силу (5.4.11) его значение равно значению производной функции последования замкнутой траектории, соответствующей решению х ( t), в нуле. Согласно теореме 5.4.1 при выполнении (7.2.23) указанная замкнутая траектория представляет собой устойчивый предельный цикл. [13]
Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной функции в точке касания. [14]
Итак, геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. [15]
Страницы: 1 2
www.ngpedia.ru
§ 1. Производная
Пусть значения переменных х и у связаны уравнением
F(x, y) = 0. (1)
Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.
Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.
Для нахождения производной у’х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у’х.
Пример 1. Вычислить у’х.
У5+ху-х2 = 0
Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у’+у+ху’-2х=0. Выразим у’. y‘(5у4+х) = 2х-у, у’ = (2х-у)/(5у4+х).
Пример 2.
tg(x+y) = xy
Продифференцируем обе части по х. Получим или . Отсюда или . Окончательно .
Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство
y‘ = g(x, y) (2)
Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y’.
Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.
Пример. х2+у2–1=0. Найти у”.
Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу’ = 0, откуда у’ = –. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим или . Подставим , вместо у’. .
ya-znau.ru