Главная
Примеры интегралов с решением для студентов: ∫ Решение определённых интегралов – Калькулятор Онлайн

Примеры интегралов с решением для студентов: ∫ Решение определённых интегралов – Калькулятор Онлайн

2
Функция – Квадрат x
ctg(x)
Функция – Котангенс от x
arcctg(x)
Функция – Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция – Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция – Тангенс от x
tgh(x)
Функция – Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция – кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7. 3
– возведение в степень
x + 7
– сложение
x – 6
– вычитание
15/7
– дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция – арксеканс от x
acsc(x)
Функция – арккосеканс от x
sec(x)
Функция – секанс от x
csc(x)
Функция – косеканс от x
floor(x)
Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция – Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция – гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция – гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция – гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число “Пи”, которое примерно равно ~3.
14159..
e
Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности – знак для бесконечности

Примеры решения задач

1. Найти интегралы, используя подходящую подстановку: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Решение.

а)

.

Этот интеграл был вычислен нами ранее (см. занятие 1, 3б). Вообще, все интегралы, вычисляемые с помощью приёма подведения под знак дифференциала, могут быть найдены также и методом замены переменной.

б) .

в)

.

г)

.

д)

.

е)

.

ж)

.

з)

.

2. Найти интегралы, используя интегрирование по частям: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение.

а)

б) .

в)

.

г) .

Для интеграла снова применим метод интегрирования по частям:

Тогда .

д) .

Создаётся впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем, однако, ещё раз проинтегрировать по частям:

,

т. е. .

Таким образом, приходим к уравнению относительно неизвестной величины : , откуда следует, что .

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: .

12. Ответ: .

Найти интегралы, используя интегрирование по частям:

1. Ответ: .

2. Ответ: .

3. Ответ: .

4. Ответ: .

5. Ответ: .

6. Ответ:

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3

Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена ; в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I. ;

II. , где – целое число, большее единицы;

III. , где , т. е. квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней;

IV. , где – целое число, большее единицы и квадратный трёхчлен в знаменателе не имеет действительных корней;

Во всех четырёх случаях предполагается, что – действительные числа.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

I. ;

II. ;

III. Выделяем полный квадрат в знаменателе и делаем соответствующую подстановку:

(здесь ).

IV. Аналогично,

Здесь , а интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы

,

позволяющей после – кратного применения свести данный интеграл к табличному .

В общем случае, перед интегрированием рациональной дроби надо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неё целую часть, т. е. представить в виде

,

где – многочлен, а – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

,

где , т. е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

;

4) вычислить неопределённые коэффициенты , , для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Интеграция

– Список интересных интегралов для начинающих математиков

спросил

Изменено 1 год, 2 месяца назад

Просмотрено 41к раз

$\begingroup$

Сейчас я преподаю Calc 1 и хочу дать своим ученикам больше интересных примеров интегралов. Под интересными я подразумеваю сложные, не такие простые (хотя и не очень сложные, как задачи Патнэма или что-то в этом роде). Например, они должны сделать $u$-подстановку, но что выбрать вместо $u$, не так просто понять, как это обычно бывает. Или несколько вариантов $u$ работают, поэтому, возможно, они смогут выбрать тот, который работает, но они узнают, что не существует одного единственного способа сделать все.

До сих пор мы рассмотрели тригонометрические, логарифмические и экспоненциальные функции, но не обратные тригонометрические функции (хотя мы скоро доберемся до этого, так что это тоже подойдет). Мы рассмотрели $u$-подстановку. Думает, как интегрирование по частям, подстановка триггеров, неполные дроби и все, что описано в Calc 2, где я преподаю. Так что я действительно не очень забочусь о них прямо сейчас. Я приветствую интегралы по этим темам в качестве ответов, поскольку они могут быть полезны другим, изучающим этот вопрос, но я надеюсь, что интегралы будут интересны моим студентам в этом семестре.

  • исчисление
  • интеграция
  • мягкий вопрос
  • большой список

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Вы можете подумать о старом боевом коне $$ \инт \сек х\ дх $$ В учебниках по математическому анализу очень часто прибегают к трюку умножения и деления на $(\sec x + \tan x)$, после чего ответ выскакивает прямо с небольшим упрощением. Однако любой разумный студент мог бы пожаловаться на этот «кролик из шляпы», спросив: «Как вы могли ожидать, что я приду к этой идее?» Все, что делает этот подход, — это впечатляет студента умом автора и в то же время заставляет его чувствовать себя глупо. Вот альтернативный подход, который включает в себя другой и, возможно, более доступный вид хитрости. 92 х}\ дх\\ &= \int \cos x\left(\frac{1}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\right)\ dx\\ \end{выравнивание} $$ Продолжим с дробями: $$ \начать{выравнивать} &=\int \frac{\cos x}{2}\left(\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}\right)\ dx\\ &= \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ cos x} {1- \ sin x} \ dx + \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ cos x} {1+ \ sin х}\ дх\\ \end{выравнивание} $$ и теперь две простые замены и немного алгебры дают результат. Время от времени после этой версии я даю версию из учебника в качестве упражнения, где она и должна быть. 9{2x}+1}$.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

В ответе Рика Декера упоминается «старый боевой конь»: интеграл секущей функции. Так что я пойду дальше:

  • Об этом есть статья в Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant
  • Табулировано численными методами в 1599 году.
  • Впервые это было сделано в 159 году.2}\,dx = \frac{22}{7} – \pi. $$ У этого интеграла также есть собственная статья в Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_22/7_exceeds_%CF%80

    Вы также можете подумать, понравится ли некоторым учащимся подстановка касательного половинного угла. : https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_substitution

    Здесь используется интеграция по частям, поэтому, возможно, вы не хотите использовать ее на данном этапе: http://en.wikipedia.org/ wiki/Integral_of_secant_cubed

    Используется для определения длины дуги параболы и спирали Архимеда, а также площади поверхности геликоида.

    (Я первый автор всех этих статей. В первую очередь я в значительной степени полагался на пояснительную статью В. Фредерика Рики и Филипа М. Тучинского «Приложение географии к математике: история интеграла секущего», Mathematics Magazine , том 53, номер 3, май 1980 г., страницы 162–166.)

    $\endgroup$ 92}{2} +

    канадских долларов

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$

    В этом нет ничего необычного, но я думаю, что их нужно показывать ученикам, чтобы они видели дальше того, что изучают.

    Первый будет после того, как вы покажете им технику смены переменной. Сначала учащийся хочет только выяснить, какие $u$ они могут установить, чтобы что-то отменить. Попросите их интегрировать что-то в форме $$ \int x\sqrt{x+1} \,dx. $$ Положение $u=x+1$, очевидно, приводит к $$ \int (u-1)\sqrt{u} \,du $$ но большинство студентов не будут знать, что делать с $x$ перед начальным квадратным корнем. 9n\theta \, d \theta=\begin{cases} \dfrac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \text{ если любой показатель степени нечетен} \\[10pt] \dfrac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \dfrac{\pi} 2 \text{оба четных показателя степени} \end{cases }$$

    , которые можно использовать для доказательства продукта Уоллиса.

    Подробности можно посмотреть здесь.

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$

    Посмотрите это, это и это, а также подробное обсуждение некоторых полезных трюков здесь 92}\,dx.$$

    Можно решить двумя способами:

    • подстановкой $x=r\sin t$ (а не $r\cos t$), которая должна быть переработана с тригонометрическое тождество,

    • по частям, что, по-видимому, ведет в тупик, так как после преобразования вы получаете исходный интеграл; но есть выход…

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$ 93$. Помните, что, поскольку вы добавили интегралы, вы должны уменьшить вдвое любой ответ, который вы получите, когда закончите.

    Конечно, это можно сделать и с неполными дробями, но это решение далеко не элегантное. {-1}(x)=x$. 9{2022}x}dx$$

    $\endgroup$

    6: Приложения интеграции — Математика LibreTexts

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    2518
    • Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
    • OpenStax

    В этой главе мы используем определенные интегралы для расчета силы, действующей на плотину, когда водохранилище заполнено, и исследуем, как изменение уровня воды влияет на эту силу. Гидростатическая сила — лишь одно из многих применений определенных интегралов, которые мы исследуем в этой главе. От геометрических приложений, таких как площадь поверхности и объем, до физических приложений, таких как масса и работа, до моделей роста и распада, определенные интегралы являются мощным инструментом, помогающим нам понять и смоделировать мир вокруг нас.

    • 6.0: Прелюдия к приложениям интеграции
      Плотина Гувера — чудо инженерной мысли. Когда озеро Мид, водохранилище за плотиной, заполнено, плотина выдерживает большую нагрузку. Однако уровень воды в озере значительно колеблется в результате засух и различных потребностей в воде.
    • 6.1: Площади между кривыми
      Точно так же, как определенные интегралы можно использовать для нахождения площади под кривой, их также можно использовать для нахождения площади между двумя кривыми. Чтобы найти площадь между двумя кривыми, заданными функциями, проинтегрируйте разность функций. Если графики функций пересекаются или область сложная, используйте абсолютное значение разности функций. В этом случае может потребоваться вычисление двух или более интегралов.
      • 6.1E: Упражнения к разделу 6.1
    • 6. 2: Определение объемов путем разрезания
      В этом разделе мы используем определенные интегралы для нахождения объемов трехмерных объектов. Мы рассматриваем три подхода — срезы, диски и шайбы — для нахождения этих объемов в зависимости от характеристик твердого тела.
      • 6.2E: Упражнения к разделу 6.2
    • 6.3: Объемы вращения — цилиндрические оболочки
      В этом разделе мы рассмотрим метод цилиндрических оболочек, последний метод нахождения объема тела вращения. Мы можем использовать этот метод для тех же типов твердых тел, что и метод диска или метод шайбы; однако при использовании метода диска и шайбы мы интегрируем по оси координат, параллельной оси вращения. При методе цилиндрических оболочек интегрируем по оси координат, перпендикулярной оси вращения.
      • 6.3E: Упражнения к разделу 6.3
    • 6. 4: Длина дуги кривой и площадь поверхности
      Длину дуги кривой можно рассчитать с помощью определенного интеграла. Длина дуги сначала аппроксимируется с использованием отрезков прямой, что приводит к сумме Римана. Принятие предела дает нам формулу определенного интеграла. Тот же процесс можно применить к функциям от y. Понятия, используемые для расчета длины дуги, можно обобщить, чтобы найти площадь поверхности вращения. Интегралы, полученные по формулам длины дуги и площади поверхности, часто трудно оценить.
      • 6.4E: Упражнения к разделу 6.4
    • 6.5: Физические приложения интеграции
      В этом разделе мы рассмотрим некоторые физические приложения интеграции. Несколько физических приложений определенного интеграла распространены в технике и физике. Определенные интегралы можно использовать для определения массы объекта, если известна его функция плотности. Работу также можно рассчитать путем интегрирования силовой функции или при противодействии силе тяжести, как в задаче о насосе. Определенные интегралы также можно использовать для расчета силы, действующей на объект, погруженный в жидкость.
      • 6.5E: Упражнения к разделу 6.5
    • 6.6: Моменты и центры масс
      В этом разделе мы рассматриваем центры масс (также называемые центроидами, при определенных условиях) и центроиды. Основная идея центра масс — это понятие точки баланса. Многие из нас видели исполнителей, которые крутят тарелки на концах палочек. Артисты стараются, чтобы несколько из них вращались, не позволяя ни одному из них упасть. Математически эта точка наилучшего восприятия называется центром масс тарелки. 96.6E: Упражнения к разделу 6.6 Тем не менее, мы упустили некоторые ключевые детали в предыдущих обсуждениях. Например, мы не изучали, как обращаться с экспоненциальными функциями с иррациональными показателями. Определение числа e — еще одна область, в которой предыдущее развитие было несколько неполным. Теперь у нас есть инструменты для работы с этими понятиями более математически строгим способом, и мы делаем это в этом разделе.
      • 6.7E: Упражнения к разделу 6.7
    • 6.8: Экспоненциальный рост и спад
      Одно из наиболее распространенных применений экспоненциальных функций связано с моделями роста и убывания. Экспоненциальный рост и затухание проявляются во множестве естественных приложений. От роста населения и постоянного начисления процентов до радиоактивного распада и закона охлаждения Ньютона — экспоненциальные функции встречаются в природе повсеместно. В этом разделе мы исследуем экспоненциальный рост и затухание в контексте некоторых из этих приложений.
      • 6.8E: Упражнения к разделу 6.8
    • 6.9: Вычисление гиперболических функций
      Мы познакомились с некоторыми их основными свойствами гиперболических функций в разделе «Введение в функции и график». В этом разделе мы рассмотрим формулы дифференцирования и интегрирования для гиперболических функций и их обратных функций.
      • 6.9E: Упражнения к разделу 6.9
    • 6.10: Обзорные упражнения главы 6

    Миниатюра: Область между двумя функциями.

    Эта страница под названием 6: Applications of Integration распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован. к стилю и стандартам платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Глава
        Автор
        ОпенСтакс
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        4,0
        Программа OER или Publisher
        ОпенСтакс
        Показать страницу Содержание
        нет
      2. Теги
        1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
        2. автор@Гилберт Странг
        3. источник@https://openstax.

    Оставить комментарий